바리뇽의 정리
사각형 네 변의 중점은 평행사변형의 네 꼭짓점을 이룬다.
프랑스 수학자 피에로 바리뇽(Pie ree Varignone)은 17세기 후반 사람으로 비교적 최근에 발견한 기하학적 정리이다.
이는 다음과 같다. 아무렇게나 그린 사각형의 각 변의 중간 점을 표시하고 그 중점을 연결하면 평행사변형이 생긴다. 이 현상을 ‘바리뇽의 정리’라고 한다. 그런데 이는 간단하면서도 수학적 사고의 많은 면을 내포하는 정리라고 저자는 말한다.
지금의 우리에게 익숙한 수와 수식이 등장하기 전 사람들은 수학의 원리를 어떻게 설명했을까? 뉴턴보다 수천 년 전의 지중해로 가보자. 뉴턴이 <프린키피아>을 쓸 때 큰 감명을 받은 책이 ‘유클리드’의 <원론>이라는 책인데, 이 책의 공리는 ‘두 점을 주면 그 점들을 지나는 직선이 하나 존재한다.’에서 더 복잡한 현상을 밝혀내기 위해 시작된다. 아르키메데스는 유클리드보다 후대 사람인데, 이집트의 알렉산드리아에서 활동했습니다. 지금의 박물관의 어원인 ‘무세이온’이라는 학술기관이 있었고, 유클리드에게 수학을 배웠답니다.
기원전 1700년쯤에 만들어진 석판이 있습니다. 유클리드와 아르키메데스보다 약 1,400년 전입니다. 이 돌덩이가 왜 중요하냐면, ‘2의 제곱근’을 계산해놓은 기록이 남아있기 때문입니다. 피타고라스는 ‘모든 것은 수다’라고 말했습니다. 그는 화음의 구조를 수로 설명했다고 하는데, 가령 음의 주파수를 두 배로 늘리면 옥타브가 하나 올라가고, 주파수를 1.5배 늘리면 5도 올라가는 식입니다. 무리수는 유리수일 수 없는 것이 무리수입니다. 피타고라스의 전설이 등장한 시기 이후부터 기하학에서 수의 개념이 사라지기 시작했습니다. 반지름 r인 원의 면적은 무엇인가요? πr₂입니다. 그의 사고는 그림에서 증명합니다. ‘반지름 r의 원의 둘레를 c라 하면 원의 둘레를 밑변의 길이로 놓고 높이를 원의 반지름과 같게 놓았을 때 삼각형의 면적과 원의 면적은 같다‘ 는 것이 아르키메데스가 증명한 면적 공식입니다. 구의 공식은 4πr₂입니다. 이것도 구를 둘러싼 원기둥을 그리되, 원기둥의 높이와 구의 높이를 똑같도록 그립니다. 그리고 원기둥의 바닥 원의 반지름이 구의 반 지름과 같게 만듭니다. 주의 표면적 4πr₂이 2πr×2r와 같다는 것이 핵심입니다.
우리는 교육과정에서 ’산수‘만 할 줄 알고 ’수학‘은 못한다고 비판하곤 합니다. 수학이 마치 더 우월한 과정인 것처럼, 그러나 그게 특별히 다른지 의문입니다. 교육과정이 올라갈수록 수준은 높아지고 알아야 할 배경지식도 높아집니다만, 그렇다고 어느 순간 산수가 수학으로 변하는 것은 아닙니다. 즉 수학과 산수의 경계는 없다고 생각한다는 것이 저자의 주장이다.
A와 B가 있을 때 B가 A보다 훨씬 좋다는 반응이 나오는 것은 대부분 A를 먼저 읽고 B를 후에 읽을 때입니다. 다시 한번 반복하게 되니 설명이 더 잘돼있는 것 같고, 훨씬 더 좋은 책인 것 같다는 것입니다. 판단하기 참으로 어렵죠. ( 요즘 인기 있는 트로트 데스매치에서 후에 노래하는 것이 그래서 유리함) 그래서 산수를 하는 그것보다 수학하는 것이 늘 무엇인가를 계산하는 것이라는 선입견이 꽤 널리 퍼져 있는 듯하다는 것이 저자의 주장이다.
기계적 규칙을 따른다 이 작업은 보통 알고리즘이라고 합니다, 지금은 컴퓨터 프로그램과 알고리즘을 거의 동일시하죠. 알고리즘은 아주 단순한 단계의 축척으로 이뤄진 명령의 조합입니다. 기록에 의하면 기원전 2,500년 전에 바빌로니아에 원시적인 나눗셈 알고리즘이 있었다고 합니다. 이 말은 16세기 수학 교재로 쓰인 <복원과 대비의 계산>이란 책을 쓴 ’알 쾨리즈미‘의 이름에서 따온 말입니다. 1900년 파리에서 수학자 ’힐베르트‘가 개최한 세계수학자대회에서 수학 문제 23개를 채택하여 제시합니다. 이 문제들이 100년 동안 수학계에 영향을 미쳤지만 해결한 것은 10개입니다. 유명한 ’리만 가설‘도 힐베르트가 문제 목록에 포함돼 있었으니 답을 찾는 것이 무슨 뜻인지도 모르는 문제들이 있었습니다. “물리학을 공리 체계로 재편성하라”라는 종류의 난제들이 예입니다.
이후로 이 책에 나오는 김민형의 글들은 공학도인 나도 이해가 어렵고 도식이나 기하학적 그림을 컴퓨터로 그리는 것이 어려워서 기록을 포기한다. 겨우 특수문자 π,×,ϒ정도 컴퓨터에서 찾아내 기록한 것이 전부이니 기간을 아끼어 다른 책을 읽기로 했다
2021. 02. 13
다시, 수학이 필요한 순간
김 민형 지음
인플루엔셀 간행