f(x)가 직선임을 증명하는 과정에 대해 확인 겸 조언 부탁드립니다.(추가)

[성지훈]

#댓글을 보고 내용을 수정보완합니다. 김해일님 감사합니다.

추가한 내용은 처음과 끝에 #과 함께 굵은 글씨로 표시했습니다.

수정한 내용은 가운데 줄을 그었습니다.#

'실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)가 임의의 실수 x, y 에 대해 f(x+y)=f(x)+f(y) 를 만족한다'

이런 조건이 주어졌을 때 직관적으로 f(x)가 직선이라는 것을 알 수 있습니다.

그런데 이 조건을 만족하는 함수는 직선일 수 밖에 없음을 어떻게 증명할 수 있을까 꽤 긴 시간 고민해봤습니다.

미분가능이란 조건이 주어진다면 손 쉽게 가능하지만 그렇지 않을 경우입니다.

아래는 제가 생각해본 접근입니다. 한 번 보시고 부족한 부분은 조언해주시면 감사하겠습니다.

x=y=0을 대입해보면 f(0)=0 이고 f(x+y)-f(x)=f(y)로 변형 후 0이 아닌 y에 대해 양변을 y로 나누면

{f(x+y)-f(x)}/y=f(y)/y

y-> 0- 이면 (임의의 실수 x에서의 좌미분계수)=(0에서의 좌미분계수)=a (a는 상수)

y-> 0+ 이면 (임의의 실수 x에서의 우미분계수)=(0에서의 우미분계수)=b (b는 상수)

#x=0에서의 좌(또는 우)미분계수가 존재하지 않으면 임의의 실수 x에서의 좌(또는 우)미분계수가 존재하지 않아야 하고

좌(또는 우)미분계수가 존재하지 않는 경우는 y축과 평행한 접선이 존재하는 경우뿐이다. 그러나 실수전체에서 연속인 함수중 모든 점에서의 접선이 y축과 평행한 함수는 존재하지 않는다. 이를 만족하는 연속함수는 존재하지 않는다. 따라서 x=0에서 좌미분계수와 우미분계수가 각각 존재한다.#

#[x_1,x_2]에서의 평균변화율 {f(x_2)-f(x_1)}/(x_2-x_1)에 대해 x_2->x_1 일 때의 극한을 취한 값은 x_1에서의 우미분계수이자 x_2에서의 좌미분계수이므로#

실수의 조밀성에 의해 임의의 실수 x_1에 대해 (x_1에서의 우미분계수)=(x_2에서의 좌미분계수)를 만족하는 x_2가 반드시 존재한다.

(x_1에서의 우미분계수)=a 이고 (x_2에서의 좌미분계수)=b 이므로 a=b가 아니면 x_2가 존재할 수 없으므로 모순 즉, a=b.

따라서 f(x)의 0에서의 미분계수 f'(0)=a(=b), 임의의 실수 x에서의 좌우 미분계수도 모두 a 이므로 f'(x)=a, f(x)=ax. (f(0)=0이므로)

이렇게 해봤습니다.

혹시 논리적인 비약이 있다든지 또 다른 접근방법이 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

#다른 접근.

f(x)에서 위로 볼록한 구간이 존재할 때 그 구간에 속하는 임의의 구간 [a,b]에서 (a+b)/2=c라 하면 f(a)+f(b)<2f(c).

준식에 의하면 f(a)+f(b)=f(a+b)=f(2c)=f(c+c)=f(c)+f(c)=2f(c) 이므로 f(x)에서 위로 볼록한 구간은 존재할 수 없다.

f(x)에서 아래로 볼록한 구간이 존재할 때 그 구간에 속하는 임의의 구간 [a,b]에서 (a+b)/2=c라 하면 f(a)+f(b)>2f(c).

준식에 의하면 f(a)+f(b)=f(a+b)=f(2c)=f(c+c)=f(c)+f(c)=2f(c) 이므로 f(x)에서 아래로 볼록한 구간은 존재할 수 없다.

따라서 f(x)는 직선이고 x=y=0을 대입하면 f(0)=0이므로 원점을 지나는 직선이다.#

[김해일]

성지훈 아~ 오목볼록에대해 증명이 추가되어있네요 읽어보니 이증명은 문제없어 보입니다^^

[성지훈]

김해일 검토 진심으로 감사합니다.

[김해일]

저는 이렇게 증명했습니다

[성지훈]

이런 방법도 있네요. 감사합니다. 한 수 배웠습니다.

[hiso]

고수의 한 수입니다.