파동은 무엇인가?
일반적으로 파동은 어떤 물리량이 주기적으로 변하면서 그 변화가 공간을 따라 전파되어 나가는 것을 말한다. 그 물리량이 기체의 압력일 때는 보통 소리라고 하는 음파가 되고, 평형위치에 대한 수면의 변위일 때는 수면파가 된다. 그 외에도 지진파, 줄의 진동 등이 있다. 보통 파동으로 되는 물리량은 서로 공간적으로 영향을 주고 받을 수 있어 유기적으로 연결되어 있어야 하고 또한 평형상태로 되돌아 가려고 하는 탄성이 있어야 한다. 자연현상에서는 여러 가지 종류의 파동이 있고, 그 전파모양이나 진동모양이 일정하지 않다. 그러나 어느 경우든지 파동이라 함은 물리량이 존재하고 있는 바탕으로 볼 수 있는 매질 자체가 전파되어 나가는 것이 아니라, 그 매질의 성질이 전파되어 나가는 것이다.
파동은 어떤것이 있는가?
줄의 파동
팽팽하게 당겨진 줄이 그 평형위치에서 변위된 정도가 줄을 타고 전파되는 파동이다. 기타, 바이올린 등 현악기는 줄의 파동이 음파를 만들어 내게 된다.
음파
음파는 매질을 구성하는 분자 등의 진동이 전파되는 파동으로서 파의 진행방향으로 압축되었다가 팽창하면서 전파된다. 이 음파는 공기중으로 전파되어 우리 귀로 들을 수 있다.
그림은 금속 관위에 작은 촛불을 켜서 일렬로 늘어 놓은 것이다. 관 내부에 정상파를 형성시키면 관의 진동이 초를 흔들어 진동이 큰 지역에서는 촛불이 어두워 지게 된다. 이 불꽃의 형태는 바로 관 내부에서 형성되는 음파의 정상의 모습을 시각적으로 보여준다.
막의 파동
고무막을 가장자리들을 팽팽하게 당겨서 그 막의 일부분을 튕겨주면 변형된 모습이 사방으로 전파된다. 이는 줄의 파동이 2차원으로 확장된 것으로 이해할 수 있다. 이 파동의 공명을 이용한 북 등 타악기가 있다.
수면파
호수나 바다의 수면이 진동하면서 그 진동하는 양상이 주변으로 전파되는 파동으로 탄성에 의한 복원력의 종류에 따라 표면장력파, 중력에의한 파 등이 있다.
전자기파
전기장의 요동이 자기장을 만들거나 변화시키고, 또한 자기장의 요동이 전기장을 만들거나 변화시키다. 그 전기장이나 자기장의 변화는 다시 자기자신의 변화를 유발하게 되어 결국에는 공간에서 파동형태로 전파되게 된다. 이를 전자기파라한다. 이 파동은 특이하게 매질을 바탕으로 하여 전파되는 것이 아니라, 공간 그 자체를 바탕으로 하여 전파된다. 진공에서의 그 속도는 잘 알고 있는 대로 30만km/sec이다. 이 파의 파장에 따라 우리는 전파(장파, 중파, 초단파, 마이크로파 등), 빛(적외선, 가시광선, 자외선 등), X-선, -선 등 구분하여 부르는데 그것이 생겨나는 원리가 다르다. 그러나 이 모두는 전자기파로서의 공통적인 성질을 갖고 있다.
마이크로파
전자기파로서의 마이크로파는 파장이 극히 짧아서 많은 정보를 실어보낼 수 있기 때문에 위성통신, 정보통신등의 분야에 널리 쓰인다. 뿐만 아니라 마이크로파는 금속에서 잘 반사되고, 유리, 공기, 종이등에서는 잘 투과되나 수분을 포함하는 음식물 등에서는 흡수되어 발열을 하므로 이를 이용하여 음식을 가열하는데 쓴다. 지금은 가정에서도 많이 볼 수 있는 마이크로파 오븐(전자렌지)이 바로 물에 가장 잘 흡수되는 2.45GHz의 마이크로파를 이용한 조리기구이다. 보통 마이크로파를 발생시키는데는 진공관, 마그네트론 등을 이용한다. 본 실험에서는 건 다이오드(gunn giode)라 하는 마이크로파 발진 다이오드를 써서 미약한 신호를 발진시켜 이를 이용한다.
빛
빛도 전자기파의 일종이다. 그러나 보통 전파라고 하는 영역의 전자기파는 전자공학의 회로구성을 통하여 발생시킬 수가 있는데 비하여 빛은 원자 혹은 분자의 전자전이에 의하여 발생되고 또한 이들에 의하여 흡수된다. 따라서 이는 생명체의 생체 화학적인 과정에 의하여 우리가 빛을 인식하기때문에 보통의 전자기파와 구별한다. 레이저의 경우처럼 특수한 경우가 있지만 보통의 광원은 결이 잘 맞아 있지 못할 뿐더러 파장도 일정하지 못하여 간섭이 잘 일어나지 않는다.
파동의 분류
물리량에 따라
위치, 변위, 압력 - 줄의 진동, 수면파, 지진파, 음파
전기장, 자기장 - 빛
중력장 - 중력파
변위량의 수학적 성질에 따라
스칼라파 - 음파(음압의 변화로 볼 때), 온도파
벡터파 - 대부분의 파동
텐서파 - 중력파
벡터의 방향에 따라 (종파와 횡파)
용수철의 파동의 예(그림 생략)
위 그림은 용수철을 진동시켰을 때 형성되는 파동의 모습을 보여주고 있다. 위의 것은 용수철을 좌우로 흔들어 주었을 때 그 좌우의 진동이 오른쪽으로 전파되는 것을, 아래 그림은 용수철을 아래위로 흔들었을 때 그것이 오른쪽으로 전파되는 것을 보여주고 있다. 위의 경우처럼 파의 진행방향과 진동방향이 나란한 경우를 종파라 한다. 한편 아래의 경우처럼 두 방향이 수직일 때를 횡파라 한다. 경우에 따라 두 진동이 조합되어 횡파나 종파라고 말할 수 없는 경우도 있다.(약 10초 마다 다른 파장의 파가 만들어진다. 실제의 용수철로 다른 파장을 만들기 위해서는 왼쪽 끝을 진동시키는 진동수를 달리 하면 될 것이다)
파가 존재하지 않는 경우는 일직선으로 용수철의 늘어져 있으면서 나선으로 감겨있는 그 간격이 일정한 평형상태라고 할 수 있다. 종파의 경우 이 평형상태에서 좌우로 벗어나게 되는데 이 거리를 변위라고 한다. 횡파에서는 이 변위의 방향이 아래위, 즉 세로 방향이 된다. 용수철의 종파는 감겨있는 정도가 촘촘해졌다가 듬성듬성해졌다가 하는 양상이 번져나가는 것이어서 소밀파의 한 종류가 된다. 그러나 횡파의 경우는 겉으로 보기에 그 높낮이가 전파되는 것이어서 고저파의 일종이다.
종파 - 음파, 지진파
횡파 - 줄의 진동, 수면파, 지진파, 빛
파동의 표현
파동의 수학적 표현 - 파동함수 및 파동방정식
파동의 모든 것은 파동함수로 기술된다.
호수의 물결을 잘 관찰 해보면 호수면의 수면의 높이가 각 지점에따라 달리 되어 있으면서 그 형태가 계속 움직이는 것을 볼 수 있을 것이다. 수면의 높이(파동량)를 호수내의 각 지점의 위치, 즉 공간과 시간의 함수로 표현한다면 그 수면파(물결)에 대한 총체적인 표현이 될 것이다. 이처럼 파동의 모든 정보는 파동량의 공간, 시간의 함수로서 완벽하게 기술되어 이를 파동함수라고 한다.
이 파동함수의 차원은 그것이 표현하는 파동량의 물리적인 차원이 되어 수면파나 줄의 파동 경우 파동함수는 거리의 차원을 가지고, 소리의 경우는 음압파동으로 보면 압력, 소밀파동로 보면 밀도, 변위파동으로 보면 거리의 차원을 갖는다.
파동도 물리적인 현상이므로 운동법칙이나 전자기법칙 등 기본적인 물리법칙을 만족해야 하여 파동함수도 특별한 방정식을 만족하게 되는데 이를 파동방정식이라 한다. 즉 파동의 파동함수는 파동방정식을 만족해야 하면 또한 이 파동방정식의 어떠한 수학적인 해도 물리적으로 가능한 파동이다.
여러 가지 파동을 열거하여 각각의 파동량(파동함수)은 어떤 물리량, 차원을 가지고 있는지를 알아보자.
수학의 함수로 표현하기 곤란한 파동은 어떤 경우일까? 수면파(바다의 파도)를 예로 설명해 보자.
조화파 (harmonic wave)
조화파는 잘 빚어진 파동이다.
파동은 여러가지 다양한 형태, 보다 정확하게 말하면 거의 임의의 모양을 할 수 있다. 예를 들어 줄의 한쪽을 손으로 진동시켜서 파동을 발생 시키는 경우를 생각해보자. 이때 손으로 흔드는 폭을 시간에 따라서 거의 임의로 할 수 있고, 이 경우 줄을 따라 전파되어 가는 파동이 공간에 펼쳐진 모습도 임의의 함수 모양이 된다. 이러한 임의의 파가 있을 수 있지만 우선 잘 빚어진 파동에 대하여 고려하도록 한다.
이렇게 잘 빚어진 파동을 주로 취급하는데에는 몇가지 이유가 있다. 우리가 일상 생활에서 접하는 파동은 그 파동의 크기가 그렇게 크지 않을 때에는 sin함수 형태의 매끈한 모습일 때가 많다. 파가 매질에서 이동하면서 분산(dispersion)에 의하여 여러 가지의 sin파로 분리되어 버리기 때문도 하나의 이유가 된다. 또한 파가 발생되는 처음의 요동이 조화진동(harmonic oscillation)인 것도 다른 이유가 된다. 앞에서 손으로 줄의 끝을 잡고 진동시키는 경우 손의 운동을 아주 유연하게 한다면 이로부터 발생되는 공간에 펼처진 파동의 모습도 유연한 모습이 되는 것이다. 이렇게 sin함수 형태의 유연한 파동을 조화파라 한다. 한편 여러 다양한 진동수의 조화파도 적당히 합성하면 임의의 모양의 파동을 만들어 줄 수 있다. 이에 따라 파동에 대한 전반적인 이해는 이러한 매끈한 모습의 조화파에 대한 이해로부터 출발한다.
조화파는 아래 그림처럼 sin함수로 표현할 수 있는 파를 말한다. 임의의 파동은 이러한 조화파의 합성된 형태로 나타낼 수 있다. 그림과 수식에는 파를 구성하는 몇가지 요소가 서로 관계되어 표현 되어 있다.
조화파의 구성요소 : 파장, 주기(진동수), 진폭
아래 프로그램을 운용해 보자. 오른쪽 하단의 run 버튼을 누르면 위치 그래프상의 파동이 움직이기 시작한다. 아울러 원점에서의 파동량이 시간에 따라 변화되는 모습이 하단의 그래프에 순차적으로 표현된다. 이를 잘 관찰하여 파장, 주기의 의미를 생각해보자. 프로그램의 실행을 정지시키려면 pause 버튼을 누른다. 90초의 시간이 지나거나 reset 버튼을 누르면 새로운 파장, 주기의 파동이 임의의 값으로 생성된다. 시간 sec과 거리 m는 실제의 축적과 차이가 있다. 아래 그래프의 축적에서 파동의 진행속도, 진동수를 구해보자. <끝낸후 pause 버튼을 눌러 프로그램을 끝내도록 한다>
(그림 생략)
파동의 발생 - 줄의 파동의 경우
파동이 만족하는 파동방정식을 만들어 보자.
줄의 양 끝이 장력 F에 의해 당겨지고 있을 때 팽팽하게 긴장된 상태를 유지하여 일직선을 이루고 있을 것이다. 이때 줄의 어떤 부분을 당겼다가 놓으면 변형된 모습은 양방향으로 퍼져 나갈 것이다. 줄의 운동양상은 전적으로 운동법칙에 의해 지배되고 따라서 줄의 부분이 받는 모든 힘을 분석해 봄으로서 파동이라는 특이한 운동의 형태를 이해할 수 있다.
아래 그림에서 볼 수 있는 것 처럼 인접한 부분의 변위가 자기 자신에게 영향을 미치고, 또한 자기자신의 변위가 인접한 부분으로 영향을 주기 때문에 이것이 교대로 일어나서 그 변위의 정도가 공간상으로 퍼져나가게 된다. 줄의 각 부분이 서로 연결 되지 않았다면 파동은 생겨날 수 없을 것이다.
아래 그림은 줄의 일부분에서의 힘의 분포를 보여주고 있다. 수평방향이 x축 방향이고, 힘 F는 장력으로서 줄 전체에 걸쳐 거의 일정하다. 그리고 줄의 부분이 기울어져 있는 정도는 과장되게 그려져 있어 실제로 기울어진 각 q는 거의 0에 가깝다.
U : 줄의 세로방향으로의 변위. 줄의 위치 x와 시간 t에 따라 달라진다. U (x,t)의 함수 형태로 표현된다.
x : 줄의 위치
t : 시간
F : 줄의 양 끝이 당겨주는 힘(장력). 이 힘은 줄을 따라 모든 지점에 거의 같은 크기로 전달된다.
m : 줄의 선밀도
줄의 변위가 적어서 기울어진 각도 t가 0에 가까울때
로 놓을 수 있다.
위 그림에서 줄의 일부분 Dx가 받는 힘은 아래와 같다.
이 힘에 의한 운동방정식은,
이를 정리하면 1차원에서의 파동방정식을 얻을 수 있다.
여기서
한편 이 식을 3차원으로 자연스럽게 확장하면 다음의 3차원 파동방정식을 얻을 수 있다.
위 1차원의 파동방정식은 2계미분 방정식이어서 초기의 위치 함수, 속도함수가 있으면 결정할 수 있다. 한편 이 방정식은 다음과 같은 (x - vt) 나 (x + vt) 의 임의의 함수형태의 해를 갖는다.
이중 단조화 진동에 의하여 발생되는 파동이라면 sin함수로 표시되어 이를 조화파라고 한다.
여기서 l은 파장이다. 일차원 조화파에 대한 표현을 아래와 같이 파수 k, 각진동수 w로 표현하여 다음과 같이 쓰기도 한다.
아래 그림은 줄의 파동이 전파되는 모습을 보이고 있다. 줄의 변위 형태는 그 모양을 유지하면서 오른쪽으로 이동하고 있다. 한 순간의 파의 모습은 sin함수형이어서 그 거듭되는 주기는 파장이 되고, 파의 크기는 진폭이라 한다. 한편 공간의 한 지점을 주시하면 그 부분의 줄은 스프링에 매달려 있는 추처럼 진동을 하고 있는 것을 알 수 있다. 이처럼 파의 진행방향과 매질이나 매질의 물리량의 진동방향이 수직한 경우의 파동을 횡파라 한다.
(그림 생략)
파동의 표현(2)
파동의 여러 양상
2차원의 파동
수면파의 경우
호수나 바다에 형성되는 파동, 즉 수면파는 평면 위에 펼쳐진 파동으로 파동함수가 공간의 2차원, 시간의 1차원의 함수이다. 줄의 파동은 그 파동이 뛰노는 공간이 1차원이어서 1차원 파동이라 한다면 이 수면파는 2차원의 공간에 분포된 것이어서 2차원 파동이라 할 수 있다. 우리가 수면파에서 관찰 할 수 있는 파의 양상은 매우 복잡하여 쉽게 설명하기 힘든 것 처럼 보인다. 그러나 한 지점으로부터 비롯된 파동은 동심원의 원형파가 되고, 이 원형파가 멀리 퍼져 나갔을 때에는 마루나 골의 모양이 직선이 되는 평면파로 비교적 간단하게 기술할 수 있다.
줄의 파동의 경우는 줄의 각 요소가 물리적으로 연결 되어 있어 서로를 당겨주기 때문인데 수면파의 경우 이에 해당하는 것이 무엇일까?
2차원의 파동방정식의 형태는 어떨까?
원형파
호수에 돌을 던지면 고요하던 물이 일렁거리면서 그 일렁거리는 것이 퍼져나간다. 돌이 던져진 지점을 중심으로 하여 사방으로 퍼저나가는 물결은 동심원을 이루게 된다. 또한 멀리 진행할수록 파의 높이는 줄어들어 아주 먼곳에서는 파가 거의 사라져 버린다. 뿐만 아니라 시간이 흘러가면 다시 고요한 호수의 본래의 모습으로 되돌아 간다. 원형파가 멀어질수록 줄어드는 이유는 파동의 에너지가 보존되어야 하기 때문이다. 멀어질수록 파가 점유된 공간(여기서는 길이)가 커지기 때문에 진폭이 줄어들어야 전체의 에너지가 그대로 유지된다. 한편 수면파는 물의 마찰열로의 발산에 의해 에너지가 서서히 열에너지로 소모되어 상당한 시간이 흐르면 수면이 고요해진다.
아래의 그림은 수면의 한 지점을 진동시켰을 때 사방으로 퍼져 나가는 파동의 모습을 움직이는 그림으로 보여주고 있다. 진동의 지점이 원점이 되는 동심원으로 파동이 번져나가는 것을 관찰 할 수 있다.
아래 그림은 Mathematica로 간단하게 생성한 원형파를 보여주고 있다.
r := Sqrt[x^2 + y^2]
Plot3D[BesselJ[0,r], {x,-50,50},{y,-50,50}, PlotPoints->{100,100}, Axes->False, Mesh->False ,BoxRatios->{1,1,0.2}]
구면파에서 그 중심으로부터 멀리 떨어 질수록 진폭은 어떤 비율로 줄어 들까?
실제로 3차원 공간에 뛰 노는 3차원 파동중에서 2차원 파동으로 이해 할 수 있는 경우가 있다. 이는 어떤 경우이고, 원형파는 3차원 파동의 경우 원통파가 되는 것을 생각 해보자.
주변에서 이차원 파동이라 할 수 있는 다른 파동의 예를 들어보자.
시간을 거꾸로 진행 시켰을 때(시간역전) 나타날 수 있는 물리현상도 실제로 존재할 수 있다. 앞의 원형파의 움직이는 그림에서 보는 파동에 대한 이러한 시간역전을 적용시킨 파동은 어떤 경우에 관측될 수 있을까?
평면파
호수에서 막대기로 수면에 나란하게 치면 길다란 파가 생겨 날 것이다. 이러한 파는 진행을 하여도 계속 나란하게, 또한 파의 진폭도 별로 줄어들지 않고 전파되어 나갈 것이다.앞의 그림의 파동을 구면파라 한다면 이러한 파동을 평면파라 한다.
평면파의 단면은 단순한 1차원 파동과 다를 것이 없다. 전체적으로 물의 양이 일정하므로 올라간 부분의 면적과 내려간 부분의 면적은 같을 것이다. 줄의 진동의 경우에는 이러한 제약 조건이 없을 것이다.
3차원의 파동
음파의 경우
우리가 소리를 지르면 그 소리는 공기중을 가로질러 사방으로 퍼져 나간다. 그 소리는 공기의 밀도의 변화나 평형위치에서의 변위량을 파동량으로 삼을 수 있는 파동이기 때문에 그 파동이 뛰노는 공간은 3차원이다. 소리라 하는 음파는 지진파, 전자기파 등 대부분의 다른 파동과 함께 3차원 파동이라 할 수 있다. 3차원으로 번져가는 파동은 비록 조화파라 하더라도 2차원파동의 원형파, 평면파처럼 다양한 형태가 있다. 점으로부터 발생되어 나가는 경우 파면이 구면인 구면파가 될 것이고, 선으로부터 발생되는 원통파, 구면파나 원통파가 멀리 진행하여 파면이 평면이 되는 평면파가 있다. 또한 중첩에 원리에 의하여 이러한 단순한 파가 겹쳐서 나타나는 복잡한 여러 모양을 가질 수 있다.
오른편 그림은 3차원의 파동이 번져나가는 모습을 보여주고 있다.각 지점에서의 파동량은 음파나 지진파 처럼 그곳의 물체의 변위일 수도 있고, 아니면 전자기파처럼 다른 물리량일 수 있다. 오른쪽 그림에서 나타낸 것은 각 격자점의 위치가 변화되는 변위의 파동이다. 이 변위는 역시 공간의 3차원 상으로 이루어질 수 있으나 음파의 경우에는 진행방향으로만 형성되는 종파이다.
http://club.nate.com/jsps/club/club_index.jsp?p_club_id=atdjjhsum
일반적으로 파동은 어떤 물리량이 주기적으로 변하면서 그 변화가 공간을 따라 전파되어 나가는 것을 말한다. 그 물리량이 기체의 압력일 때는 보통 소리라고 하는 음파가 되고, 평형위치에 대한 수면의 변위일 때는 수면파가 된다. 그 외에도 지진파, 줄의 진동 등이 있다. 보통 파동으로 되는 물리량은 서로 공간적으로 영향을 주고 받을 수 있어 유기적으로 연결되어 있어야 하고 또한 평형상태로 되돌아 가려고 하는 탄성이 있어야 한다. 자연현상에서는 여러 가지 종류의 파동이 있고, 그 전파모양이나 진동모양이 일정하지 않다. 그러나 어느 경우든지 파동이라 함은 물리량이 존재하고 있는 바탕으로 볼 수 있는 매질 자체가 전파되어 나가는 것이 아니라, 그 매질의 성질이 전파되어 나가는 것이다.
파동은 어떤것이 있는가?
줄의 파동
팽팽하게 당겨진 줄이 그 평형위치에서 변위된 정도가 줄을 타고 전파되는 파동이다. 기타, 바이올린 등 현악기는 줄의 파동이 음파를 만들어 내게 된다.
음파
음파는 매질을 구성하는 분자 등의 진동이 전파되는 파동으로서 파의 진행방향으로 압축되었다가 팽창하면서 전파된다. 이 음파는 공기중으로 전파되어 우리 귀로 들을 수 있다.
그림은 금속 관위에 작은 촛불을 켜서 일렬로 늘어 놓은 것이다. 관 내부에 정상파를 형성시키면 관의 진동이 초를 흔들어 진동이 큰 지역에서는 촛불이 어두워 지게 된다. 이 불꽃의 형태는 바로 관 내부에서 형성되는 음파의 정상의 모습을 시각적으로 보여준다.
막의 파동
고무막을 가장자리들을 팽팽하게 당겨서 그 막의 일부분을 튕겨주면 변형된 모습이 사방으로 전파된다. 이는 줄의 파동이 2차원으로 확장된 것으로 이해할 수 있다. 이 파동의 공명을 이용한 북 등 타악기가 있다.
수면파
호수나 바다의 수면이 진동하면서 그 진동하는 양상이 주변으로 전파되는 파동으로 탄성에 의한 복원력의 종류에 따라 표면장력파, 중력에의한 파 등이 있다.
전자기파
전기장의 요동이 자기장을 만들거나 변화시키고, 또한 자기장의 요동이 전기장을 만들거나 변화시키다. 그 전기장이나 자기장의 변화는 다시 자기자신의 변화를 유발하게 되어 결국에는 공간에서 파동형태로 전파되게 된다. 이를 전자기파라한다. 이 파동은 특이하게 매질을 바탕으로 하여 전파되는 것이 아니라, 공간 그 자체를 바탕으로 하여 전파된다. 진공에서의 그 속도는 잘 알고 있는 대로 30만km/sec이다. 이 파의 파장에 따라 우리는 전파(장파, 중파, 초단파, 마이크로파 등), 빛(적외선, 가시광선, 자외선 등), X-선, -선 등 구분하여 부르는데 그것이 생겨나는 원리가 다르다. 그러나 이 모두는 전자기파로서의 공통적인 성질을 갖고 있다.
마이크로파
전자기파로서의 마이크로파는 파장이 극히 짧아서 많은 정보를 실어보낼 수 있기 때문에 위성통신, 정보통신등의 분야에 널리 쓰인다. 뿐만 아니라 마이크로파는 금속에서 잘 반사되고, 유리, 공기, 종이등에서는 잘 투과되나 수분을 포함하는 음식물 등에서는 흡수되어 발열을 하므로 이를 이용하여 음식을 가열하는데 쓴다. 지금은 가정에서도 많이 볼 수 있는 마이크로파 오븐(전자렌지)이 바로 물에 가장 잘 흡수되는 2.45GHz의 마이크로파를 이용한 조리기구이다. 보통 마이크로파를 발생시키는데는 진공관, 마그네트론 등을 이용한다. 본 실험에서는 건 다이오드(gunn giode)라 하는 마이크로파 발진 다이오드를 써서 미약한 신호를 발진시켜 이를 이용한다.
빛
빛도 전자기파의 일종이다. 그러나 보통 전파라고 하는 영역의 전자기파는 전자공학의 회로구성을 통하여 발생시킬 수가 있는데 비하여 빛은 원자 혹은 분자의 전자전이에 의하여 발생되고 또한 이들에 의하여 흡수된다. 따라서 이는 생명체의 생체 화학적인 과정에 의하여 우리가 빛을 인식하기때문에 보통의 전자기파와 구별한다. 레이저의 경우처럼 특수한 경우가 있지만 보통의 광원은 결이 잘 맞아 있지 못할 뿐더러 파장도 일정하지 못하여 간섭이 잘 일어나지 않는다.
파동의 분류
물리량에 따라
위치, 변위, 압력 - 줄의 진동, 수면파, 지진파, 음파
전기장, 자기장 - 빛
중력장 - 중력파
변위량의 수학적 성질에 따라
스칼라파 - 음파(음압의 변화로 볼 때), 온도파
벡터파 - 대부분의 파동
텐서파 - 중력파
벡터의 방향에 따라 (종파와 횡파)
용수철의 파동의 예(그림 생략)
위 그림은 용수철을 진동시켰을 때 형성되는 파동의 모습을 보여주고 있다. 위의 것은 용수철을 좌우로 흔들어 주었을 때 그 좌우의 진동이 오른쪽으로 전파되는 것을, 아래 그림은 용수철을 아래위로 흔들었을 때 그것이 오른쪽으로 전파되는 것을 보여주고 있다. 위의 경우처럼 파의 진행방향과 진동방향이 나란한 경우를 종파라 한다. 한편 아래의 경우처럼 두 방향이 수직일 때를 횡파라 한다. 경우에 따라 두 진동이 조합되어 횡파나 종파라고 말할 수 없는 경우도 있다.(약 10초 마다 다른 파장의 파가 만들어진다. 실제의 용수철로 다른 파장을 만들기 위해서는 왼쪽 끝을 진동시키는 진동수를 달리 하면 될 것이다)
파가 존재하지 않는 경우는 일직선으로 용수철의 늘어져 있으면서 나선으로 감겨있는 그 간격이 일정한 평형상태라고 할 수 있다. 종파의 경우 이 평형상태에서 좌우로 벗어나게 되는데 이 거리를 변위라고 한다. 횡파에서는 이 변위의 방향이 아래위, 즉 세로 방향이 된다. 용수철의 종파는 감겨있는 정도가 촘촘해졌다가 듬성듬성해졌다가 하는 양상이 번져나가는 것이어서 소밀파의 한 종류가 된다. 그러나 횡파의 경우는 겉으로 보기에 그 높낮이가 전파되는 것이어서 고저파의 일종이다.
종파 - 음파, 지진파
횡파 - 줄의 진동, 수면파, 지진파, 빛
파동의 표현
파동의 수학적 표현 - 파동함수 및 파동방정식
파동의 모든 것은 파동함수로 기술된다.
호수의 물결을 잘 관찰 해보면 호수면의 수면의 높이가 각 지점에따라 달리 되어 있으면서 그 형태가 계속 움직이는 것을 볼 수 있을 것이다. 수면의 높이(파동량)를 호수내의 각 지점의 위치, 즉 공간과 시간의 함수로 표현한다면 그 수면파(물결)에 대한 총체적인 표현이 될 것이다. 이처럼 파동의 모든 정보는 파동량의 공간, 시간의 함수로서 완벽하게 기술되어 이를 파동함수라고 한다.
이 파동함수의 차원은 그것이 표현하는 파동량의 물리적인 차원이 되어 수면파나 줄의 파동 경우 파동함수는 거리의 차원을 가지고, 소리의 경우는 음압파동으로 보면 압력, 소밀파동로 보면 밀도, 변위파동으로 보면 거리의 차원을 갖는다.
파동도 물리적인 현상이므로 운동법칙이나 전자기법칙 등 기본적인 물리법칙을 만족해야 하여 파동함수도 특별한 방정식을 만족하게 되는데 이를 파동방정식이라 한다. 즉 파동의 파동함수는 파동방정식을 만족해야 하면 또한 이 파동방정식의 어떠한 수학적인 해도 물리적으로 가능한 파동이다.
여러 가지 파동을 열거하여 각각의 파동량(파동함수)은 어떤 물리량, 차원을 가지고 있는지를 알아보자.
수학의 함수로 표현하기 곤란한 파동은 어떤 경우일까? 수면파(바다의 파도)를 예로 설명해 보자.
조화파 (harmonic wave)
조화파는 잘 빚어진 파동이다.
파동은 여러가지 다양한 형태, 보다 정확하게 말하면 거의 임의의 모양을 할 수 있다. 예를 들어 줄의 한쪽을 손으로 진동시켜서 파동을 발생 시키는 경우를 생각해보자. 이때 손으로 흔드는 폭을 시간에 따라서 거의 임의로 할 수 있고, 이 경우 줄을 따라 전파되어 가는 파동이 공간에 펼쳐진 모습도 임의의 함수 모양이 된다. 이러한 임의의 파가 있을 수 있지만 우선 잘 빚어진 파동에 대하여 고려하도록 한다.
이렇게 잘 빚어진 파동을 주로 취급하는데에는 몇가지 이유가 있다. 우리가 일상 생활에서 접하는 파동은 그 파동의 크기가 그렇게 크지 않을 때에는 sin함수 형태의 매끈한 모습일 때가 많다. 파가 매질에서 이동하면서 분산(dispersion)에 의하여 여러 가지의 sin파로 분리되어 버리기 때문도 하나의 이유가 된다. 또한 파가 발생되는 처음의 요동이 조화진동(harmonic oscillation)인 것도 다른 이유가 된다. 앞에서 손으로 줄의 끝을 잡고 진동시키는 경우 손의 운동을 아주 유연하게 한다면 이로부터 발생되는 공간에 펼처진 파동의 모습도 유연한 모습이 되는 것이다. 이렇게 sin함수 형태의 유연한 파동을 조화파라 한다. 한편 여러 다양한 진동수의 조화파도 적당히 합성하면 임의의 모양의 파동을 만들어 줄 수 있다. 이에 따라 파동에 대한 전반적인 이해는 이러한 매끈한 모습의 조화파에 대한 이해로부터 출발한다.
조화파는 아래 그림처럼 sin함수로 표현할 수 있는 파를 말한다. 임의의 파동은 이러한 조화파의 합성된 형태로 나타낼 수 있다. 그림과 수식에는 파를 구성하는 몇가지 요소가 서로 관계되어 표현 되어 있다.
조화파의 구성요소 : 파장, 주기(진동수), 진폭
아래 프로그램을 운용해 보자. 오른쪽 하단의 run 버튼을 누르면 위치 그래프상의 파동이 움직이기 시작한다. 아울러 원점에서의 파동량이 시간에 따라 변화되는 모습이 하단의 그래프에 순차적으로 표현된다. 이를 잘 관찰하여 파장, 주기의 의미를 생각해보자. 프로그램의 실행을 정지시키려면 pause 버튼을 누른다. 90초의 시간이 지나거나 reset 버튼을 누르면 새로운 파장, 주기의 파동이 임의의 값으로 생성된다. 시간 sec과 거리 m는 실제의 축적과 차이가 있다. 아래 그래프의 축적에서 파동의 진행속도, 진동수를 구해보자. <끝낸후 pause 버튼을 눌러 프로그램을 끝내도록 한다>
(그림 생략)
파동의 발생 - 줄의 파동의 경우
파동이 만족하는 파동방정식을 만들어 보자.
줄의 양 끝이 장력 F에 의해 당겨지고 있을 때 팽팽하게 긴장된 상태를 유지하여 일직선을 이루고 있을 것이다. 이때 줄의 어떤 부분을 당겼다가 놓으면 변형된 모습은 양방향으로 퍼져 나갈 것이다. 줄의 운동양상은 전적으로 운동법칙에 의해 지배되고 따라서 줄의 부분이 받는 모든 힘을 분석해 봄으로서 파동이라는 특이한 운동의 형태를 이해할 수 있다.
아래 그림에서 볼 수 있는 것 처럼 인접한 부분의 변위가 자기 자신에게 영향을 미치고, 또한 자기자신의 변위가 인접한 부분으로 영향을 주기 때문에 이것이 교대로 일어나서 그 변위의 정도가 공간상으로 퍼져나가게 된다. 줄의 각 부분이 서로 연결 되지 않았다면 파동은 생겨날 수 없을 것이다.
아래 그림은 줄의 일부분에서의 힘의 분포를 보여주고 있다. 수평방향이 x축 방향이고, 힘 F는 장력으로서 줄 전체에 걸쳐 거의 일정하다. 그리고 줄의 부분이 기울어져 있는 정도는 과장되게 그려져 있어 실제로 기울어진 각 q는 거의 0에 가깝다.
U : 줄의 세로방향으로의 변위. 줄의 위치 x와 시간 t에 따라 달라진다. U (x,t)의 함수 형태로 표현된다.
x : 줄의 위치
t : 시간
F : 줄의 양 끝이 당겨주는 힘(장력). 이 힘은 줄을 따라 모든 지점에 거의 같은 크기로 전달된다.
m : 줄의 선밀도
줄의 변위가 적어서 기울어진 각도 t가 0에 가까울때
로 놓을 수 있다.
위 그림에서 줄의 일부분 Dx가 받는 힘은 아래와 같다.
이 힘에 의한 운동방정식은,
이를 정리하면 1차원에서의 파동방정식을 얻을 수 있다.
여기서
한편 이 식을 3차원으로 자연스럽게 확장하면 다음의 3차원 파동방정식을 얻을 수 있다.
위 1차원의 파동방정식은 2계미분 방정식이어서 초기의 위치 함수, 속도함수가 있으면 결정할 수 있다. 한편 이 방정식은 다음과 같은 (x - vt) 나 (x + vt) 의 임의의 함수형태의 해를 갖는다.
이중 단조화 진동에 의하여 발생되는 파동이라면 sin함수로 표시되어 이를 조화파라고 한다.
여기서 l은 파장이다. 일차원 조화파에 대한 표현을 아래와 같이 파수 k, 각진동수 w로 표현하여 다음과 같이 쓰기도 한다.
아래 그림은 줄의 파동이 전파되는 모습을 보이고 있다. 줄의 변위 형태는 그 모양을 유지하면서 오른쪽으로 이동하고 있다. 한 순간의 파의 모습은 sin함수형이어서 그 거듭되는 주기는 파장이 되고, 파의 크기는 진폭이라 한다. 한편 공간의 한 지점을 주시하면 그 부분의 줄은 스프링에 매달려 있는 추처럼 진동을 하고 있는 것을 알 수 있다. 이처럼 파의 진행방향과 매질이나 매질의 물리량의 진동방향이 수직한 경우의 파동을 횡파라 한다.
(그림 생략)
파동의 표현(2)
파동의 여러 양상
2차원의 파동
수면파의 경우
호수나 바다에 형성되는 파동, 즉 수면파는 평면 위에 펼쳐진 파동으로 파동함수가 공간의 2차원, 시간의 1차원의 함수이다. 줄의 파동은 그 파동이 뛰노는 공간이 1차원이어서 1차원 파동이라 한다면 이 수면파는 2차원의 공간에 분포된 것이어서 2차원 파동이라 할 수 있다. 우리가 수면파에서 관찰 할 수 있는 파의 양상은 매우 복잡하여 쉽게 설명하기 힘든 것 처럼 보인다. 그러나 한 지점으로부터 비롯된 파동은 동심원의 원형파가 되고, 이 원형파가 멀리 퍼져 나갔을 때에는 마루나 골의 모양이 직선이 되는 평면파로 비교적 간단하게 기술할 수 있다.
줄의 파동의 경우는 줄의 각 요소가 물리적으로 연결 되어 있어 서로를 당겨주기 때문인데 수면파의 경우 이에 해당하는 것이 무엇일까?
2차원의 파동방정식의 형태는 어떨까?
원형파
호수에 돌을 던지면 고요하던 물이 일렁거리면서 그 일렁거리는 것이 퍼져나간다. 돌이 던져진 지점을 중심으로 하여 사방으로 퍼저나가는 물결은 동심원을 이루게 된다. 또한 멀리 진행할수록 파의 높이는 줄어들어 아주 먼곳에서는 파가 거의 사라져 버린다. 뿐만 아니라 시간이 흘러가면 다시 고요한 호수의 본래의 모습으로 되돌아 간다. 원형파가 멀어질수록 줄어드는 이유는 파동의 에너지가 보존되어야 하기 때문이다. 멀어질수록 파가 점유된 공간(여기서는 길이)가 커지기 때문에 진폭이 줄어들어야 전체의 에너지가 그대로 유지된다. 한편 수면파는 물의 마찰열로의 발산에 의해 에너지가 서서히 열에너지로 소모되어 상당한 시간이 흐르면 수면이 고요해진다.
아래의 그림은 수면의 한 지점을 진동시켰을 때 사방으로 퍼져 나가는 파동의 모습을 움직이는 그림으로 보여주고 있다. 진동의 지점이 원점이 되는 동심원으로 파동이 번져나가는 것을 관찰 할 수 있다.
아래 그림은 Mathematica로 간단하게 생성한 원형파를 보여주고 있다.
r := Sqrt[x^2 + y^2]
Plot3D[BesselJ[0,r], {x,-50,50},{y,-50,50}, PlotPoints->{100,100}, Axes->False, Mesh->False ,BoxRatios->{1,1,0.2}]
구면파에서 그 중심으로부터 멀리 떨어 질수록 진폭은 어떤 비율로 줄어 들까?
실제로 3차원 공간에 뛰 노는 3차원 파동중에서 2차원 파동으로 이해 할 수 있는 경우가 있다. 이는 어떤 경우이고, 원형파는 3차원 파동의 경우 원통파가 되는 것을 생각 해보자.
주변에서 이차원 파동이라 할 수 있는 다른 파동의 예를 들어보자.
시간을 거꾸로 진행 시켰을 때(시간역전) 나타날 수 있는 물리현상도 실제로 존재할 수 있다. 앞의 원형파의 움직이는 그림에서 보는 파동에 대한 이러한 시간역전을 적용시킨 파동은 어떤 경우에 관측될 수 있을까?
평면파
호수에서 막대기로 수면에 나란하게 치면 길다란 파가 생겨 날 것이다. 이러한 파는 진행을 하여도 계속 나란하게, 또한 파의 진폭도 별로 줄어들지 않고 전파되어 나갈 것이다.앞의 그림의 파동을 구면파라 한다면 이러한 파동을 평면파라 한다.
평면파의 단면은 단순한 1차원 파동과 다를 것이 없다. 전체적으로 물의 양이 일정하므로 올라간 부분의 면적과 내려간 부분의 면적은 같을 것이다. 줄의 진동의 경우에는 이러한 제약 조건이 없을 것이다.
3차원의 파동
음파의 경우
우리가 소리를 지르면 그 소리는 공기중을 가로질러 사방으로 퍼져 나간다. 그 소리는 공기의 밀도의 변화나 평형위치에서의 변위량을 파동량으로 삼을 수 있는 파동이기 때문에 그 파동이 뛰노는 공간은 3차원이다. 소리라 하는 음파는 지진파, 전자기파 등 대부분의 다른 파동과 함께 3차원 파동이라 할 수 있다. 3차원으로 번져가는 파동은 비록 조화파라 하더라도 2차원파동의 원형파, 평면파처럼 다양한 형태가 있다. 점으로부터 발생되어 나가는 경우 파면이 구면인 구면파가 될 것이고, 선으로부터 발생되는 원통파, 구면파나 원통파가 멀리 진행하여 파면이 평면이 되는 평면파가 있다. 또한 중첩에 원리에 의하여 이러한 단순한 파가 겹쳐서 나타나는 복잡한 여러 모양을 가질 수 있다.
오른편 그림은 3차원의 파동이 번져나가는 모습을 보여주고 있다.각 지점에서의 파동량은 음파나 지진파 처럼 그곳의 물체의 변위일 수도 있고, 아니면 전자기파처럼 다른 물리량일 수 있다. 오른쪽 그림에서 나타낸 것은 각 격자점의 위치가 변화되는 변위의 파동이다. 이 변위는 역시 공간의 3차원 상으로 이루어질 수 있으나 음파의 경우에는 진행방향으로만 형성되는 종파이다.
http://club.nate.com/jsps/club/club_index.jsp?p_club_id=atdjjhsum
다음검색