질량이 M이고, 반지름이 R인 속이 꽉 찬 구의 관성모멘트는
I = (2/5)MR² ..................(1) 이고,
한편, 위 식의 질량 M을 "속이 꽉찬 구의 밀도 ρ" 에 관해 나타내면,
M = (4/3)πR³ρ .....................(2)
위 (2)식을 (1)식에 대입하여, 다시 정리하면,
I = 8/15(πρ)R^5 ...............(3) ' R^5' ------> R의 5승을 뜻함.
질량 M을 소거한 (3)식을 이용하여, 속이 빈 구의 관성모멘트를 구할 수 있습니다.
위 (3)식을 반지름 R에 관하여 미분하면.
dI = [ (8/3)πρR⁴] dR .................(4)
위 (4)식은 반지름이 R이고, 두께가 dR인 구 껍질의 관성모멘트를 의미하므로,
구 껍질의 질량 m = 4πR²ρdR 이므로, (4)식에 대입하여 정리하면,
속이 빈 구의 관성모멘트
I = (2/3)mR²
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