[한국고시]언어논리의 INSIGHTS 두 번째

[여성곤先生]

언어논리의 INSIGHTS 두 번째

PARADOX를 통한 논리학 이해! (부제:니들이 패러독스를 알아?)

  오래간만에 인사드린다. 부끄러운 책이지만, 그간의 숙고와 통찰의 결과물이라 할 수 있는 INSIGHTS 언어논리 집필마무리에 여념이 없어 기고가 뜸했던 점 지면을 빌어 양해를 구한다(출간이 다소 지연되어 다음 주 나올 예정이니 많은 성원 바란다). 시리즈 첫 번째 글에서 예고 드렸듯이 이 기고를 통한 문제풀이의 tip들을 숙지하신 분들은 매우 길고 난해한 일부문제들이 2~3분을 소요하던 상황에서 10초~30초에 해결가능하게 되는 놀라운 경험을 하게 될 것이다.

Ⅰ. 패러독스란?

  Paradox, ‘역설’이라는 말은 직관이나 상식에서 벗어나 일반인들을 깜짝 놀라게 하는 모든 결과를 일컫는 말이다. 그러한 역설은 크게 다음의 네 부류로 나눌 수 있다.

1. 명백히 거짓인 것처럼 보이지만 실은 참인 주장.

2. 명백히 참인 것처럼 보이지만 실은 거짓인 주장.

3. 논리적으로 전혀 오류가 없어 보이지만, 결국 논리적 모순을 낳는 추론(혹은 궤변).

4. 참인지 거짓인지 판단할 수 없는 주장.

  이러한 역설은 논리학의 역사와 함께 존재해 왔으며(가장 유명한 역설은 거짓말쟁이의 역설과 제논의 역설일테다), 현재에 이르기까지 논리학, 기하학, 수, 통계, 확률, 시간, 양자역학, 경제학 현상과 관련한 여러 역설의 문제가 우리 삶 주변에 산재해있다. 그리고 우리에게 당면한 PSAT 언어논리에도 강력한 복병으로 자리잡고 있다.

Ⅱ. 거짓말쟁이의 역설과 이발사의 역설 그리고 그렐링의 역설

이런 배지를 본 적이 있는가? ‘배지를 달지 맙시다’

혹은 담벼락에서 이런 낙서를 본 적은? ‘낙서금지!’

1. 에피메니데스는 기원전 6세기경 크레타에 살았다는 전설상의 그리스 시인이다. 거짓말쟁이는 항상 거짓말만 하고, 참말을 하는 사람은 항상 참말만 한다는 것을 법칙으로 가정할 경우, 에피메니데스가 한 말은 논리적으로 모순에 빠진다. ‘모든 크레타인은 거짓말쟁이다’라는 말은 에피메니데스 자신도 거짓말쟁이라는 것을 뜻하므로 그가 한 이 말도 거짓말이 되고 그렇다면 크레타인은 항상 참말을 말하므로, 에피메니데스가 한 말도 참말이 되는 것이다.

  ‘이 문장은 거짓이다’ 라는 문장은 아주 유명한 거짓말쟁이 역설의 예이다. 즉 참이라면 이 문장은 거짓이라는 게 맞게 되고 거짓이라면 이 문장이 참이라는 말이 되므로 자기모순에 빠지게 되는 결과가 나오는 것이다. 왜 자기 자신에 대해 언급하는 이러한 문장 형식은 거짓말쟁이 역설을 더욱 분명하게 보여주는가? 그것은 거짓말쟁이는 항상 거짓말만 하고, 참말을 하는 사람은 항상 참말만 말한다는 모호한 가정이 필요 없기 때문이다.

  이것을 변형시킨 사례는 무수히 많다. 러셀이 어느 날 철학자 무어가 일생에 단 한번만 거짓말을 했다고 말했다. 그것은 누군가 무어에게 ‘당신은 항상 진실만을 말합니까?’라고 물었을 때, 아니오‘라고 답한 것이었다고 한다.

2. 독일의 유명한 논리학자 프레게는 『산술의 기초』제2권의 집필을 완성하면서 모든 수학의 기초가 될 모순 없는 집합론을 개발했다고 하였다. 그러나 그 책이 공장에서 인쇄되고 있을 때 러셀로부터 배달된   한 통의 편지를 받고 프레게의 공들여 이룬 연구의 기반은 여지없이 무너지고 말았다. 즉 프레게의 집합론은 스스로를 포함하지 않는 모든 집합의 집합을 허용하고 있었는데 러셀은 ‘이발사의 역설’이라는 극적인 예시를 통해 프레게의 논리를 반박하였던 것이다. 살펴보자면 다음과 같다.

  만약 어떤 이발사가 문에 다음과 같은 글을 써붙여 놓았다고 하자.

‘나는 모든 사람들의 면도를 해주지만, 오직 스스로 면도하지 않는 사람들만 면도를 해줍니다’

  그럼 이 이발사는 누가 면도를 해주어야 하나?

  만약 자신이 면도를 한다면, 그는 스스로 면도하는 사람들의 집합에 속한다. 그렇다면 그는 문에 써붙인 글에 따라 그런 사람을 면도해서는 안 된다. 즉 그는 스스로 면도해서는 안된다.

  만약 누군가 다른 사람이 이발사를 면도해준다면, 이발사는 스스로 면도하지 않는 사람의 집합에 속하게 된다. 그런데 스스로 면도하지 않는 모든 사람은 이발사가 면도를 해주기로 되어 있다. 따라서 다른 사람이 이발사를 면도해서는 안 된다.

  결국 아무도 이 ‘불쌍한’ 이발사의 면도를 해줄 수가 없는 것이다!!

3. 다음의 세 가지 예를 살펴보라.

▪ 모든 점성술사의 미래를 예언해주는 점성술사가 있다. 단 그는 자신의 미래를 예언하지 못하는 점성술사만 그 미래를 예언해준다. 그렇다면 이 점성술사의 미래는 누가 예언해줄 수 있을까?

▪ 모든 로봇을 수리해주는 로봇이 있다. 단 이 로봇은 스스로를 수리하지 못하는 로봇만을 수리해준다. 그렇다면 이 로봇은 어떤 로봇이 수리해 줄 수 있을까?

▪ 모든 기록을 기록하지만, 스스로를 기록하지 않은 목록만 기록하는 목록이 있다. 그렇다면 이 목록은 어느 목록에 실어야 할까?

  이것들은 모두 러셀이 만든 이발사의 역설을 변형시킨 것이다. 각각의 경우, 집합 S는 모든 대상을 포함하지만, 오직 자기 자신과 어떤 관계 R을 갖지 않는 대상만을 포함한다고 정의된다. 만약 집합 S 자체는 이 집합에 속하느냐고 물으면, 역설이 발생한다. 이 역설을 변형시킨 고전적인 사례인 ‘그렐링의 역설’를 살펴보자. 이것을 만들어낸 독일 수학자 쿠르트 그렐링의 이름에서 따온 이 역설에서 ‘모든 형용사는 자기 서술적 형용사와 비자기 서술적 형용사의 두 집합으로 나눌 수 있다.’고 한다. 자기 서술적 형용사는 자신에 대해 설명하는 형용사를 말한다. 예를 들어, ‘국어의’, ‘짧은’ 등을 보면, ‘국어의’는 국어로 썼고, ‘짧은’은 짧은 단어이므로 자기 서술적 형용사이다. 그러나 ‘영어의’나 ‘긴’ 등은 자신을 제대로 서술하지 못하므로 비자기 서술적 형용사이다. 그렇다면 ‘비자기 서술적’이라는 형용사는 어느 집합에 속할까?

4. 한편 “이 문장은 거짓이다.”라는 거짓말쟁이의 역설을 다시 한번 살펴보자. 이것은 “이 문장은 모든 틀린 문장에 속한다.”라고 집합론적 명제로 고쳐 쓸 수 있다. 만약 이 문장이 실제로 모든 틀린 문장의 집합에 속한다면, 이 문장이 주장하는 바는 참이며, 따라서 이 문장은 틀린 문장의 집합에 속할 수 없다. 만약 이 문장이 모든 틀린 문장의 집합에 속하지 않는다면, 이 문장이 주장하는 바는 거짓이며, 따라서 이 문장은 틀린 문장의 집합에 속한다. 이와 유사한 방법으로 모든 의미론적 역설은 집합론적 역설로, 모든 집합론적 역설은 의미론적 역설로 바꿀 수 있다.

응용기출문제 1

다음 글에 따를 때, 역설을 발생시키는 것을 <보기>에서 모두 고르면?           06견습 18번

참이라고 가정하면 거짓이 되고 거짓이라고 가정하면 참이 되는 문장을 역설적이라고 한다. 아마도 가장 오래된 역설은 기원전 6세기의 크레타 철학자 에피메니데스가 말했다고 전해지는 “모든 크레타인은 거짓말쟁이다.”일 것이다. 또한 기원전 4세기의 에우불리데스는 “내가 지금 하는 말은 거짓이다.”라고 했다고 한다. 이런 유형의 역설을 통상 의미론적 역설이라 하는데 ‘참이다’, ‘거짓이다’, ‘정의 가능하다’와 같은 의미론적 개념들이 포함되어 있다는 것이 특징이다. 그런 의미론적 개념들이 명시적으로 드러나 있지는 않지만 “이 명령을 따르지 말라.”는 명령 또한 변형된 형태로서 역설적인 상황을 초래한다. 의미론적 역설 가운데 다음 그렐링의 역설은 특히 흥미롭다. ‘그 스스로에게 참인’이라는 뜻의 ‘homological’을 ‘동술적’이라고 번역하고, ‘그 스스로에게 참이 아닌’이라는 뜻의 ‘heterological’을 ‘이술적’이라고 번역해 보자. 이를테면 ‘검은’이라는 표현은 검다는 뜻을 가지며 실제로도 현재 검게 표기되어 있다는 점에서 그 스스로에 대해서도 그 뜻이 참되게 적용된다. 이런 의미에서, ‘검은’은 동술적이다. 한편, ‘긴’이라는 단어는 길다는 뜻이지만 그 자체로서는 한 글자짜리의 짧은 단어이므로 그 뜻이 자기 자신에게는 참되게 적용되지 않는다는 의미에서 이술적이다. 그 밖에도 ‘한글’, ‘English’는 동술적이며, ‘영어’, ‘Korean’은 이술적이다. 그렐링의 역설은“‘이술적이다’가 이술적이다.”는 문장이 역설적이라는 것이다.

	ㄱ. 이 문장은 거짓이다. ㄴ. ‘맛있다’는 이술적이다. ㄷ. ‘시끄럽다’는 동술적이다.
보기

   ① ㄱ     ② ㄴ     ③ ㄱ, ㄴ     ④ ㄴ, ㄷ     ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

Insights

답은 ①번이라 되어 있다. 위의 글을 숙지하였다면 해설에 대한 판단은 독자제현께 맡기겠다.

Ⅲ. 무리수론

고대 그리스인들은 아무리 정교한 자를 들이대더라도 정사각형의 대각선 길이를 정확하게 잴 수 없었다. 이런 곤혹스러운 상황 즉 역설적 상황과 사고를  하는 가운데 무리수론이라는 광범위한 새 영역이 탄생했다. 19세기의 수학자들에게는 무한집합의 각 원소를 그 부분집합의 각 원소와 일대일 대응시킬 수 있다는 사실과, 서로의 원소를 일대일 대응시킬 수 없는 두 무한집합이 존재한다는 사실이 이해할 수 없는 역설로 보였다. 이러한 역설들은 집합론의 발달을 낳았으며, 또한 과학철학에 지대한 영향을 미치는 공헌을 하였다.

응용기출문제 2

다음 글에서 러셀의 추리가 성립하기 위하여 꼭 필요한 가정은?              07행외견 31번

버트런드 러셀의 ‘트리스트럼 섄디의 문제’는 무한한 개수의 원소를 가진 집합에 관한 것이다. 러셀은 이렇게 쓰고 있다. “트리스트럼 섄디는 그의 생애의 처음 이틀간의 이야기를 쓰는 데 무려 2년을 보내고서, 이런 속도라면 자기가 엮어낼 수 있는 것보다 이야깃거리가 너무 빨리 쌓여서 영원히 살더라도 결코 이야기를 끝낼 수 없을 것이라고 한탄하였다. 그러나 만일 그가 영원히 살고 이야기 쓰는 일을 싫증 내지 않는다면, 그의 전기의 어떤 부분도 영원히 쓰이지 않은 채로 남아 있는 일은 없을 것이라고 나는 주장하는 바이다.”

러셀의 추리는 이렇다. 예를 들어 섄디가 1700년 1월 1일에 태어났고, 1720년 1월 1일부터 전기를 쓰기 시작했다고 하자. 글을 쓰는 첫해, 1720년은 그가 태어난 첫날, 즉 1700년 1월 1일의 이야기를 기록할 것이다. 또한 1721년은 1700년 1월 2일의 이야기를 기록할 것이다. 두 무한 계열은 이런 식으로 계속 진행될 것이다.

결국 태어난 후 모든 날에 대응하는 해가 있고, 쓰기 시작한 후의 모든 해에 대응하는 날이 있게 된다. 섄디가 1988년인 오늘날까지 쓰고 있다면 그는 1700년 9월의 사건들까지 쓰고 있을 것이다. 그렇다면 불멸의 섄디가 오늘의 사건을 기록하는 때는 대략 106840년이 될 것이다. 어떤 미래의 사건도 그것이 언제 기록될지를 계산할 수 있다. 그래서 러셀은 ‘그의 전기의 어떤 부분도 영원히 쓰이지 않은 채로 남아 있는 일은 없을 것.’이라고 말했던 것이다.

① 셀 수 있는 두 무한 집합의 원소들 사이에 일대일 대응이 성립한다.

② 두 무한 집합의 경우, 한 집합이 다른 집합의 부분일 수 있다.

③ 무한 계열을 이루는 원소들로 이루어진 두 무한 집합의 크기를 비교할 수 없다.

④ 두 무한 집합의 원소가 무한 집합일 경우, 두 무한 집합 사이에 대응은 성립하지 않는다.

⑤ 규칙적으로 진행하는 두 무한 집합의 크기에 차이가 있다면 사건과 기록의 시간 간격은 갈수록 커질 수밖에 없다.

Insights

유한집합의 경우, 그 자신의 부분집합과 일대일 대응 관계가 성립하지 않는다. 그러나 무한집한에서는

이 불가능이 사라진다. 이것은 전체는 부분보다 크다는 법칙에 어긋나는 것처럼 보인다. 실제로 무한

집합은 그 자신의 부분집합과 일대일 대응 관계가 성립하는 집합이라고 정의할 수 있다. 이러한 간단

한 지식을 바탕으로 볼 것도 없이 ①번으로 단 30초 이내에 풀 수 있다. 전제와 가정의 문제라기 보다

는 무리수론을 이해하면 단번에 풀리는 문제였던 것이다. 

※06견습 32번 ‘무한의 역설’ 문제가 매우 유사한 근거를 바탕으로 출제한 문제이므로 꼭 참고요망

Ⅳ. 그 외 기출문제

  1. 지면관계상 간략히만 서술하였다. 추가적으로 살펴보아야 하는 언어논리 기출 문제는 06행외시 39번 자기기만의 역설, 05행외시 웰즈의 ‘타임머신’을 통한 과거로의 시간여행 역설, 05행외시 31번 ‘정신이 행동의 원인인가’에 대한 인지과학자들의 역설, 05입시 30번 ‘고대 그리스 프로타고라스 변론의 역설’ 등이다. 07미트디트 언어추론 ‘더미의 역설과 테세우스의 배’(‘라이프니츠의 동일률ㆍ배중률의 현대적 변용’ 등은 다음 지면을 통해 살펴볼 예정)문제도 반드시 참고하라.

  2. 앞에서 간단히 살펴보았지만 놀랍게도 패러독스 문제는 매 시험 통틀어(그러니까 예전 견습/입시/행외시/언어추론을 포함) 매년 한 문제 이상씩 출제가 되었다. 그만큼 논리학 관련 문제의 급소라고 할 수 있는데 일단 나왔다 하면 수험생들을 어리둥절하게 만드는 문제들이 대부분이다. 평소 관심을 가지고 읽어 두면 유익할 것이라 조언하는 바다.

  3. 몇 가지 예를 들자면 π속의 놀라운 패턴문제(계절 앞글자 JASON문제), 헴펠의 까마귀, 루이스 캐럴 관련 역설문제, 대수학과 양자역학 관련 역설문제, 그 유명한 ‘파스칼의 내기’를 통한 역설의 문제 등 수없이 많다. 김광수 교수님의 ‘논리와 비판적사고’, 마틴 가드너의 ‘이야기 패러독스’, ‘러셀의 패러독스’ 등의 책들을 참고하면 더할 나위없이 좋을 것이다.

 4.‘여성곤언어이해언어논리’카페cafe.daum.net/PSATYSG 논리학게시판과 ‘로준사’카페

      cafe.daum.net/lawschoolstudy의 게시판을 통해 ‘역설’부분의 출제가능한 지문과 신작문제를 게

     시할 터이니 평소 시간이 없다면 연말쯤이라도 들러서 참고하기 바란다.