어느 교재건 기본적으로
합의 법칙: A사건이 일어나거나 B사건이 일어나는 경우의 수는 두 경우의 수의 합과 같다.(A와 B가 배반일 때)
곱의 법칙: A사건과 B사건이 동시에(연달아, 같이, 모두) 일어나는 경우의 수는 두 경우의 수의 곱과 같다.(A와 B가 독립일 때)
와 같이 간단히 설명하고 있고 경우의 수를 구하는 기본중의 기본이 되는 개념이다.
하지만 실제로 학생들이 언제 더하고 언제 곱해야할지 감을 잡지 못하는 경우가 의외로 많다.
합의 법칙에서 동시에 일어나는 경우가 존재할 때는 그 경우를 한번 제외해줘야 한다는 것이 쉽게 이해되므로 그 설명을 생략한다.
곱셈이란 연산은 덧셈이란 연산을 간단히 하기 위한 것이다.
마찬가지로 곱의 법칙은 합의 법칙을 간단히 연산하기 위한 것이므로 둘은 절대 별개의 것이 아니다.
간단히 옷을 구입하는 경우를 생각해보자.
상의는 a색, b색, c색의 세가지가 있고 하의는 a색 d색의 두가지가 있다.
이 중 상의 하나와 하의 하나를 구입하는 경우의 수를 생각해보자.
(상의,하의)의 순서쌍으로 생각하면 (a,a), (a,d), (b,a), (b,d), (c,a), (c,d)와 같이 총 6가지가 가능하다.
세부적으로 보면 상의를 a로 한 경우에 2가지, b로 한 경우도 2가지 c로 한 경우도 2가지 이므로
합의 법칙에 의해 2+2+2=6이 된 것이다. 이처럼 한 사건이 일어나는 각각의 경우에 대해서 다른 사건이 일어날 수 있는 경우의 수가 모두 동일하다면 둘 다 일어날 경우의 수를 구할 때 똑같은 값을 여러번 더하게 된다. 여기서는 2를 3번 더한 것이고 이 연산을 간단히 한 것이 바로 곱의 법칙이다.
즉, A사건이 일어나는 경우의 수가 m가지이고 B사건이 일어나는 경우가 n가지일 때 A사건이 일어나는 m가지 경우 각각에 대해 B사건이 일어날 수 있는 경우의 수가 n가지이면 두 사건이 모두 일어나는 경우의 수는 합의 법칙에 의해 n을 m번 더한 것이 되고 이를 간단히 하면 m*n인데 이것이 다름 아닌 곱의법칙인 것이다.
위 예시와 같은 조건하에서 상의와 하의를 하나씩 구입하되 색을 다르게 구입하는 경우의 수를 생각해보자.
역시 순서쌍으로 생각하면 (a,d), (b,a), (b,d), (c,a), (c,d)와 같이 총 5가지가 가능하다.
세부적으로 보면 상의를 a로 한 경우에 1가지, b로 한 경우에 2가지, c로 한 경우에 2가지 이므로 합의 법칙에 의해 1+2+2=5가 된 것이다. 이 경우는 한 사건이 일어나는 각각의 경우에 대해서 다른 사건이 일어날 수 있는 경우의 수가 동일하지 않기 때문에 곱의 법칙만으로는 구할 수 없는 것이다.
물론 그렇다고 해서 곱의 법칙을 전혀 사용할 수 없는 것은 아니다. 경우의 수가 다르게 되는 경우만 별도로 계산하고 같은 것들은 곱의 법칙을 얼마든지 적용할 수 있다. 즉, 1+2+2=1+2*2=5와 같이 계산하는 것이다. 또 다른 방법도 있다. 3*2=6으로 계산한 후 조건에 맞지 않는 (a,a) 1가지를 제외해서 3*2-1=5와 같이 계산하는 방법이다. 즉, 그냥 곱의 법칙으로 계산한 후에 불가능한 경우를 제외하면 된다.
혹시라도 아직까지 경우의 수를 언제 더하고 언제 곱할지가 구분하기 힘들다면 우선 합의 법칙만 적용해서 식을 세우길 바란다.
식을 세운 후에 연산의 편의를 위해 같은 값의 합만 곱셈으로 바꾸면 된다. 그게 곧 곱의 법칙까지 적용한 것과 같다.
예를 들면 abc를 일렬로 배열하는 경우의 수를 구한다고 할 때 a가 첫자리에 왔을 때 abc, acb 2가지, b가 첫자리에 왔을 때 bac, bca 2가지, c가 첫자리에 왔을 때 cab,cba 2가지이므로 2+2+2로 쓴 후에 3*2로 바꿔서 6이란 결론을 내면 된다.
이 과정이 어느정도 능숙해지면 굳이 이렇게 하지 않아도 직관적으로 합의법칙과 곱의 법칙을 적재적소에 쓸 수 있게 된다.