전체 경우의 수 설정에 어려움을 겪는 분들을 위해 부족하지만 글을 써봅니다.
수학적확률을 이용해서 어떤 사건의 확률을 구한다는 것은 곧 경우의 수를 이용하여 확률을 구한다는 뜻입니다.
그렇다면 어떤 원리에 의해서 경우의 수로 확률을 구할 수 있는 것인지부터 이해해야 합니다.
어떤 시행을 했을 때 일어나는 전체 경우의 수가 n가지라 합시다.
n가지 경우 각각이 일어날 가능성이 같은 정도로 기대된다면 각각의 경우가 일어날 확률은 1/n이라 할 수 있습니다.(확률합은 1)
(여기서 일어날 가능성이 같은 정도로 기대된다는 것은 동전을 던질 때 앞면이 나올 가능성과 뒷면이 나올 가능성, 주사위를 던질 때 각각의 눈이 나올 가능성 등 직관적으로 같다고 판단할 수 있는 것을 의미)
전체 n가지 중 A사건이 일어나는 경우가 m가지라면 A사건이 일어날 확률은 1/n을 m번 더한 m*1/n=m/n이 됩니다.
즉, A사건이 일어날 수학적 확률=(A사건이 일어날 경우의 수)/(전체 경우의 수) 입니다.
그런데 수학적 확률을 적용할 때 주의할 점이 있습니다.
n가지 경우 각각이 일어날 가능성이 같은 정도로 기대된다면 각각의 경우가 일어날 확률은 1/n 이라 할 수 있지만
모두 같지 않다면 각 경우가 일어날 확률이 1/n이라 할 수 없기 때문에 경우의 수*1/n 로 확률을 구할 수 없습니다.
쉬운 예를 하나 들어봅시다.
검은공 10개와 흰공 1개가 들어있는 주머니에서 하나의 공을 꺼낼 때 검은 공이 나올 확률을 구해봅시다.
1)11개의 공 각각이 선택될 가능성이 같으므로 전체 경우의 수는 11로 설정해야 하고 검은공이 나오는 경우의 수는 10이므로
검은공이 나올 확률은 10*1/11=10/11.
2)검은공이 나오는 경우, 흰공이 나오는 경우의 두가지 결과가 가능하므로 전체 경우의 수는 2로 설정해야 하고 검은 공이 나오는 경우는 1가지 이므로 검은 공이 나올 확률은 1/2.
1)의 풀이는 올바른 풀이이고 2)의 풀이는 잘못된 풀이인 것은 이미 알고 계실겁니다.
그렇다면 2)의 풀이는 도대체 무엇을 잘못한 것일까요?
전체 경우의 수로 설정한 2가지 경우는 검은 공이 나올 경우와 흰공이 나올 경우인데 두 경우가 각각 일어날 가능성이 같은 정도로 기대되지 않기 때문입니다. 검은 공 10개와 흰공 1개가 들어있는 주머니에서 하나의 공을 꺼낼 때 검은 공이 나올 가능성과 흰공이 나올 가능성이 과연 같을까요? 그 누구라도 검은 공이 나올 가능성이 더 크다는 것을 직관적으로 판단할 수 있습니다. 이렇게 두 경우가 일어날 가능성이 같지 않기 때문에 전체 경우의 수를 2로 하게 되면 각 경우의 확률이 1/2이 아니게 되어 수학적 확률을 적용할 수 없게 됩니다.
도움이 되셨으면 좋겠습니다. 본문 내용 중 이해안되는 부분이 있다면 말씀해주시기 바랍니다. 내용을 추가하겠습니다.