얼마나 많아질까? 그리고 얼마나 작아질까?
-시어핀스키 삼각형-
조원 : 이윤선(2518) 조민정(1330) 이정신(1422)
1.시어핀스키 삼각형
(1) 시어핀스키 삼각형이란?
시어핀스키 삼각형(Sierpiński triangle)은 '바출라프 시어핀스키'의 이름이 붙은 프랙탈 도형으로 시어핀스키 가스켓(Sierpiński gasket)으로도 불리운다
.
(2) 시어핀스키 삼각형의 성질
*성질① 시에르핀스키 삼각형의 변의 길이의 합은 무한대이다. 처음 정삼각형의 둘레의 길이를 l이라 할 때, step 2의 변의 길이는 1.5배가 된다. 이를 무한대 반복하면 길이는 
(무한대)가 된다.
*성질② 시에르핀스키 삼각형의 넓이는 0이다. 처음 정삼각형의 넓이를 S라 할 때, 두 번째 과정에서는 
가 된다. 따라서 이를 무한대 반복하면 넓이는 
이 된다.
(3) 시어핀스키 삼각형을 만드는 방법
*순서① 정삼각형 하나를 그린다.
*순서② 세변의 중점을 이어 정삼각형 안에 만들어진 작은 정삼각형을 제외시킨다.
*순서③ 남은 정삼각형에 순서②를 반복한다.
이를 무한히 계속하면 시어핀스키 삼각형이 만들어진다.
2. 프랙탈
(1) 프랙탈이란?
프랙탈(fractal)은 '쪼개다'라는 뜻을 가진 그리스어 '프랙투스(fractus)'에서 유래된 말로 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조를 말한다.
프랙탈은 부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있는 '자기 유사성' 개념을 기하학적으로 푼 것으로, 프랙탈은 단순한 구조가 끊임없이 반복됨으로서 복잡하고 묘한 구조를 가지게 된다.
(2) 프랙탈의 성질
'자기 유사성'과 '순환성'을 가지고 있다.
다음 그림들은 프랙탈 성질을 이용한 그림들이다.
다음 그림들은 보면 같은 모양이 '반복되어 연속적으로 나타나는 것'을 볼 수 있다.
(3) 시어핀스키 삼각형의 프랙탈
시어핀스키 삼각형은 같은 모양에 도형이 동일한 규칙속에서 무한히 계속 그려지기 때문에 자기 유사성과 순환성을 모두 가지고 있어 프랙탈이 적용된다고 할 수 있다.
3. 무한대와 무한소
(1) 무한대와 무한소란?
무한대는 어떠한 실수와 자연수보다 큰 수, 혹은 무한히 커져가는 상태를 뜻한다.
무한소는 무한히 작은 수, 어떠한 실수보다 작은 수, 혹은 '0'에 한 없이 가까워 지는 상태를 뜻한다.
(2) 무한소의 논리
무한대는 자주 들어봤어도 무한소는 생소하다. 한 예시를 통해 알아보자.
우사인 볼트와 달팽이가 달리기 경주를 한다. 단 다음과 같은 조건이 필요하다.
-조건
1. 우사인 볼트와 달팽이가 무한히 긴 직선 루트를 한 방향으로만 달린다.
2. 우사인 볼트보다 100m 앞에서 달팽이가 대기한다.
3. 출발은 동시에 한다.
4. 속력은 달리기가 끝날 때까지 일정하다.(시작할 때와 중간에 달릴 때 그리고 달리기를 멈출 때에 속력은 같다)
5. 속력 외에 다른 요소는 생각하지 않는다.(질량, 무게, 바람에 의한 속력 저하 현상 등)
6. 우사인 볼트는 1초에 100m을 갈 수 있다. 달팽이는 1초에 1m을 갈 수 있다.
위와 같은 조건들을 두고서 달팽이를 따라 잡을 수 없는 우사인 볼트에 대해 설명하겠다.
달팽이와 우사인 볼트는 동시에 달리기를 시작했다. 우사인 볼트는 100m지점에 도착했다. 하지만 달팽이는 이미 그보다 1m 더 앞으로 이동했다. 우사인 볼트는 1m 더 이동했다. 하지만 달팽이는 이미 그보다 1cm 더 앞으로 이동했다. 우사인 볼트는 1cm 더 이동했다. 하지만 달팽이는 이미 그보다 0,1mm 더 앞으로 이동했다.
달리기시작 전 달리기시작 1초후 달리기시작 101/100초후 달리기시작 10101/10000초후
달팽이 100m 101m 101.01m 101.0101m
우사인 볼트 0m 100m 101m 101.01m
즉, 우사인 볼트가 달팽이가 있었던 자리에 가면 달팽이는 이미 그 자리보다 더 앞에 위치하게 된다.
이것이 무한소를 이용한 한 예시다.
(3) 시어핀스키 삼각형의 무한대와 무한소
시어핀스키 삼각형은 무한히 삼각형이 그려지기 때문에 삼각형의 개수와 변의 길이의 합이나 개수가 무한대라고 할 수 있다. 또한 시어핀스키 삼각형은 그 성질에 의해 그려진 삼각형을 제외시키기 때문에 부피 또한 무한히 0의 가까워지기 때문에 무한소의 원리 또한 적용할 수 있다고 할 수 있다.
4. 느낀점
이정신 : 특히 무한소는 너무 생소하여 무엇인가 골똘히 생각해 보았다. 무한대와 반대의 개념으로 무한히 작아지는 수라고 생각했는데 음수 아니라는 것을 알고서는 매우 허탈했었다. 시어핀스키 삼각형을 조원들과 조사함으로서 조원들과 좀 더 친해지는 계기가 되었고 또한 새로운 개념을 배우고 익혀 즐겁고 유익한 시간이 되어 매우 기뻤다. 사회에는 의외로 프랙탈이 많이 나타나 있었다. 우주 또한 프랙탈로 이루어져있다고 한다. 역시 수학의 범위는 우주를 모두 통달하고 있나 하고 다시끔 생각하게 해주는 계기가 되어 철학적으로도 수학에 다가가게 되었다.
조민정 : 한번도 들어보지 못햇던 시어핀스키에 대해 조사함으로써 시어핀스키에 대한 개념을 알 수 있어서 내가 하고 있는 활동이 무엇인지에 대해 알 수 있었고 조사하고도 이해가 가지않는 부분은 조원이 알려줌으로써 이해가 되었고 서로 많은 이야기를 할 수 있는 기회가 되었던 것 같다.
이로서 조별활동 보고서를 마치겠습니다.