미적분 수능문제 질문이요ㅠ

[fjksljekjt]

최고차항의 계수가 1이고 f(0)=3, f`(3)<0인 사차함수 f(x)가 있다. 실수 t에 대하여 집합 S를

S={a l 함수 ㅣf(x)-tl 가 x=a에서 미분가능하지 않다.}

라 하고, 집합 S의 원소의 개수를 g(t)라 하자. 함수 g(t)가 t=3과 t=19에서만 불연속 일 때, f(-2)의 값을 구하시오.

문제자체도 이해가 안되네요ㅜ 풀이를 봐도 통 모르겠고요ㅠ

쉽게 알려주시면 감사하겠어요ㅜㅠ

[성지훈]

사차함수의 f(x)의 개형들을 생각해보고 그 중 주어진 조건을 만족시킬 수 있는 개형을 찾아야 합니다. t를 빼고 절댓값을 취했을 때(x축 아랫부분이 위로 꺾여올라가겠죠) 첨점이 생기게 되면 미분 불가능점이 생기게 되겠죠. 그런데 문제에서 t=3일 때와 t=19일 때만 g(t)가 불연속이 된다 했으므로 미분불가능점의 갯수가 변하는 기점으로 t=3과 t=19만 있어야 합니다.
그런 개형을 생각해보면 극값이 1개인 형태는 안되므로 극값이 3개인 형태이면서 극댓값이 19, 극솟값이 둘다 3인 형태여야 합니다. 그런데 f(0)=3 이라 했으므로 두 극솟점중 하나의 x좌표는 0입니다.

[성지훈]

(0,3)이 오른쪽의 극솟점이라면 x>0일 때 계속 증가하므로 f'(3)<0 를 만족할 수 없으므로 반드시 왼쪽 극솟점이어야합니다. 그러면 오른쪽의 극솟점의 x좌표를 k(k>0)라 두고 f(x)의 식을 세울 수 있습니다. 3만 내리면 0과 k에서 접하니까요.
그래서 f(x)-3=x^2(x-k)^2. 이를 미분한 f'(x)를 0으로 만드는 x값중 0과 k가 아닌 값이 바로 극댓점의 x좌표입니다. 양변 미분하면 f'(x)=2x(x-k)^2+2x^2(x-k)=2x(x-k)(x-k+x)=2x(x-k)(2x-k).
즉, 극댓값의 x좌표는 k/2이므로 f(k/2)-3=(k/2)^2(-k/2)^2=(k/2)^4=19-3=16. 따라서 k/2=2이므로 k=4.
f(x)-3=x^2(x-4)^2이므로 f(-2)-3=(-2)^2(-6)^2=144. 따라서 f(-2)=147.
계산은 틀렸을 수 있습니다.

[수학쟁이™]

성지훈 계산 정확합니다.^^

[성지훈]

수학쟁이™ 아 펜 없이 화면보면서 쭉 쓰는거라 간혹 계산 틀릴 때가 있어서요^^; 확인 감사합니다.