우선 말뜻부터 시작합니다.
'상용'이란 말은 '일상적으로 쓴다'라는 뜻입니다.
우리가 사용하는 진법이 10진법이기 때문에 로그중 밑이 10인 것을 상용로그라 합니다.
'지표'라는 말은 '어떤 것의 크기나 양, 또는 존재여부를 알아볼 수 있는 척도'라는 뜻입니다.(정수부분)
상용로그에서의 '지표'도 같은 의미를 지닙니다.
'가수'라는 말은 '더해진 수'라는 뜻입니다. 로그에서는 지표에 더해진 수라는 의미로 사용됩니다.(소수부분)
이제 좀더 자세히 살펴보면,
logN=n+α(n은 정수, 0≤α<1) 형태로 나타냈을 때
N을 logN의 진수, n을 logN의 지표, α를 logN의 가수라 합니다.
여기서 '지표가 n'이라는 것은 '진수 N의 크기가 대략 10ⁿ'임을 뜻합니다.(n≤n+α<n+1 이므로)
그 때문에 자릿수, 또는 소수점 이하 처음 0이 아닌 수가 나오는 자리가 10ⁿ과 일치합니다.
예컨데 지표가 2인 로그의 진수는 10²=100과 같이 3자리 수, (10ⁿ에서 n은 1 뒤에 붙는 0의 개수와 동일)
지표가 -2면 진수는 10-²=0.01 과 같이 소수점 이하 2번째 자리에서 0이 아닌 수가 처음 나옵니다.
(이부분은 먼저 작성한 글을 보시면 쉽게 이해되실겁니다)
다음으로 '가수'는 '진수N의 숫자배열'을 결정합니다
상용로그의 밑이 10이기 때문에 로그값에 1을 더하는 것이 진수 입장에서는 10을 곱하는 것과 같습니다.(logN+1=logN+log10=log10N) 즉, 로그값에 정수 k를 더하는 것은 진수 입장에서 10^k(10의 k승)을 곱한 것과 같고 이는 N의 소수점을 k만큼 옮긴 값과 같습니다. 따라서 로그에 정수를 더하거나 빼면 진수는 소수점만 움직일뿐 숫자의 배열은 바뀌지 않습니다. 그래서 가수가 같은 두 로그의 진수는 숫자배열이 서로 같고 이 생각을 확장하면 가수의 값에 따라 진수의 숫자배열이 결정된다는 결론을 얻습니다.
이로부터 '가수'를 이용해서 진수의 숫자배열을 구할 수 있습니다. 다만 효율성을 위해 주로 가장 유의미한 한자리 즉, 최고자리의 숫자만 구합니다.
먼저 log2, log3, log7의 값만 주어지면 자리수에 해당되는 1~9까지의 로그값을 모두 구할 수 있습니다.
이 9가지 로그 값을 활용하여 최고자리의 수를 구할 수 있게 됩니다.
예컨데 logN=2.45 라면 가수 0.45가 log2<0.45<log3 이므로 0.45=log(2.xxx...)입니다.
여기서 양변에 2를 더하면 2.45=log(2xx.xx...). 이 값이 logN이므로 N=2xx.x...
따라서 최고 자리의 숫자는 2임을 알 수 있습니다.
여기서 지표는 진수의 숫자배열과는 전혀 연관이 없음을 염두에 둔다면 log2<0.45<log3 에서 곧바로 최고 자리의 숫자가 2임을 알 수 있습니다.
추가로 상용로그에서 지표는 가우스기호의 뜻과 완전히 같습니다. 즉, logN의 지표는 [logN]과 같습니다
따라서 상용로그의 응용문제를 다룰 때는 가우스 기호를 다룰 때와 마찬가지로 첫째, 범위를 나누어 생각하고 둘째, 그 값이 정수임을 활용해야합니다. 상용로그 파트는 주로 다른 함수와 합성되어 종합적인 이해가 필요한 형태로 출제되므로 이 두가지를 잘 생각하여 해결할 방법을 찾아야 합니다.