불연속점에서의 극값에 대해 의논하고 싶습니다.

[호랑이왕]

함수 y=f(x) 에서 f(x)= 0  (x=0)
f(x)=x^2+1 (x=0 이 아닐 때)

이런 함수가 존재한다고 했을때

x=0에서 극값을 가진다고 할 수 있나요? 물론 현 고등과정에서 입니다.

교과서에서는 함수 f(x)에서 x=a를 포함하는 어떤 열린 구간에 속하는 모든 x 에 대하여 로 시작하는 극값의 정의를 주고 특히 함수 f(x)가 연속일 때~ 라고 설명을 들어가는데 교과서대로 라면 불연속점에서의 극값도 이야기를 해줘야 할까요? 해준다면 불연속점에서의 극값을 이야기해주려면 근방 개념을 도입해야 하는것으로 아는데 어떻게 설명을 해줘야 할까요