네이버 블로그에 작성했던 글을 조금 수정 보완한 것입니다.
우선 '수열'이란 것은 말 그대로 수를 나열한 것을 뜻합니다.
아무렇게나 수를 나열해놓아도 수열입니다.
이 때, 첫번째 수를 첫째 항(a₁), 두번째 수를 두번째 항(a₂)...n번째 수를 n번째 항(an), 이런 식으로 부릅니다.
이런 수열이 특별한 규칙을 갖는 경우, 그 규칙에 맞는 이름을 붙입니다.
그 중 가장 먼저 배우는 수열이 등차수열이고, 그 다음이 등비수열입니다.
등차수열이란, 그 이름에서 알 수 있듯이 '등차'라는 성질을 갖는 수열입니다.
'등차'라는 말은 '차가 같다'라는 뜻인데 여기서 말하는 '차'는 '계차'입니다.
'계차'란 연속한 두 항에서 뒤의 항 - 앞의 항을 말합니다.
두번째 항 - 첫번째 항= 첫번째 계차
세번째 항 - 두번째 항= 두번째 계차
...
n+1번째 항 - n번째 항=n번째 계차
이런 식으로 부릅니다.
이 계차들이 모두 같은 수열을 등차수열이라 하고, 그 공통된 계차를 줄여서 '공차'라 부릅니다.
그래서 등차수열에서 가장 핵심이 되는 개념은 '공차'입니다.
다음으로 등차수열을 표현할 수 있는 일반항을 배워봅시다.
수학에서 '일반'이란 말은 '모두를 대표하는', '모두를 대표할 수 있는'의 의미로 사용됩니다.
그래서 '일반항'이라 함은 '모든 항을 대표하는 항'을 뜻하고 곧 n번째 항인 an을 뜻합니다.
이제 구체적으로 등차수열의 일반항은 어떻게 표현되는지 알아봅시다.
첫번째항을 a라 하고 공차를 d라 하면,
첫번째 항= a
두번째 항= a+d
세번째 항= a+2d
...
n 번째 항= a+(n-1)d
따라서 첫번째 항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항은
an= a+(n-1)d로 표현됩니다.
그런데 여기서 괄호를 풀어 정리하면
an= dn+a-d
즉, d=0이 아니면 일반항은 n에 대한 1차식이 되며 1차계수는 반드시 공차 d입니다.
예컨데, 공차 2 첫째항 3인 등차수열의 일반항을 구할 때,
기본 방식으로는 3+(n-1)2=2n+1 로 구할수 있습니다.
하지만 필자는 일반항에서 공차 2가 곧 n의 계수이므로 바로 2n을 쓰고 첫번째 항(a1)이 3이 되기 위해 +1이 필요하다는 생각을 할 수 있고 곧바로 2n+1로 쓰는 방법을 추천합니다.
다음은 등차중항에 대해 알아보겠습니다.
등차중항에서 '중'은 '가운데 중' 입니다. 말 그대로 등차수열의 가운데 항이 갖는 성질을 말합니다.
연속한 3항에서 왼쪽항과 오른쪽항의 합은 가운데항의 두배와 같다는 성질입니다.
an=k 공차=d라 하면 왼쪽항은 k-d, 오른쪽 항은 k+d 이므로 합은 2k=2an 이 됩니다.
다음은 등차수열의 1항부터 n항까지의 합 Sn에 대해 알아보겠습니다.
기호는 합이라는 뜻의 sum에서 S를 따와서 Sn으로 표현합니다.
유도과정은 어릴 때 배운 1부터 n까지의 자연수의 합 공식을 유도했던 것과 동일합니다.
첫번째 항(a)부터 끝항(l)까지 차례로 쓰고 그 아래에 순서를 뒤집어 끝항부터 첫번째 항까지 쓰면,
Sn= a+ a+d + a+2d + ...... + l-2d + l-d + l
Sn= l+ l-d + l-2d + ...... + a+2d + a+d + a
양변을 세로로 각각 더하면,
2Sn= a+l + a+l + a+l + ...... + a+l +a+l + a+l= n(a+l)
따라서 Sn=n(a+l)/2
그런데 여기서 끝항 l은 n번째 항 an이므로 l대신 dn+a-d로 바꿔 넣으면,
Sn=n(a+dn+a-d)/2 =n(dn+2a-d)/2
즉, d=0이 아니면 합은 n에 대한 2차식이 되며 2차계수는 반드시 공차의 반, d/2이고 상수항이 없습니다.
예컨데 위에서 예로 든 공차 2 첫째항 3인 등차수열은 Sn=n(dn+2a-d)/2공식에 a=3, d=2을 대입해서 구할 수도 있고, 일반항 2n+1을 구해서 Sn=n(a+l)/2공식에 a=3, l=2n+1을 대입해 구할 수도 있습니다.
하지만 필자는 공차의 반인 1이 2차계수란 것과 첫번째 항(S₁=a₁)이 3이란 것을 이용하여 Sn=n²+2n 을 곧바로 구하는 방법을 추천합니다.
여기까지 하고 나면 등차수열의 일반항 an과 합Sn을 자유자재로 왔다갔다할 수 있어야 합니다.
기본은 n번째 항까지의 합인 Sn에서 (n-1)번째 항까지의 합인 Sn-1을 빼면 an만 남기 때문에
Sn-Sn-1=an(n≥2) 이라는 식을 활용하는 것이지만, 등차수열인 경우 더 간단한 방법이 있습니다.
예컨데 첫번째 항부터 n번째 항까지의 합 Sn=3n²+2n 인 수열은 등차수열이고,
2차계수인 3은 공차의 반이므로 공차는 6입니다. 또한 S₁=a =5 이므로
an=6n-1을 바로 구할 수 있습니다.
자 그럼 위 내용을 활용해서 초항 4 공차 6인 수열의 일반항 an과 합 Sn을 빠르게 구해봅시다.
우선 일반항은 n에 대한 1차식이며 그 1차계수가 공차이므로 6n, 첫번째 항이 4이므로 -2 해서
an= 6n-2.
다음으로 합은 n에 대한 2차식이며 그 2차계수가 공차의 반이므로 3n², 첫번째 항이 4이므로 +n 해서
Sn= 3n²+n
추가로 등차수열끼리 더하거나 빼서 만든 수열 역시 등차수열입니다.(1차이하의 식끼리 더하면 역시 1차이하의 식이므로)
또한 등차수열의 1항에서 5항까지의 합, 6항에서 10항까지의 합, 11항에서 15항까지의 합, ... 과 같이 등차수열의 이웃한 항들을 같은 개수씩 더해서 차례로 나열하면 역시 등차수열이 됩니다.(등차중항 성질의 확장)
예컨데 등차수열의 합 Sn에 대해 Sn=2, S2n=6 일 때 S3n을 구하라고 하면 Sn=An^2+Bn으로 두고 대입해서 A,B를 구한 뒤 S3ndmf 구해도 되지만 이 성질을 알고 있으면 Sn, S2n-Sn, S3n-S2n이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 Sn=2, S2n-Sn=4를 이용하면 S3n-S2n=6이 되고 S3n=12임을 쉽게 알 수 있습니다.
다음은 등비수열입니다.
등비수열이란 그 이름에서 알 수 있듯이 '등비'라는 성질을 갖는 수열입니다.
'등비'라는 말은 '비가 같다'라는 뜻인데 여기서 말하는 '비'는 '계비'입니다.
'계비'란 연속한 두 항에서 '뒤의 항 ÷ 앞의 항'을 말합니다.
이 계비가 모두 동일한 수열을 등비수열이라 하고, 그 공통된 계비를 줄여서 '공비'라 합니다.
등차수열과 마찬가지로 이번에는 등비수열의 일반항을 구해봅시다.
첫째항을 a, 공비를 r이라 하면,
a1=a
a2=ar
a3=ar²
a4=ar³
...
an=ar^(n-1)
따라서 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항은
an=ar^(n-1) 으로 표현됩니다.
예컨데 초항이 2이고 공차가 3인 등차수열 {an}의 일반항은
an=2·3^(n-1) 입니다.
등비중항은 등비수열에서 가운데 항을 뜻합니다. 등차중항과 마찬가지로 간단하므로 생략하겠습니다.
이제 등비수열의 1항부터 n항까지의 합 Sn을 구해봅시다.
두 가지 방법을 소개하고자 합니다.
첫 번째 방법은 교과과정에 나와있는 그대로 Sn-rSn 을 사용한 방법입니다.
우선 각 항의 합을 그대로 나열하고 그 아래에는 각 항에 r을 곱한 값을 나열합니다.
Sn = a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^(n-1) --------- ①
rSn = ar + ar² + ar³ + ... + ar^(n-1) + arⁿ ------- ②
①-②를 계산하면
(1-r)Sn = a - arⁿ = a(1-rⁿ)
여기서 r≠1이면,
Sn = a(1-rⁿ)/(1-r)
(r=1이면 모든항이 초항 a와 같으므로 Sn=na)
두 번째 방법은 고 1 과정에서 배우는
xⁿ-1=(x-1){x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1}에서
x≠1이 아니면 {x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1}=(xⁿ-1)/(x-1) 임을 활용하는 것입니다.
Sn = a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^(n-1)=a{1 + r + r² + ... + r^(n-1)}=a(rⁿ-1)/(r-1)
여기서 a는 초항 r은 공비 n은 항의 개수임을 명심해야 합니다.
또한 여기서 a/(1-r) 를 A로 두면 Sn = A(1-rⁿ)이므로
등비수열의 합 Sn은 r=1일때는 na, r≠1일 때는 항상 A(1-rⁿ)형태로 표현됩니다.
자 이제 예를 들어봅시다.
초항 2 공비 3인 등비수열의 일반항
=> an=2·3^(n-1)
초항 2 공비 3인 등비수열의 1항부터 n항까지의 합
=> Sn=2(3ⁿ-1)/(3-1) = 3ⁿ-1 또는 Sn=A(3ⁿ-1)으로 두고 S1=2 임을 이용하여 A=1을 구하기
Sn= 3(4ⁿ-1) 인 등비수열의 일반항
=> 초항=S1=9, 공비=4이므로 an=9·4^(n-1)
Sn= 3·2^(2n+1)-6인 수열의 일반항
=> Sn= 3·2^(2n+1)-6= 6·2^(2n)-6= 6·4ⁿ-6=6(4ⁿ-1)
따라서 이 수열은 등비수열이고 초항이 18 공비가 4이므로 an=18·4^(n-1)
추가로 등비수열끼리 곱하거나 나누어 만든 수열 역시 등비수열이 됩니다.
등비수열의 합 Sn도 등차수열의 합과 마찬가지로 같은 개수씩 더해서 차례로 나열하면 등비수열이 됩니다.
예컨데 등비수열의 합 Sn에 대해 Sn=2, S2n=6일 때 S3n을 구하라고 하면 Sn=A(r^n-1)로 두고 풀어도 되지만
이 성질을 활용하면 Sn, S2n-Sn, S3n-S2n 이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 Sn=2, S2n-Sn=4를 이용하면 S3n-S2n=8이 되고 S3n=14임을 쉽게 구할 수 있습니다.
이상입니다. 궁금한 점이 있는 분은 댓글로 질문해주시면 시간 되는대로 답변해드리겠습니다.