수학이 필요한 순간
수학은 우주의 언어이다. 언젠가 우리가 지적인 외계인을 만나면 결국 수학의 언어로 대화할 것이다. 직관을 설명 가능한 구조로 만들어주는 가장 탁월한 방법론이 바로 수학적 사고이기 때문이다. 2011년 한국인 수학자로서는 최초로 옥스퍼드대 정교수로 임명되었고, 2012년 호암과학상을 수상했다. 저자 김민형 교수는 ‘페르마의 마지막 정리’에서 유래된 산술대수기하학의 고전적인 난제를 위상수학의 혁신적인 방법으로 해결하여 세계적 수학자의 반열에 올랐다. 이 책은 저자가 2018년에 쓴 책이다.
누구나 살면서 수많은 문제를 만납니다. 도저히 답을 찾을 수 없거나 어떤 답을 원하는지조차 모르는, 경우에 직면하기도 한다. 그럴 때 질문을 탐구하는 과정 차체가 새로운 길을 보여줄 때가 수학이 필요한 바로 그런 순간입니다. 라며 저자는 글을 시작했다. 이 책은 수학을 쉽게 설명한 책이 아니고, 수학의 과정을 밟아가며 알려주는 책도 아니다. 오로지 순수하게 수학만 이야기하는 책이라고 저자는 말문을 뗀다. 수학의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈은 고대에는 전문가의 영역이었는데 지금은 읽기 능력보다 보편적인 능력이 되었다. 이렇게 되기까지는 오랜 시간이 걸렸다. 오는 날 확률 이론은 17세기에 시작되었다. 수학의 발전은 모든 영역과 연결되었다. 미적분학은 약 400년 전 태양 주위의 행성과 지구 주위의 달의 움직임을 설명하기 위해 발명되었다. 오늘날 미적분학은 물리학, 경제학, 생물학, 공학의 모든 측면에서 사용된다. 최근에는 기계 학습과 인공지능의 최적화 알고리즘에서 중요한 역할을 한다. 인터넷의 검색 시스템도, 정보 전송도 이 대수 이론 없이는 가능치 않단다. 현재 대학에서 배우는 수학, 특히 확률 이론, 정수론, 기하학의 내용을 머지않아 초등학교에서 가르치게 될 것이란다.
현재 미결인 문제는 ‘공간과 시간은 무엇으로 만들어졌는가?’ 같은 것들이란다. 고대 시대부터 사람들은 자연의 구성요소를 발견해왔는데 이를 ‘원자’라 불렸다. 20세기에는 원자들이 ‘쿼크’와 ‘렙톤’으로 이뤄졌음을 발견했다. 빛은 ‘광자’로 만들어졌음을 발견했다. 시간과 공간은 가장 중요하면서도 발견하기 어려운 실존의 뼈대이다.
수학은 양, 구조, 공간, 변화 등의 개념을 다루는 학문이다. 현대 수학은 형식논리를 이용해서 공리로 구성된 추상적 구조를 연구하는 학문으로 이어지기도 한다. 수학은 그 구조와 발전과정에서 자연과학에 속하는 물리학을 다룬 학문과 깊은 연관을 맺고 있다. 하지만 자연계에서 관측되지 않는 개념들에 대해서까지 이론을 일반화 및 추상화시킬 수 있다는 차이가 있다. 수학자들은 그러한 개념들에 대해 추측하고, 적절하게 선택된 정의와 공리로부터의 엄밀한 연역을 통해서 추측의 진위를 파악한다.
우리가 우주를 이해하기 위해서는 우주에 관해 쓰여 있는 언어를 배우고 친숙해져야 하는데, 그 언어는 수학적 언어다. 가령 언어의 글자들은 삼각형, 원, 기하학적인 모양 들일 수도 있다. 이런 언어가 없이 우리는 우주를 한 단어도 이해할 수 없다. 이런 것들을 모르고는, 이런 언어가 없다면 어두운 미로를 방황하는 것과 같단다. 17세기의 갈릴레오 갈릴레이는 우주를 이해하는 것 자체가 수학적인 방법론으로만 가능하다고 생각했단다. 그런데 20세기를 넘어오면서 수학적으로 기술하지 않는 물리학은 찾아보기 어렵게 되었는데 대표적인 예가 경제학이다. 요즘 경제학은 대부분이 다 수학으로 가득 차 있단다.
우리가 쓰는 60초 60분 같은 개념은 바빌로니아 수학에서 나왔다. 수학발전이 이뤄진 17세기는 과학혁명의 시대였다. 과학의 수학 화의 대표적인 예가 ‘페르마의 원리’다. 빛과 굴절에 대한 원리로 물과 공기가 있고 물 밖의 A(사람의 눈)라는 점이 있고, 물속에 B(동전)라는 점이 있을 때, 두 점을 잇는 빛은 어떤 경로를 따라갈까요? 빛은 시간을 최소화하는 경로로 따라 진행한다는 것이다. 페르마의 원리는 1662년 편지 형식으로 세상에 알려졌다. 설명방식을 찾는 데 16년이 걸려서 1678년에 가능해졌단다.
자연철학의 수학적 원리 보통 줄여서 ‘프린키피아’라 부르는데 아이작 뉴턴이 운동법칙이 중요한 두 번째 사건이다. 어떤 물체에 힘을 가하면 그 물체가 움직인다. 이 말이 틀린 점을 발견한 것이 뉴턴의 착안이다. 움직이는 물체를 손으로 잡지 않더라도 멈추는 이유는 마찰의 힘 때문이다. 뉴턴이 운동법칙은 ‘힘을 가하면 속도가 생기는 것이 아니라 바뀐다는 것이었단다. 이 말이 속도가 생긴다가, 가속도가 생긴다고 바뀌었다. 뉴턴이 가속도 때문에 발견한 개념이 ’미분’과 ’적분‘이다. 이, ’ 속도가 변하는 정도’를 정확히 수학적으로 표현한 것이 미분이다. 미분은 변화하는 정도를 재는 것이다. 속도의 미분은 바로 가속도이다.
작용반작용의 법칙 즉 만유인력의 법칙을 수학적으로 표현하면 거리인데 거리를 2배 늘리면 중력은 반으로 줄어든다. 중력은 거리의 제곱에 반비례한다는 것이다. 요하네스 케플러의 3대 법칙이 있다. 태양계의 천체 물들의 궤적을 타원, 포물선, 쌍곡선 3가지로 분류할 수 있다는 법칙이다. 지구와 달이 서로 얼마나 강하게 잡아당기는지를 측정코자 하는 데 ‘연속적으로 더해준다’라는 개념이 적분입니다. 피타고라스와 유클리드는 잘 알려진 그리스의 수학자인데 처음으로 公理라는 개념을 창안하여 도입한 것이 유클리드 기하학입니다. 공리는 하나의 사실에 대해 증명하지 않고 기정사실로 받아들이지 않는다면 앞으로 전개될 내용을 전혀 받아들일 이유가 없으며, 이 공리가 맞는다고 상정하면 앞으로 나올 결론도 맞는다고 여기는 것이 공리의 사고체계이다.
17세기 데카르트는 ‘방법서설’에서 ‘나는 생각한다, 고로 존재한다’라는 명언을 남겼다. 바로 기하학의 중요한 좌표의 발견입니다. X축과 Y축의 좌표의 대각선을 그리고 P라는 점을 좌표를 그리고 기하학의 대수적인 방법, 언어로 명료하게 표현할 수 있는 개념을 만든 것이다. 여기서 파리가 날아다닌다는 말을 정량적인 좌표로 정확하게 표현하게 된 것이다. 몇백 년 후 좌표계의 성찰로 시간과 공간의 구조에 대한 개념적 혁명을 일으켰다. 여기서 아인슈타인의 상대성이론이 나온다. 그리고 이 이론이 적군의 미사일의 궤적을 따라, 공중에서 정확하게 맞추는 사드 같은 방어적 개념이 나오는 것이고, 군사적으로 정확하게 목표물을 따라 저공비행 하는 미사일을 생산하게 되는 것이다. 여러분은 선한 사람입니까? 악한 사람입니까? 고전 윤리학에서 보면 이 질문 자체가 비윤리적이란다. 윤리적인 문제도 과학적인 근거에 판단을 내릴 수 있다. 이것이 공리주의 관점이란다.
확률 수수께끼로 지능이 굉장히 높은 여자들은 대부분 자기보다 지능이 낮은 남자와 결혼을 한다고 합니다. 정답은 ‘확률적으로 대부분 남자 지능이 굉장히 높은 여자보다 멍청하니까’입니다. 그러니 지능이 높은 사람은 자기보다 지능이 낮은 사람과 확률적으로 결혼하게 되어있다는 것입니다. 과학기술의 발전은 인간을 달에도 보내고 핵폭탄을 만들기도 하며 폭탄을 제조할 때는 미 세적인 구조부터 확률이 작용하는 장치로 빨리 붕괴할 가능성이 큰 원자를 사용하고 이 확률은 양자역학이 결정한단다. 그래서 과학의 확률론은 선하지도 악하지도 않다고 답을 한단다. 사람이 그 도구를 가지고 좋을 일도 하고 나쁜 일도 할 수 있다는 것이다.
4강부터는 전문적인 수학의 이론이라 여기서 부호를 적기도 어렵고 그냥 대충 나도 훑어본 책이기 때문에 여기서는 생략한다. 저자도 숫자의 계량은 그냥 넘어가는 것도 방법이란 얘기를 했기에 시간과 공간을 절약하는 의미로 나도 넘어간다.
2021. 01, 20 대한 날
수학이 필요한 순간
김민형 지음
인플루엔셀 간행