미분 적분

[macbeth]

기초 : http://yuagnun.blog.me/30043868639

1. http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=171347334&qb=66+467aE7J2YIOyiheulmA==&enc=utf8&section=kin&rank=1&search_sort=0&spq=0

미분은 어떤 의미에서 보면 매우 기하학적인 개념입니다. 공간에서의 위치가 변함에 따라 (함수로 표현되는) 어떤 양이 어떻게 변하는지를 측정하는 도구라고 할 수 있지요. 그런데 기하학적이란게 무엇인지 곰곰히 생각해봅시다.

예를 들어서 지구상에서 여러분들이 있는 위치를 표현하기 위해 위도, 경도, 해발고도를 이용하여 표현할 수도 있습니다. 그러나 약속장소로 오는 길을 헤매는 친구에게 위치를 설명해줄 때에는, 예를 들면 친구가 나온 역의 출구 방향을 기준으로 자신의 위치가 어떻게 되는지 설명할 수도 있습니다. 그리고 설명 방식이 어떻게 달라지든간에, 결국 기하학적으로는 모두 같은 위치를 나타냅니다.

이것이 의미하는 바는, 비록 좌표를 이용하여 위치를 표현하는 것이 편리하긴 하지만, 좌표는 임의적인 것이며, 기하학적인 개념은 그런 좌표의 선택에 의존하면 안 된다는 것입니다.

그러므로 미분을 기하학적으로 이해할 때, 수학자들은 어떤 개념들이 기하학적인 - 좌표에 의존하지 않는 - 개념이며 어떤 개념들이 기하학적이지 않은 - 좌표에 의존하는 - 개념인지 구분하고 그 본질을 꿰뚫기 위해 노력하였습니다.

이를 염두에 두고 전미분과 편미분을 구분하여봅시다.

1. d는 전미분(total derivative)이라고 불리는 양으로, 기하학적인 양입니다. 전미분을 수학적으로 엄밀히 정의하려면 미분형식(differential form)이라는 개념을 도입해야 하기 때문에 여기서 소개하기는 좀 그렇습니다만, 그 의미 자체는 그렇게 어려운 개념이 아닙니다.

전미분은 쉽게 말해서, 미소한 변위에 대한 함수값의 변화를 재는 '자(ruler)'입니다. 예를 들어서, 어떤 점이 위치 p에서 위치 p+Δp로 이동하였다고 합시다. 이때, 변위 Δp가 충분히 작다고 합시다. 그러면 f가 좋은 함수일 때, f의 변화량 Δf는

로 주어집니다. 따라서 만약 Δp가 충분히 작다면

일 것입니다. 따라서 우리는 위와 같은 관찰을 바탕으로, df 를 다음과 같이 정의합니다.

즉, df 는 각각의 벡터 a에 대하여 f가 a 방향으로 변하는 정도 - 즉, 방향미분계수 - 를 함수값으로 주는 함수입니다. 위의 정의가 비록 편미분들과 좌표들을 이용하여 적히긴 했지만, 어렵지 않게 위 정의가 좌표에 의존하지 않음을 쉽게 증명할 수 있습니다. 실제로, df 자체가 주어진 미소변위에 대한 함수의 미소변화량을 재는 개념이라고 이해하시면, 그 정의 자체가 좌표의 선택에 의존할 필요가 없음을 쉽게 이해하실 것입니다.

2. 한편, 전미분이란 개념이 비록 기하학적으로 의미가 있는 양이긴 하지만, 실제 계산을 할 때에 전미분이란 개념만 갖고 쓰기에는 좀 무리가 있습니다.

그래서 우리는 좌표계 (x₁, …, x_n)가 하나 주어졌을 때, 각 좌표 방향으로의 미분형식 dx_j 들에 대하여 df를 아래와 같이 전개할 수 있습니다.

이때 각각의 성분 c_j 들을 "f의 x_j 방향으로의 편미분(partial derivative)"이라고 정의하고 

로 적습니다. 즉, 편미분은 전미분을 주어진 좌표계에 대하여 전개했을 때, 그 성분들이 됩니다. 당연하게도, 편미분은 좌표계에 전적으로 의존하며, 편미분들이 좌표계에 의존하는 방식이 바로 우리가 잘 아는 연쇄 법칙(chain rule)이 됩니다.

3. δ라는 기호는 보통 다른 문자의 앞에 붙어, 우리가 보통 '미소량'이라고 부르는 양들을 나타내곤 합니다. 그러나 이에 대한 정확한 정의가 있는 것은 아니며, 그냥 문맥상 어떤 변수의 의미가 미소량이 될 때, 그 사실을 나타내기 위해 앞에 관습적으로 붙여줄 뿐입니다. 따라서 수학적으로 δx 가 어떤 특별한 대상이 되는 것은 아닙니다.

보통 물리학 쪽에서는 dx, δx, Δx 순으로 크기가 커진다고 이야기합니다. 즉, 셋 다 문맥상 미소량을 나타낼 때 쓰긴 하지만, dx는 δx에 비하여 여전히 한참 작은 양이며, δx는 다시 Δx에 비하여 한참 작은 양이 되는 것이지요.

미적분학의 기본정리.pdf

2. 미분법이란?

http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=61894233&qb=66+467aE7J2YIOyiheulmA==&enc=utf8&section=kin&rank=3&search_sort=0&spq=0

y=f(x)는  y에 관하여 풀은 식

              y를 x에관하여 나타낸식

              y는 x의 함수

                           라는 의미를 가지고 있습니다.

예를 들어 y= f(x)= ax²+bx+c (a≠0,b,c상수)를 x에 관한  2차함수라고 합니다.

G={(x,y)ㅣ y=f(x) }는 함수의 그래프라고 하고, 이것을 X-Y좌표평면에 나타낸 것을

그래프의 기하하적 표시(통상 이것을 그래프로 사용합니다만)라고 합니다.

예를 들어 G={(x,y)ㅣ y=ax²+bx+c (a≠0,b,c상수)}는 2차함수의 그래프이고,  이것을 X-Y좌표평면에 나타낸

포물선을  그래프의 기하하적 표시(통상 사용하는 그래프)라고 하지요.

함수  y=f(x)  그래프 위의 어떤 점(x=x₀) 에서  접선이 존재할 때, 이 접선의 기울기 값을  그 점(x=x₀)에서의 변화율(=순간변화율, =미분계수)라고 합니다. 기호로는 f'(a), y'_x=a, [dy/dx]_x=a로 나타냅니다.

예를 들어 y=f(x)= ax²+bx+c (a≠0,b,c상수) 그래프 위의 어떤 점( x=x₀) 에서  접선이 존재합니다. 이 접선의 기울기 값은  2ax₀ +b 로 알려져 있습니다. 그러면 점(x=x₀)에서의 순간변화율(=변화율, =미분계수)은 2ax₀ +b가 되고 기호로는 f'(x₀)= 2ax₀ +b, y'(x₀)=2ax₀ +b, [dy/dx]_x=x0 =2ax₀ +b 로 나타낼 수 있겠지요.

곧, 함수 y=f(x)의 x=x₀ 에서의 변화율 f'(x₀)는 x 좌표가 x₀ 인 점에서의 접선의 기울기인 것입니다. 여기서

    함수 y=f(x)의 x=x 에서의 변화율  f'(x)는 x 좌표가  x 인 점에서의 접선의 기울기를 나타내며, 이 f'(x)를

함수 y=f(x)의 도함수라고 합니다.

예를 들어 y=f(x)= ax²+bx+c (a≠0,b,c상수)의 도함수는  f'(x)=2ax +b 입니다. X 축에 평행한 직선 (y=상수C)의 기울기는 0 이므로 (상수C)'=0 입니다.

이제 도함수를 알면 곡선의 접선의 기울기를 어느 점에서건 모두 알 수 있구나 하는 생각이 드실 것입니다.

이 도함수를 구하는 것(곡선의 접선의 기울기 구하는 것)을 “미분 한다” 라고 하고, 그 방법을 “미분법”이라고 합니다.

고등학교에서 미분은 방정식 풀이에 주로 이용됩니다.

적분법이란?

이제 거꾸로,

도함수 f‘(x)가 주어져 있을 때, f(x)는 미분하기 전의 함수인 것을 알 수 있을 것입니다.

이 미분하기 전의 함수 f(x)를  도함수 f'(x)의 원시함수(=부정적분)이라고 합니다. 그러면  f'(x)의 임의의 원시함수는  f(x) +임의의 상수 C 가 됩니다. { f(x) +임의의 상수 C}‘= f'(x)가 되기 때문입니다.

예를 들어 y=f'(x)=2ax +b의 임의의 원시함수는  y= ax²+bx+c가 될 것입니다.

이제 부정적분을 알면 어떤 곡선을 미분해서 나온 것인지를 알 수 있구나 하는 생각이 드실 것입니다.

함수의 부정적분(원시함수)을 구하는 것을 함수를 “적분 한다”고 하고, 그 방법을 “적분법”이라고 합니다.

고등학교에서 적분은 곡선의 길이, 둘러싸인 면적, 둘러싸인 부피, 밀도 등을 계산하는데 이용될 수 있고, 방정식을 푸는데도 이용

※

정적분과 부정적분은 그 개념이 완전히 다릅니다.

먼저 부정적분은 미분의 역연산으로 정의되는 함수입니다.

미분을 하면 상수항은 없어지기 때문에 어떤 함수의 도함수를 부정적분하면 원래 갖고 있던 상수항이 무엇인지 알 수 없고,

따라서 상수항이 정해지지 않았다는 뜻의 부정적분이라고 부르며 적분상수 C를 붙여주죠.

하지만 정적분은 보통 일정한 구간에서 함수와 x축으로 둘러쌓인 부분의 넓이를 구하는 연산입니다.

이때 그 넓이가 x축보다 위에 있으면 (+)값을 갖고, x축보다 아래에 있으면 (-)값을 갖지요.

정적분의 경우 리만합의 형태로 정적분이 정의되며, 넓이를 구하는 것이기 때문에 어떤 값으로 나오기 마련이지요.

따라서 정해지지 않은 적분상수역시 붙지 않습니다.

단,

부정적분은 미분의 역연산으로 정의되지 않습니다.

부정적분을 정의하기 위해서는 정적분을 먼저 정의해야 하고, 그 다음에 정적분의 (1차원 정적분의 경우)위쪽 끝을 변수 x로 바꾼 게 부정적분의 정의입니다.

부정적분이 미분의 역연산이라는 건 그건 함수 f가 기껏해야 연속함수일 때나 겨우 성립하는 명제일 뿐입니다. 단지 고등학교나 (수학과를 제외한) 학과에서는 주로 연속함수 위주로 다루기 때문에 그렇게 보이는 것입니다.

[출처] 정적분 / 부정적분의 차이점.. (수학클럽) |작성자 수학광

[출처]

함수의 종류는?

유리함수, 무리함수 및 대수함수, 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수와 로그함수, 그리고

이들을 합성하여 얻어지는 함수를 통틀어서 초등함수라고 합니다.

대학 3~4학년 내용인 다른 함수는 이름만 적겠습니다.

주요한 함수는 쌍곡선 함수, 특수함수(special fuction)인

1. Gamma function, Digamma and Polygamma function
2. Beta function
3. Bessel function
4. Spherical Bessel function
5. Legendre function
6. Associated Legendre function
7. Spherical Harmonics
8. Vector Spherical Harmonics
9. Hermite Function
10.Laguerre Function
11.Hypergeometric function
입니다.

기본적인 도함수는?

24개만 적어 보겠습니다.마우스를 더블클릭하면 잘 보일 거에요.

미분법의 기본공식은?

두 함수 f(x), g(x)의 도함수가 존재할 때,

①  f(x)=c(상수)이면 f'(x)=0

②  y=xⁿ(n은 유리수)이면 y'=nx^n-1

③  y=cf(x) (c는 상수)이면 y'=cf'(x)

④  y=f(x)±g(x)이면  y'=f'(x)±g'(x)

⑤  y=f(x)g(x)이면 y'=f'(x)g(x)±f(x)g'(x)(복호동순)

⑥  y=f(x)/g(x)( 단, g(x)≠0)이면  y'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/{g(x)}²

 특히, y=1/g(x) 이면 y'= -g'(x)/{g(x)}² 있습니다.

미분법에는?

합성함수의 미분법, 음함수의 미분법, 역함수의 미분법, 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법 등이 있습니다.

학부 경제학 관련 수학은?

선형대수학(linear alhebra),  해석학(calculus), 미분방정식(partial differential equation), 최적화이론(optimization theory), 선형계획법(linear project) 등입니다.

7차 교육과정상 미적분을 접하지 않은 학생들을 위한 특강이 신입생 대상으로 행해지고 있는 듯합니다.

도움이 되셨기를 바랍니다~

좋은 주일 되세요~

첨부파일첨부된 파일이 1개 있습니다.

• pdf 파일 미적분학의 기본정리.pdf 다운로드