[수학질문]아래 EBS 올림포스에 이어서...

[와룡라이더]

비상과 미래엔 교과서 일부입니다.

비상에서는 열린 구간으로, 미래엔에서는 닫힌 구간으로 풀어놓았습니다.

뭐가 정답인지요?

[보이는것이전부는아냐]

3.
다음은 JK@dps님이 제시한 것과 같은 내용을 담고 있어요.
이것이 바로 이전의 것에서 연결되는 것임을 잊지 마세요.
바로 이전의 것은 x=a에서 f'(a)>0이면 그 점에서 증가하는 상태인 것을 의미하고,
이것은 미분가능한 개구간(a,b)에 포함된 모든 x에 대해 증가하는 상태(f'(x)>0)이면,
그 개구간에서 증가한다는 설명이예요.
친절하게도 왼쪽 아래부분에는 "모든 x에 대해 증가상태이면 증가함수"라고 설명하고 있어요.
그러니, JK@dps님이 주장하듯이 "증가상태"라는 용어나 그 의미를 없애버리고 나면,
이런 설명을 할 수 없고, 무슨 "개정의 오류가 정리"되는 차원의 설명이 아니예요.
일단, JK@dps님의 제시한 것과 같아요.

[보이는것이전부는아냐]

4.
다음은 함수의 증감에 대해 그 다음 단계까지 정리한 내용이고, 교학사 수2(황석근 외,2010)
에서 발췌되었어요.
이것을 보면 증가 범위가 폐구간이 되는 이유를 알 수 있어요.
만약, "개구간 (a,b)에서 증가한다"고 해도 틀리지 않는 표현이지만,
"증가 구간 전체가 (a,b)"인 것은 아니예요.
어떤 x=a에서 f'(a)>0이면 일단 x=a에서 증가상태이고, x=a를 포함한 적당한 개구간에서
증가하며, 극값을 가지는 x=b에서는 증가상태가 아니지만, 극점을 포함하는 구간에 대해서도
"(어떤) 구간에서 증가"하는 것의 정의에 어긋나지 않아요.

[보이는것이전부는아냐]

또 한 가지, 증가 구간이 개구간이어야 하는 이유가 양 끝점에서 미분이 가능하도록 하기 위해서라는 것은 잘못된 생각이예요. 만약 그러하다면, JK@dps님의 의견대로 증가 및 감소 구간을 개구간으로 정했을 때, 서로 인접한 증가 구간(개구간)과 감소 구간(개구간) 사이에 있는 단 하나의 점은, (따로 떼어냈기에 미분할 여지도 없고 크기를 비교할 다른 점도 없는데) 무슨 근거로 극점이라고 할 수 있을까요?
본래의 함수는 구간 전체에서 미분이 가능하고, 그 중에서 구간을 골랐을 뿐, 증가 구간이라고 골라낸 폐구간만 따로 떼어내 양 끝에서 미분이 불가능하다고 하는 것은 어불성설이예요.

[보이는것이전부는아냐]

....폐구간 끝 점에서 미분이 불가능하다는 것은, 그 폐구간에서만 함수가 정의되었을 때예요.

이상에서 f'(a)>0라는 조건은 x=a에서 증가상태임을 확실히 하고(역은 성립하지 않음),
미분가능한 구간(즉, 개구간) 내의 모든 x에 대해 f'(x)>0 (즉, 모든 x에서 증가상태)이면, 반드시 그 구간(개구간)에서는 증가하는 함수예요. 단, 그 함수가 개구간에서만 정의된 경우라면 여기까지로 충분하지만, 폐구간에서 정의되었거나, 관심있는 구간을 모두 포함하는 더 넓은 구간에 정의되었다면, 4.에서 살펴보았듯이 "폐구간에서 증가한다"는 것이 옳아요.

[보이는것이전부는아냐]

확실히 해 두어야 할 것은, 미분을 통해 증가구간을 판단하는 방법은 1.과 2.를 만족하는지 확인하기 위한 최소한이라는 거예요. 그것은 어디까지나 1.과 2.를 만족하도록 정하는 것이 옳아요.