마방진의 기원은 분명하지는 않으나 약 3000년 전 중국의 우나라의 우왕이 강의 치수 공사를 하던 중에 물속에서 나온 거북이 등에 있는 무늬를 보고 처음으로 생각해 내었다고 한다. 그 후 많은 사람들이 연구한 결과 매우 큰 수의 마방진까지도 만들어 내었다고 한다.
마방진의 유래
마방진의 기원은 이미 많이 알고 계시리라 생각합니다. 마방진은 약 3000년쯤 전에
중국에서 전해져 내려온 것입니다. Suzanne Alejandre의 Lo Sho Magic Square
홈페이지를 방문해 보세요.
마방진이란?
마방진은 가로, 세로 nxn칸에 1부터 n의 제곱 까지의 자연수열을 한번씩 써 넣어
행과, 열, 대각선의 각 방향의 합이 모두 같도록 만든 정방행렬을 말합니다.
각 줄의 합은 수학적으로 풀어보면 n(n^2+1)/2 가 되어야 합니다.
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마방진이란 정사각형 모양(`n xx n`)으로 배열된 `1,2,3, cdots, n^2 `이 가로와 세로 대각선의 `n`개의 수의 합이 같아지는 배열을 말한다. 이 `n` 개수의 합은 `M_2 (n)= 1/n sum_{k=1}^{n^2} k = 1/2 n(n^2 +1)`이며 마법수(magic constant)라고 부른다.
만들어진 마방진에서 `n^2 +1`에서 수들을 빼서 만들어지는 마방진을 서로 보완적인 마방진(complementary magic square) 이라고 부른다. 1에서 시작되는 연속된 자연수들로 이루어진 것은 정규(normal) 마방진이라고 알려져 있다.
3차 마방진을 만드는 방법은 유일하며 고대 중국에서 알려졌다. 아래 줄에 14와 15가 나란히 나오는 4차 마방진은 Durer's magic square라고 부르고 3차에서 8차까지의 마방진은 위와 같다.
정수`A`에서 시작하여 공차가 `D`인 등차수열로 이루어진 마방진의 마법수는 아래와 같다.
`M_2 (n:A,D)= 1/2 n[2A +D(n^2 -1)] (Hunter and Madachy 1975).
`n=1,2,3,4`일 때, 서로 구별되는(회전하거나 뒤집어서 겹쳐지지 않는) 마방진의 수는 `1,0,1,880,275305224`인 것이 알려져 있다. 4차 마방진의 수는 Fr?nicle de Bessy (1693)가 계산하였고, 5차는 R. Schroeppel (1973)가 컴퓨터로 구하였다. 6차 마방진의 개수를 구하는 것은 아직 해결되지 않았으나 Pinn과 Wieczerkowski(1998)은 몬테카를로의 방법을 사용하여 `(1.7745 +- 0.0016)xx10^19 `정도일 것으로 추정하였다.
하나 또는 두 개의 대각선의 합만이 마법수가 아닌 것을 유사마방진(semimagic square)이라고 부른다.
Kraitchik (1942) 는 Siamese method을 사용하여 홀수차 방진을 만드는 일반적인 기술을 소개하고 있다. 맨 위의 가운데에 1을 적은 다음 방진을 벗어나는 경우에는 정반대편에서 이어가는 매우 간단한 방식으로 화살표를 따라 수를 적어나가면 된다. more
java로 마방진 만들어 보기
우리나라에서도 방진 연구가 있었는데, 획기적인 공헌을 한 사람은 조선 후기 유학자이자 수학자인 최석정(호는 명곡, 1646-1715)이었다. 그의 책 ‘구수략’에는 3차에서부터 10차까지의 마방진이 서술돼 있는데, 특히 자신이 고안한 9차 마방진은 수학적 탁견을 보여준다. KAIST 수학과 한상근 교수와 대학원생이 공동연구한 결과, 최석정의 9차 마방진은 직교 라틴방진이라는 매우 명쾌한 이론 아래서 이루어진 것으로 그의 수학에 대한 이해와 독창성을 잘 드러내주고 있다. 이 마방진은 9행9열 대각선의 합이 3백69로 같음은 물론 이를 이루는 9개의 숫자로 이루어진 9개의 작은 셀(cell)이 다시 마방진을 이루는 특이한 구조로 돼 있다.
직교 라틴방진은 종횡으로 숫자가 겹치지 않게 배열하고 이러한 배열 두 쌍을 결합시켰을 때에도 겹치는 숫자쌍이 없는 방진이다. 최석정은 그의 책에서 2개의 9차 마방진을 제시하고 있는데 이를 만들기 위한 기초 작업으로 ‘구구모수변궁양도’(九九母數變宮陽圖)와 ‘구구모수변궁음도’(九九母數變宮陰圖)라고 하는 두 개의 직교 라틴방진을 제시했다. 이름 그대로 이 라틴방진을 ‘어머니 숫자’(모수)로 해 각 순서쌍을 변화시키면(변궁) 마방진이 만들어진다는 것이다. 한상근 교수는 최석정이 직교 라틴방진 뿐만 아니라, 3차 마방진 두 개를 결합해서 9차 방진을 만들어내는 현대수학자 아들러의 연산법도 알고 있었다고 말했다. 최석정은 그는 책에서 “이들은 (내가) 새로 만든 것이다”고 밝히고 있어 그의 수학실력에 경탄을 자아내게 한다.
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위의 그림은 3차 마방진을 순위배열을 점대칭이동으로 작성하는
방법을 나타내고 있다. 홀수 마방진의 일반해법은 거의 이런 순위배열의
점대칭 이동으로 작성될수가 있다.
요령은 왼쪽의 그림과 같은 n(홀수)의 자승의 칸을 만들고
오른쪽과 같이 대각선으로 순위배열을 하는 것이다.
예를들어 5차 마방진의 대각선 순위배열은
보기1.
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
5차 방진의 순위배열은 보기1.과 같다.
7차 방진의 순위배열도 보기1.과 같이 작성하면 된다.
점대칭의 역할을 좌표평면에서 보면 좀더 이해가 싶다.
중요한 의미는 빈공간이 좌표평면의 마준편에
새롭게 있어서 점대칭하는 것이 아닌 형태의 마방진의
빈칸들이 숫자들 사이에 대각선의 순위에서 가로세로의
자세교정으로 나타난다는 것이다. 엄밀히보면 좌표축의 이동으로
빈공간이 관찰되고 이동한다는 것이다.
위의 보기2.에서 a는 좌우로 동시에 이동하여도
가로세로에서 보면 a는 하나씩 나타난다. 즉 빈공간으로
이동하므로써 전체적인 의미는
보기3.
보기3.의 형태도 보기2.와 같다. 이것이 단위 마방진의
base square이다. 이들 단위사각형들은 단위 마방진 내부에
무수히 많아 숫자들이 이동하는 장소를 제공한다.
20020920.
마름모 형태의 서순적인 순위 배열의 방진이면
Odd number mss가 나타난다.
마름모의 zz’순위방진에서 정사각형의 xy방진으로
변위하는 과정에서 나타난다.
역으로 순서수의 방진을 얻고자하면 홀수 마방진에서
xy사각형에서 zz’마름모 사각형으로 전환하는 틀의
형태를 갖추고 내부적인 숫자들이 빈공간으로 이동하면
된다.
보기4.
왼쪽의 순위는 xy방진의 형태이고
오른쪽은 zz’ 방진(square number)이다.
Xy와 zz’의 formation은 상호변환 될수 있는 틀이다.
수학적 표현을 빌리면 xy square에서 정확히 45도 기울어진
형태가 바로 마름모 사각형이다.
이때 틀안에서 방진배열을 이루는 숫자들이
틀의 기울기에 따라서 빈공간으로 이동한다.
마치 날계란의 내부에 유체가 존재하는 것이나
모래시계 속에 모래 알갱이들이 뒤집어 놓으면
중심 이동하는 현상과 같다.
고로 마방진의 숫자들은 틀의 형태에 따라 움직이는
개체들이라는 것이다.
마방진이 곧 정사각형이 아닌 상태에서 유래 되었다고 본다.
즉 홀수 마방진에서 보인바와 같이 마름모의 순서수 방진에서
정사걱형의 형태 변화를 이루는 과정에서 3방진이 나타난
것이다. 고로 마방진의 원류는 마름모일 것이다.
그리고 더나아가 자연수의 순서수 체계을 거슬러 올라간다.
우주의 근원을 찾아서 마방진의 기본원리의 논리로 철학적
사색을 해본다.
mser는 일반적인 개체가 놓여지는 자리이다.
보기1.
그런데 그칸의 자리(mser)도 보기1-2.와 같은 형태의
방진(square numbering)에서 도출된 공간이라는 것이다.
마방진의 칸들은 보기1-2.에서 연유된 것이다.
Zz’ line의 方陣的 순서수 배열이 xy 방진형태로 바뀌면서
공간을 채워나가게 된다.
보기1-2.의 빨간선들이 숫자가 이동하여 놓여질 자리 mser가 생겼다.
유심히 보아 알겠지만 보기1-12.의 zz’,line에 숫자들은 고정된 숫자의
자리 mser들이다. 유동 숫자들은 빈칸 empty space에 찾아갔다.
당연히 빈칸을 찾지 못한 숫자들만히 제자리에 놓이게 되었다.
그 형태든지 부동점이 발견되고 있고 유동 인자들은 빈칸을 넘나들며
전체적인 균형에 매우 탄력적으로 움직이고 있다.
예를들어 움직이는 물체의 내부에는 원자구조적인 단위에서 보면 언제나
움직이는 전자를 발견하고 시공간을 질주하는 순간에도 내부적인
변화는 물체의 특성과 특질과 질량을 보존하면 배열의 변화를 극미적으로
활동한다.
새삼스런 얘기이지만 위의 내용들은
미립자이전의 우주의 존재의 생성적 원리를 탐구하는 과정에서
球조적인 문제들을 약간 거시적으로 다루고 있음을 상기하기 바란다.
거의 ‘10^-1000억조’의 미세구조를 지금 보고 있음이여. 음.
무한히 작은 곳으로 향하거나 대단히 넓은 곳으로 향하든지
그곳에는 언제나 마방진의 구조가 세밀하고 복잡하게 펼쳐져 있다.
그리하여 우주의 시초와 종말까지 마방진의 범위에 속하지 않는 것이
없음을 전제로 하여 마방진 원리에 입각한 논리적 탐구는 시작 된다.
보기2.
빼곡히 차있는 순서수을 가뒀다면 all set 이고
부분적으로 가뒀으면 part set 이다.
보기3-1. 보기3-2.
보기3-2.와 같은 부분적인 축소는 외부적 인자가 나타나고
내부로 끌려온다. 이때에 틀의 안정을 위하여 형성된 상태가
마방진(magic square system)의 상태이다.
보기3-1.의 붉은색 마름모가 보기3-2.의 정사각형 상태로 변하면서
전체적인 틀은
보기4-1. 보기4-2.
왼쪽의 부분적인 붉은 틀이 오른쪽에서는 전체적인 틀로
변하면서 마방진의 상태를 만든다.
보기4-1.은 두개의 틀이 존재한다. 전체의 black 틀과
부분의 red 틀이 있다.
보기4-1.의 Red틀의 마름모가 정사각형으로 바뀌면서
보기4-2.의 모습을 보인다. 외부에 있던 인자들이 red안으로
들어와 안정상태가 되는데 이것이 마방진이다.
숫자들을 가둔 틀은 다만 의미적인 것일 뿐이다.
물질내지 그 어떤 개체들의 모임일수도 있다.
물질인 경우는 미립자들이 꽉 매워진 보기4-1.과 같을수 있다.
그 갯수는 거의 10^천억조 거듭제곱일수 있다.
그 상태에서 보기4-2.의 마방진이 만들어진다고 본다.
물질이 가득찬 곳에서 틈이 생기기 위해서는
보기4-1.의 내부에 붉은 마름모의 부분 diamond frame이
형성되어야 한다.
그리고 이제는 diamond frame 안에서 모든 것이 재배열 된다.
외부 틀에 있던 기존의 물질들이 red frame안으로 이동한다.
물질이 왜 이동해야 하는가에 대한 mechanism은
물질이나 숫자들을 가둔 category의 변형에 있음을 알게 된다.
마치 내부적인 개체들이 중심이동을 위하여 개성을 나타내는
유동인자들 처럼 움직이고 있다.