[미적분]수2문제입니다. 풀이부탁드리겠습니다.

[좋은인연]

[KAIST JUNE]

【극값 없는 조건】
𝒇'(𝒙) = 𝒙² + 2(𝒃−1)𝒙 + 𝒂(2−𝒂)
극값 없음 → 𝒇'(𝒙) ≥ 0 → 판별식 ≤ 0
(𝒃−1)² − 𝒂(2−𝒂) ≤ 0
→ (𝒂−1)² + (𝒃−1)² ≤ 1

【정수 해 탐색】
단위원 내부 정수점:
(𝒂, 𝒃) = (1,1), (0,1), (2,1), (1,0), (1,2)

【접선 설정】
𝒇(0) = 3𝒃, 𝒇'(0) = 𝒂(2−𝒂)
접선: 𝒚 = 𝒂(2−𝒂)𝒙 + 3𝒃

【구간 [0, 2]에서 접선의 부호】
𝒂(2−𝒂) = 1 − (𝒂−1)² ≥ 0 → 기울기 ≥ 0
3𝒃 ≥ 0 (𝒃 = 0, 1, 2) → 𝒚절편 ≥ 0
따라서 [0, 2]에서 𝒚 ≥ 0

【넓이 계산】
넓이 = ∫₀² {𝒂(2−𝒂)𝒙 + 3𝒃} d𝒙 = 2𝒂(2−𝒂) + 6𝒃

(1,1): 2 + 6 = 8
(0,1): 0 + 6 = 6
(2,1): 0 + 6 = 6
(1,0): 2 + 0 = 2
(1,2): 2 + 12 = 14

【답】
14