sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β , cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β의 증명 삼각함수 공식 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β 증명 왼쪽 그림에서 sin α = sin(α + β) / { cos β + sin β cos α /sin α } 정리하면 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β 삼각함수 공식 cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β 증명 오른쪽 그림에서 sin α / cos α = tan α = cos β / { sin β + cos(α + β) /sin α } 정리하면 cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
삼각함수 공식 sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β 증명 왼쪽 그림에서 h = cos α / cos β 이고 x = h sin(α - β) = (sin α - h sin β ) sin( π/2 - β ) = (sin α - h sin β ) cos β 정리하면 sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β 삼각함수 공식 cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β 증명 오른쪽 그림에서 h = cos α / sin β 이고 x = h cos(α - β) = (sin α + h cos β ) cos α 정리하면 cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
삼각함수 공식 tan(α - β) = (tan α - tan β ) / (1 + tan α tan β ) 증명 위의 그림에서 BF/BE = AD/DE 이므로 tan(α - β) = DE/BE = AD/BF = (tan α - tan β ) / (1 + tan α tan β )
sin 에 대한 덧셈정리에서
sin75˚ = sin(45˚ + 30˚) = sin 45˚ cos 30˚ + cos 45˚ sin 30˚
= (1/√2 ) (√3 /2) + (1/√2 ) (1 /2)
= √6 /4 + √2 /4
= (√6 + √2 ) /4 = cos 15˚
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cos 에 대한 덧셈정리에서
cos75˚ = cos(45˚ + 30˚) = cos 45˚ cos 30˚ - sin 45˚ sin 30˚
= (1/√2 ) (√3 /2) - (1/√2 ) (1 /2)
= √6 /4 - √2 /4
= (√6 - √2 ) /4 = sin 15˚
-------------------------------------------------------------------------
tan 에 대한 덧셈정리에서
tan 75˚ = tan(45˚ + 30˚) = ( tan 45˚ + tan 30˚)/( 1- tan 45˚ tan 30˚)
= (1 + 1/√3 )/ {1 - 1*(1/√3 )}
= (√3 + 1)/(√3 -1)
= (√3 + 1)^2 / 2
= ( 3 + 1 + 2 √3 ) /2
= 2 + √3 = cot 15˚
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sin 36˚ = √(1-cos^2 36˚) = √(10 - 2√5) /4 = cos 54˚
cos 36˚ = (1 + √5)/4 = sin 54˚
cos 2 ×36˚ = cos 72˚ = cos (180˚ - 108˚) = - cos 108˚ = -cos 3×36˚
이고 배각공식 에서
cos 2x = -1 + 2cos^2 x , cos 3x = -3cos x + 4 cos^3 x 이므로 t = cos 36˚ 라 두면
-1+ 2t^2 = -(-3t + 4t^3)
정리하면
4t^3 + 2t^2 - 3t -1 = (t+1)(4t^2 - 2t-1) = 0
에서 근의 공식에 의해 t = (1 + √5)/4
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tan 36˚ = √(5 - 2√5) /2 = cot 54˚