조건부확률에서 '부'는 '붙을 부' 이다. 즉, 조건부확률이란 '조건이 붙은 확률'을 말한다.
비슷한 예로 집합의 표현방법 중 '조건 제시법'이 있다. {x l 'x가 만족해야 할 조건'}과 같이 표현했던 것을 기억할 것이다.
이 때 'l' 뒤에 조건을 제시한 것과 마찬가지로 조건부 확률에서도 'l' 뒤에 조건을 적어 표시한다.
P(AlB)에서는 B가 조건에 해당되므로 P(AlB)는 B가 일어났을 때 A가 일어날 확률을 뜻한다.
'l'는 '주어진' 이라는 뜻의 'given'으로 읽는다. 편의상 'bar'라 읽는 경우도 많다.
많은 학생들이 P(BlA)와 P(A∩B)를 정확히 구분짓지 못해 힘들어 한다.
말로 구분짓자면 이렇다.
P(BlA): A가 일어났을 때 B가 일어날 확률.
P(A∩B): A가 일어나고 B도 일어날 확률.
어느 교재에서도 나오는 간단한 설명이지만 그래도 둘을 혼동하니 더 자세히 말하자면 이렇다.
P(BlA)에서는 A사건이 이미 일어난 것으로(확률=1) 취급한다. 즉, A가 이미 일어난 상황에서 B가 일어날 확률을 계산한 것이다.
반면 P(A∩B)에서는 A가 일어날 확률도 고려해줘야 한다.
사실 이 개념차제는 중학교에서도 배웠던 것이다. 다만 '조건부확률'이라는 용어만 고등학교에서 추가로 배우는 것이다.
예를 들어 흰공 3개 검은공 2개가 들어있는 주머니에서 공 2개를 차례로 꺼낼 때 꺼낸 공을 다시 넣지 않는 경우가 이에 해당한다.
'처음에 흰 공을 꺼내고 두번째에 검은 공을 꺼낼 확률을 구하라' 하면 3/5*2/4=3/10으로 계산했던 기억이 있을 것이다.
이 과정에서 3/5은 당연히 '처음에 흰 공을 꺼낼 확률'이다. 그럼 2/4는 무엇일까. 그냥 '두번째에 검은공을 꺼낼 확률'일까? 아니다.
두번째에 검은공을 꺼낼 확률은 처음에 어떤 색의 공을 꺼냈느냐에 따라 달라진다. 실제로 처음에 검은공을 꺼냈다면 두번째에 검은공을 꺼낼 확률은 2/4가 아니라 1/4이 된다. 따라서 2/4는 '처음에 흰공을 꺼냈을 때 두번째에 검은공을 꺼낼 확률'이라 표현해야 정확하다. 즉, '조건부확률'인 것이다. 이를 기호로 표현하자면 P(두번째검은공l처음흰공)과 같다.
이것을 정리해보자면
P(처음흰공∩두번째검은공)=3/5*2/4=3/10
P(두번째검은공l처음흰공)=2/4=1/2
그리고 둘의 관계는 P(처음흰공∩두번째검은공)=P(처음흰공)*P(두번째검은공l처음흰공)
즉, P(A∩B)=P(A)*P(BlA) 가 되고 이것이 바로 확률의 곱셈정리이다.
(추가로 A와 B가 독립일 경우는 P(BlA)=P(B)이므로 P(A∩B)=P(A)*P(B) 가 되고 이는 곧 A와 B가 독립일 필요충분조건이다)
P(A∩B)=P(A)*P(BlA) 로 부터
P(BlA)=P(A∩B)/P(A) ={n(A∩B)/N}/{n(A)/N}=n(A∩B)/n(A) 임을 알 수 있고(N은 전체 경우의 수) 이를 해석하면
P(BlA)=(A와 B가 동시에 일어날 확률)/(A가 일어날 확률)=(A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수)/(A가 일어나는 경우의 수) 이므로
P(BlA)는 결국 'A가 일어나는 모든 경우 중 A와 B가 동시에 일어나는 경우의 비중을 나타낸 것' 이다.