이차방정식 ,이차함수 문제입니다

[audience1202]

몇번씩 풀어 봤는데 잘 안풀리네요  아시는분 풀이 부탁 드려요

[성지훈]

7번. f(2x-3)=0의 두 근 이 a, b이므로 f(2a-3)=0, f(2b-3)=0, a+b=4.
f(3x+1)=0의 근 x에 대해 3x+1=2a-3 또는 2b-3이면 되므로 x=(2a-4)/3 또는 (2b-4)/3.
따라서 두 근의 합은 (2a+2b-8)/3=0.

[성지훈]

8번. (x+1)f(x)-x=0으로 변형하면 11차 방정식이 되고 x=0,1,2,...,10이 이 방정식을 만족하므로(근이므로)
(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)...(x-10).
이식은 x에 관한 항등식이고 모르는 f(x)를 없애기 위해 x=-1을 대입하면
1=-a(-2)(-3)...(-11)=-a*11!. a=-1/11!.
이제 문제에서 요구한 f(11)을 구하기 위해 x=11을 대입하면
12f(11)-11=a*11*10*...*1=a*11!=-1.
따라서 f(11)=10/12=5/6.

[성지훈]

17번. y^2을 대입하여 소거하면 되는데 2차를 소거할 때는 항상 범위에 주의해야 합니다.
y^2=2-2x^2. y^2은 0이상이므로 2-2x^2도 0이상이어야 합니다. 따라서 x의 범위를 구하면 x는 -1이상 1이하.
이제 y^2=2-2x^2를 대입해서 y^2을 소거하고 8x+2-2x^2으로 x에 대한 2차식으로 만든 뒤, 2차함수 그래프의 개형을 이용하여 x가 -1이상 1이하일 때의 최댓값과 최솟값을 구하면 됩니다. 그래프가 위로 볼록하고 축이 x=2이므로 -1부터 1까지는 모두 축보다 왼쪽범위이므로 증가하는구간입니다. 따라서 x=-1일 때 최솟값 -8, x=1일 때 최댓값 8을 갖고 둘의 곱은 -64가 됩니다.