집합R이 있다고 하겠습니다. 그리고 집합R에는 다음 8가지의 조건을 만족하는 ＋와 ×라는 두 개의 연산이 정의되어 있다고 합니다. 그리고 이 8가지의 조건으로부터 (-a)×(-b) = a×b를 증명할 것입니다.
R을 실수의 집합이 아니라 일반적인 집합으로 추상화시켜 놓았기 때문에 이해하기가 어려울 수도 있습니다. 그냥 R을 모든 실수의 집합으로, ＋와 ×는 일반적으로 잘 알고 있는 덧셈과 곱셈으로 취급해버리면 이해하기가 아주 쉽습니다. 너무나 당연한 말만 하고 있으니까요.
R1 : (＋에 관해 닫혀 있음) R의 임의의 원소 a, b에 대해서 a＋b는 R의 원소이다.
R2 : (＋에 관한 결합법칙) R의 임의의 원소 a, b에 대해서 (a＋b)＋c=a＋(b＋c)가 성립한다.
R3 : (＋에 관한 항등원 0의 존재) R의 임의의 원소 a에 대해서 a＋0=0＋a=a를 만족하는 R의 원소 0이 존재한다.
R4 : (＋에 관한 역원의 존재) R의 임의의 원소 a에 대해서 a＋b=b+a=0을 만족하는 R의 원소 b가 존재하며, 기호로는 b=-a로 표시한다.
R5 : (×에 관해 닫혀 있음) R의 임의의 원소 a, b에 대해서 a×b는 R의 원소이다.
R6 : (×에 관한 결합법칙) R의 임의의 원소 a, b에 대해서 (a×b)×c=a×(b×c)가 성립한다.
R7 : (×에 관한 항등원 1의 존재) R의 임의의 원소 a에 대해서 a×1=1×a=a를 만족하는 R의 원소 1이 존재한다.
R8 : (＋와 ×에 관한 분배법칙) R의 임의의 원소 a, b, c에 대해서 a×(b＋c)=a×b＋a×c, (a＋b)×c=a×c＋b×c를 만족한다.
증명
이제부터 본격적인 증명에 들어갑니다. 그리고 기호 ×는 생략합니다. 예를 들면 a×b를 ab로 표시한다는 말입니다. 또, 윗쪽에서 아랫쪽으로 내려올 수 있는 이유를 오른쪽에 파란색 글씨로 적어 놓았고, ＋와 ×연산을 하는 모든 부분에서 'R1 : (＋에 관해 닫혀 있음)'과 R5 : (×에 관해 닫혀 있음)이 생략되어 있습니다. 한 가지 주의할 점은 -ab는 '-a곱하기 b'의 뜻이 아니라 'ab에다가 -를 붙여놓은 것' 즉 'ab의 +에 관한 역원'이라는 뜻이라는 것입니다. 마지막으로, 괄호가 헷갈리지 않도록 주의하세요.
R의 임의의 원소 a, b에 대해서 -a와 -b는 각각 a와 b의 ＋에 관한 역원으로서 R의 원소이다. 따라서 R5 : (×에 관해 닫혀 있음)에 의해 (-a)(-b)는 R의 원소이므로 의미를 가지는 식이다.
(-a)(-b)
=(-a)(-b+0) R3 : (＋에 관한 항등원 0의 존재)
=(-a)(-b+(0b+(-0b))) R4 : (＋에 관한 역원의 존재)
=(-a)(-b+((0+0)b+(-0b))) R3 : (＋에 관한 항등원 0의 존재)
=(-a)(-b+((0b+0b)+(-0b))) R8 : (＋와 ×에 관한 분배법칙)
=(-a)(-b+(0b+(0b+(-0b)))) R2 : (＋에 관한 결합법칙)
=(-a)(-b+(0b+0)) R4 : (＋에 관한 역원의 존재)
=(-a)(-b+0b) R3 : (＋에 관한 항등원 0의 존재)
=(-a)(-b+(1+(-1))b) R4 : (＋에 관한 역원의 존재)
=(-a)(-b+(1b+(-1)b)) R8 : (＋와 ×에 관한 분배법칙)
=(-a)(-b+(b+(-1)b)) R7 : (×에 관한 항등원 1의 존재)
=(-a)((-b+b)+(-1)b) R2 : (＋에 관한 결합법칙)
=(-a)(0+(-1)b) R4 : (＋에 관한 역원의 존재)
=(-a)((-1)b) R3 : (＋에 관한 항등원 0의 존재)
=((-a)(-1))b R6 : (×에 관한 결합법칙)
=(0+(-a)(-1))b R3 : (＋에 관한 항등원 0의 존재)
=((-(-a)+(-a))+(-a)(-1))b R4 : (＋에 관한 역원의 존재)
=(-(-a)+((-a)+(-a)(-1)))b R2 : (＋에 관한 결합법칙)
=(-(-a)+((-a)1+(-a)(-1)))b R7 : (×에 관한 항등원 1의 존재)
=(-(-a)+(-a)(1+(-1)))b R8 : (＋와 ×에 관한 분배법칙)
=(-(-a)+(-a)0)b R4 : (＋에 관한 역원의 존재)
=(-(-a)+((-a)0+0))b R3 : (＋에 관한 항등원 0의 존재)
=(-(-a)+((-a)0+((-a)0+(-(-a)0))))b R4 : (＋에 관한 역원의 존재)
=(-(-a)+(((-a)0+(-a)0)+(-(-a)0)))b R2 : (＋에 관한 결합법칙)
=(-(-a)+((-a)(0+0)+(-(-a)0)))b R8 : (＋와 ×에 관한 분배법칙)
=(-(-a)+((-a)0+(-(-a)0)))b R3 : (＋에 관한 항등원 0의 존재)
=(-(-a)+0)b R4 : (＋에 관한 역원의 존재)
=(-(-a)+((-a)+a))b R4 : (＋에 관한 역원의 존재)
=((-(-a)+(-a))+a)b R2 : (＋에 관한 결합법칙)
=(0+a)b R4 : (＋에 관한 역원의 존재)
=ab R3 : (＋에 관한 항등원 0의 존재)
아직 님이 이해하시기는 좀 어려운 내용 같네요 ㅇㅅㅇ
저도 읽기 귀찮아서 그냥 이렇다는것만 알고 지나간 ㅋㅋ