맥스웰 방정식의 탐구

[산새소리]

쿨롱, 가우스, 앙페르 그리고 패러데이와 같은 학자들에 의해 발견된 전기 자기와 관계된 법칙들을 수학적으로 체계화하여 전자기 현상에 대한 통일적 체계를 만든 사람은 스코틀랜드 에든버러 출신의 맥스웰(James Maxwell, 1831-1879)이었다. 맥스웰은 열여섯 살이던 1847년에 에든버러 대학에 입학하여 철학을 공부했고, 열아홉 살이던 1850년에는 케임브리지 대학으로 옮겼다. 1854년에 케임브리지의 트리니티 칼리지를 졸업한 맥스웰은 여러 과학 분야에서 뛰어난 연구 업적을 남겼다. 전자기 현상에 대한 통일적 체계를 만든 인물, 맥스웰 1855년부터 1872년까지 그는 눈이 색을 감지하는 것에 관해 연구하고 논문을 발표했다. 이 연구로 1860년에는 왕립협회가 주는 코플리 메달을 받았다. 1859년에 그는 토성의 고리가 고체나 액체일 수 없다고 결론지은 [토성 고리의 안정성에 대하여]란 논문으로 케임브리지에서 아담스 상을 받았다. 맥스웰은 토성의 고리가 많은 작은 고체 알갱이들로 이루어졌을 때만 안정한 상태에 있을 수 있다는 것을 보여주었다. 그는 또한 태양계가 순수하게 기체로 이루어진 성운이 점진적으로 응축하여 형성되었다는 성운설이 옳지 않다는 것을 수학적으로 증명하고 작은 고체 입자들을 이론에 포함시키도록 했다.

젊은 시절의 맥스웰(James Maxwell, 1831-1879).

1860년에는 런던 킹스 칼리지의 교수가 되었고, 1861년에는 왕립협회 회원으로 선출되었다. 맥스웰의 위대한 업적 중의 하나는 기체의 운동에 관한 연구이다. 1866년에 맥스웰은 볼츠만(Ludwig Eduard Boltzmann, 1844-1906)과는 독립적으로 통계적인 방법을 이용하여 맥스웰-볼츠만 기체 운동이론을 만들었다. 맥스웰 분포함수라고 부르는 그의 방정식은 특정한 온도에서 특정한 속도로 움직이는 기체 분자의 비율을 나타내는 방정식이었다. 맥스웰의 연구는 열역학 및 통계물리학 발전에 크게 공헌했다.

맥스웰은 토성의 고리는 고체 알갱이로 이루어졌다는 것을 밝혔다.

맥스웰의 이름을 딴 하와이의 제임스 클러크 맥스웰 망원경.

빛은 전자기파! 그 이면의 에테르

맥스웰의 최대 업적은 전자기학을 완성한 것이었다. 맥스웰은 패러데이(Michael Faraday, 1791-1867), 앙페르(Andre Marie Ampere, 1775-1836), 가우스(Karl Friedrich Gauss, 1777-1855) 등이 했던 전자기학에 관한 이전의 연구를 몇 가지 미분 방정식으로 정리했다. 맥스웰 방정식이라고 부르는 이 방정식들은 1864년 왕립협회에서 처음 발표되었다. 이 방정식들은 전기장과 자기장의 행동과 이들 사이의 상호작용을 나타낸다. 맥스웰은 이 방정식들을 이용해 수학적으로 전자기파의 파동 방정식을 유도하고 전자기파의 속도가 310,740,000m/s라고 주장했다. 이것은 실험적으로 결정된 빛의 속도와 아주 비슷한 값이다. 따라서 그는 빛도 전자기파라고 결론지었다. 빛과 전자기학을 연결시킨 것은 19세기 물리학의 최대 업적이라고 평가되고 있다.

하지만 빛과 전자기파를 연결시킨 그 업적의 이면에는 빛에 대한 오해도 한몫했다. 그 당시에는 빛이 전파되기 위해서는 에테르라는 매질이 필요하다고 믿고 있었다. 빛의 파동이라면 매질을 통해 전파된다는 것이 자연스럽기 때문이다. 맥스웰은 빛이 에테르를 통해 전파되는 것을 설명하는 정교한 에테르 모델을 만들기도 했다. 이런 과정에서 빛과 전자기파의 연결을 생각해냈을 것이다. 실제로 존재하지 않는 에테르가 혁신적인 결과를 이끌어 내도록 한 것이다. 이후 많은 과학자들이 에테르를 찾아내기 위한 실험을 했다. 그러나 에테르를 검출하려는 모든 실험이 실패로 돌아갔다. 1905에 에테르의 존재를 필요로 하지 않는 아인슈타인의 특수상대성이론이 나온 것은 에테르를 찾아내려는 실패한 실험들이 있었기 때문이었다. 에테르의 존재를 바탕으로 해서 만들어진 맥스웰의 전자기학에서 에테르는 불필요한 것이었다.

데카르트의 에테르 개념 스케치.

맥스웰이 생각한 에테르의 개념.

컬러사진 발명, 캐번디시연구소 설립

맥스웰은 붉은색, 초록색, 청색 필터를 사용하여 컬러사진을 발명한 사람으로도 알려져 있다. 그는 사진사 토마스 서튼(Thomas Sutton)에게 격자무늬 리본을 다른 필터를 이용하여 세 번 사진 찍도록 했다.  

맥스웰의 최초 컬러사진.

세 개의 상을 현상한 다음 사진을 찍을 때와 같은 컬러 필터를 가지고 있는 세 개의 다른 프로젝터를 이용하여 스크린에 비췄다. 초점을 맞추자 천연색 영상이 만들어졌다. 이 당시 만든 세 개의 사진 건판은 맥스웰이 태어난 집에 만들어진 작은 박물관 안에 전시되어 있다. 1871년에 맥스웰은 케임브리지의 최초 캐번디시 교수가 되었고, 캐번디시연구소를 설립하는 일을 책임졌다. 그는 건물 공사의 모든 단계를 감독했으며 모든 기구를 구입하는 일을 했다. 이렇게 설립된 캐번디시연구소는 20세기 초 현대 과학의 기초를 다지는 연구에 크게 공헌했다. 전자를 발견한 톰슨, 원자핵을 발견한 러더퍼드 등은 모두 캐번디시연구소 소장을 역임했던 과학자들이었다.  1873년에는 전자기학에 관한 모든 연구 결과가 모두 들어 있는 [전자기학 A Treatise on Electricity and Magnetism]을 출판했다. 맥스웰은 48세이던 1879년에 암으로 죽었다.

4개의 맥스웰 방정식

맥스웰이 정리한 맥스웰 방정식은 4개의 방정식으로 이루어져 있다. 첫 번째 방정식과 두 번째 방정식은 전기장과 자기장의 성질을 나타내는 방정식이다. 전기력과 자기력이 작용하는 공간을 전기장 또는 자기장이라고 부르는데 전기장과 자기장의 방향과 세기는 전기력선과 자기력선을 이용해 나타내는 것이 편리하다. 전기력선은 플러스 전하에서 시작되어 마이너스 전하에서 끝난다.

그러나, 전류에 의해서 만들어지는 자기력선은 항상 전류를 싸고돌기 때문에 시작점과 끝점이 없다. 다시 말해 자석에는 N극과 S극이 존재하지 않는다는 것이다. 대신 N극 방향, S극 방향만 존재한다. N극과 S극으로 이루어진 자석을 반으로 나누면 한끝은 N극이 되고 반대편 끝은 S극이 되는 것은 이 때문이다. 맥스웰 방정식의 첫 두 방정식은 이런 내용을 미분 방정식을 이용하여 나타낸 것이다. 이 두 방정식을 각각 전기장에 관한 가우스 법칙, 자기장에 관한 가우스 법칙이라고도 부른다.

맥스웰 방정식의 세 번째 방정식은 전류가 만드는 자기장의 방향과 세기를 결정할 수 있게 하는 앙페르의 법칙이다. 하지만 맥스웰은 앙페르의 법칙을 일부 수정하였다. 앙페르의 법칙에서는 전류가 흐를 때만 주변에 자기장이 만들어진다고 하였다. 그러나 맥스웰은 전류가 흐르지 않고 전기장의 세기만 변해도 주변에 자기장이 만들어진다는 것을 알아냈다. 전기장의 변화가 전류와 똑같은 역할을 한 것이다. 따라서 전기장의 변화도 전류로 보아 변위전류라고 부르게 되었다. 그러니까 자기장을 만들어내는 것은 실제로 전하가 움직여 가는 실제 전류와 실제로 전하는 움직여가지 않지만 전기장의 세기가 변해서 만들어지는 변위전류의 두 가지가 있는 셈이다.

맥스웰 방정식의 네 번째 방정식은 패러데이의 전자기유도법칙이다. 전자기유도법칙은 변해가는 자기장이 기전력을 발생시키는 것을 나타내는 방정식이다. 기전력이 생긴다는 것은 전기장이 만들어진다는 것과 같은 의미이다. 따라서 패러데이 전자기 유도 법칙은 변해가는 자기장이 전기장을 만들어낸다는 것을 의미한다. 그렇다면 이 법칙은 변위전류 다시 말해 변해가는 전기장이 자기장을 만들어낸다고 했던 수정된 앙페르 법칙과 대칭이 되는 법칙이라는 것을 알 수 있다. 이렇게 네 가지 법칙으로 이루어진 맥스웰 방정식은 전자기와 관련된 모든 현상을 이해하고 설명할 수 있도록 했다. 뉴턴역학이 f=ma 라는 하나의 식을 바탕으로 하고 있던 것과는 달리 전자기학은 맥스웰 방정식이라는 네 개의 식을 바탕으로 하고 있다.

맥스웰 방정식이 의미하는 것

맥스웰 방정식은 적분의 형태로 나타내진 것과 미분의 형태로 내진 것이 있는데 물리적으로 더 중요한 것은 미분의 형태로 나타내진 식이다. 익숙하지 않은 수학적 기호를 이용하여 나타내졌기 때문에 식의 의미를 이해하기는 어렵겠지만 물리학에서 워낙 중요한 식이므로 소개해 보면 다음과 같다.

이 식에서 와 는 각각 진공의 유전율, 진공의 투자율이라고 한다. 유전율과 투자율은 공간의 전자기적 성질을 나타내는 상수들로 실험을 통해 결정할 수 있다. 맥스웰이 유도한 전자기파 방정식에는 전자기파의 속도가 로 나타내진다. 실험을 통해 측정된 유전율과 투자율을 대입하여 계산하면 전자기파의 속도가 빛의 속도(c)와 같다는 것을 알 수 있다.  맥스웰은 전자기파의 이론적 속도와 빛의 속도가 같다는 것은 빛이 바로 전자기파라는 증거라고 생각했다.