뉴턴이 운동방정식을 제안한 후에 많은 사람들이 다양하고 재미있는 생각을 하게 된다.
그 중 라플라스라는 과학자가 생각해낸 이야기가 있는데 그분은 이제..아까 설명한 뉴턴의 운동방정식을 돌이켜보면 된다.
우주에 엄청나게 훌륭한 어떤 지적인 존재가 있다고 가정해보자. 그리고 그 존재는 우주를 구성하는 모든 입자의 지금 현재의 위치와 속도를 모두 알고있다고 가정해보자.
그렇다면 그 상상할 수 없을 정도로 지적인 존재는 미래에 우주의 모든 입자가 제각각 어디에 얼마의 속도로 있을지를 다 알 수 있게 된다는 거죠. 그게 바로 뉴턴의 고전역학이 제시한 결정론의 세계다.
라플라스의 악마: 우주를 구성하는 모든 입자의 현재 위치와 속도를 알고 있는 가상의 지적 존재
그런데 조금 생각해보면 이게 가능할지 고민해보게 된다. 저 라플라스의 악마 이야기가 맞다면 이미 저 존재는 다 알고 수 있다는 거다. 내일 비가올지 안올지를, 내가 내일 공원에 갈지 극장에 갈지를... 저 지적인 존재는 명확히 보게 되겠지.
우리가 우리의 과거를 다 알고 있듯이 그 지적인 존재에게는 미래도 과거처럼 아무런 불확실성이나 아무런 가능성의 상태가 아닌 단 하나의 유일한 미래로 저 존재에게는 펼쳐져 있다는 거다. 바로 이것 때문에 뉴턴의 결정론이 사람들에게 많은 생각을 하게 했다.
그러나 20세기 중반.. 결정론에 의문을 던지게 된 사건이 있는데... 로렌츠라는 기상학자가
에드워드 로렌츠: 카오스이론을 만든 미국 수학자 겸 기상학자.
기상현상을 설명할 모델이 필요했던 로렌츠는 세개의 변수가 있는 세개의 방정식으로 이루어진 미분방정식을 만들어 컴퓨터를 이용한 날씨 예측 실험을 했다.
수치들을 일일이 입력해 컴퓨터로 대기운동의 시물레이션을 구하게 되는데 첫번째 실험 결과 "기상변화는 없을 것"이라는 결론을 얻은 로렌츠는, 다음 날 어제 얻은 결과를 다시 더 정확히 확인하고자 똑같은 조건에서 계산을 하게 되는데 그는 놀라운 결과를 얻게 된다.
"엄청난 태풍이 일어날 것이다!" 첫 번째 실험과 전혀 다른 결과에 당황한 로렌츠는.."무엇때문일까?" 바로 유효숫자의 갯수 때문이다.
두 번째 실험 당시는 소수점 이하의 숫자를 크게 신경쓰지 않고 진행했던 것이다. 소수점 아래 반올림한 숫자만을 이용했다. 이 작은 차이에서 카오스 이론은 탄생했다.
소수점 아래 "1/10만 단위 이하의 수치는 나비의 날갯짓 정도에 불과한 작은 차이지만 , 이것으로 인해 몇 달 후에는 완전히 다른 날씨가 되어버리는 것이다."
로렌츠가 발견한 이 원리는 초기값의 미세한 차이로 인해 결과가 완전히 달라지는 현상 나비효과를 설명하게 된다. 즉 북경에 있는 나비의 냘갯짓 한번이 뉴욕에 토네이도를 일으킬 수 있다는 것이다. 이 원리는 물리학 카오스 이론의 중요한 토대가 됐다.
그런데 우리가 정말 정확한 예측을 하려면 로렌츠가 발견한 카오스를 돌이켜보면 처음 출발하는 숫자를 소숫점 이하까지 무한의 정도로 알아야만 미래를 예측할 수 있다는 거다. 그러나 우리가 어떤 정보를 무한한 정확도로 알 수 있을까? 그것은 불가능하다!
비유가 있는데....인류가 지구상에서 가진 모든 지식을 이 손가락 위에 선 하나로 표시할 수 있다. 할 수 있을까요?
인류가 가지고 있는 모든 지식을 현재는 컴퓨터 메모리에 있다고 가정 하겠다. 컴퓨터 메모리에는 모든 정보는 다 숫자의 형태로 들어간다. 보통 이진법인데 십진법이라고 가정하겠다. 그러면 인류가 갖고 있는 모든 지식의 총량을 1,3,,7,5...라고 하는 엄청나게 긴 숫자의 나열로 표시될거다. 그러면 그 엄청나게 긴 숫자의 나열 앞에 점(.)을 하나 찍고 앞에 0을 붙인다. 0.1375.....로 나가는 정말 긴 숫자의 나열이 될 것이다.
그 다음 내 손가락의 길이를 1이라고 하고 지금 찾아낸 그 엄청나게 긴 숫자에 해당하는 위치에 선을 하나 긋는 것이다. 그럼 지금 제가 한 일이 인류가 갖고 있는 모든 지식을 내 손가락 위에 선 하나로 표시한 거다. 언듯 생각하면 그럴 듯하다. 그러나 이게 말이 안된다. 왜 말이안되는가 하면..선을 무엇으로 그을 것인가를 생각해보라. 선도 원자로 돌 수밖에 없다. 아무리 작아도.
그런데 원자의 크기는 0 이 아니다. 원자의 크기는 10의 마이나스 10승미터 정도이다.
그래서 원자로 아무리 그어봤자 10의 마이나스 10승이니까. 0.1234로 나가면 10번째 자리 11번째 자리 까지는 절대로 선을 그을 수 없다. (원자로도 결코 정확한 선을 그을 수 없음)
그래서 수학적으로야 무한의 정확도로 우리가 상상할 수는 있지만 물리적으로는 무한의 정확도란 불가능하다.
그런데 카오스 가 우리에게 알려준 것은 소수점 아래 열한번째 숫자가 1이냐 2냐의 미세한 차이로 미래가 바뀐다는 것이다. 그렇게 생각한다면 뉴턴의 고전역학에 나오는 운동방정식은 그 방정식 자체로는 결정론적이다.
그 방정식으로 과거에 만약 어떤 정보가 무한의 정확도로 알려져 있다면 미래도 무한의 정확도로 딱 하나가 결정될 수밖에 없다.
하지만 우리가 처음 정보를 무한의 정도로 알 수 없다는 것이다. 그러면 미래는 예측가능 할 수 없다.
그래서 로렌츠가 발견한 카오스 이론이 과학자들, 물리학자들에게 준 영향이 이거다. 어떤 운동방정식에 의해 결정은 되어있을 수 있지만 예측할 수 없다는거다. 이게 20세기 중반 이후에 과학을 하는 사람들의 마음에 엄청난 영향을 미친 그런 사실이다.
그리고 고전역학에서의 카오스가 존재 하지않나. 그렇다면 카오스가 있다고 해서 항상 예측할 수는 없나?
내가 어떤 물체를 손에들고 있다가 이 바닥에 떨어뜨렸다고 하자. 이 물체가 어떻게 시간에 대해 속도가 변하며 바닥을 향해 떨어질지는 카오스의 도움없이 정확히 예측된다.
어떨때 카오스가 가능하고 어떨때 카오스가 불가능하고에 대한 것을 물리학자들이 생각한다.
카오스가 가능키 위한 조건은 최소한 3개 이상의 변수가 있는 1차 미분방정식일때만 카오스가 있을 수 있다. 하지만 카오스가 있을 수 있다는 것이지 카오스가 항상 있다는 것은 아니다.
그래서 라플라스의 악마로 돌아가서 보면 "라플라스이 악마는 없다"는 것을 카오스가 알려준다.
하지만 라플라스의 악마가 없다고 해서 뉴턴의 운동방정식이 틀린 것은 아니다. 단지 우리가 모든 입자의 위치와 속도를 무한의 정확도로 아는 것은 불가능할 뿐이다.
모든 것의 정보를 무한의 정도로 알 수 있을 때 정확한 미래 예측이 가능하다. 그러나 무한한 정도로 정보를 알 수 있을까? 불가능하다.
화면에 이런 그림이 있는데 이것이 바로 로렌츠라는 기상학자가 생각해낸 세개의 미분방정식으로 부터 얻어지는 어떤 결과를 그분이 그림으로 표현한 그림이다.
이상한 끌개: 3차원 공간상에서 대기의 변화를 모델링하기 위해 에드워드 로렌츠에 의해 고안된 비선형 연립 미분 방정식
이 그림을 보면 어떤 선을 따라서 이 점이 3차원 공간상에서 움직이는데 가만히 보면 나비 날개같고 왼쪽과 오른쪽의 중심 부분에 동그란 모양이 있다. 그런데 이게 왜 예측 불가능한가를 우리에게 알려줄 수 있게 되는가 하면 어떤 때는 이 공간에서 선을따라 움직이는 점이 엄청나게 오랫동안 왼쪽 빨간색 점에 오래 머물 수가 있다. 그러다간 돌다가는 갑자기 오른쪽에 있는 곳으로 넘어간다. 그리고 그곳에선 다섯바퀴.. 그리고는 좀 있다가 왼쪽으로 넘어간다. 그런데 그걸 아무리 자세히 쳐다봐도 규칙성을 발견할 수가 없다. 만약에 이 삼차원 공간에서 여러분이 보고있는 저 도형이 선이 돌아다니다가 만난다고 가정해 보면 우리가 아 이 선은 만날 수가 없겠구나 하는 것을 금방 알 수 있다. 왜냐면 선이 돌아다니다가 두 선이 만나요. 그럴때 이 점이 정확히 그 두 선의 교차점에 있다 생각해보자. 그러면 그 점은 이쪽으로 갈지 저쪽으로 갈지 두 개의 미래가 있게 된다. 하지만 뉴턴의 역학 고전역학은 결정론적이라고 말씀 드렸다. 그래서 거기서부터 우리가 얻을 수 있는 것은 여기에 엄청나게 많은 선이 무한히 긴 선이 돌아다닌다. 하지만 그 중 어떤 두 선도 서로 만날 수는 없다는 거다(유한한 공간과 무한한 선, 결코 만나지 않는 선들). 놀라운 일이다. 이 도형.. 이 작은 모양 안에서 영원히 머무른다. 이 점은. 하지만 결코 다른 점과 만나지 않는다. 그러니까 무한히 큰 면적이 이렇게 작은 유한한 공간안에 담겨있게 된다. 바로 그런 구조가 물리학자들이 프랙탈이라고 부르는 구조다.
프랙탈: 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조.
위의 그림이 로렌츠가 자기의 방정식을 이용해서 찾아낸 그런 로렌츠끌개라고 불리는 흥미로운 프랙탈 모양이라고 생각하면 된다.
프랙탈 구조는 유한한 공간안에 무한히 큰 면적을 담을 수 있다 라고 기억하면 된다. 바로 그 성질 때문에 우리가 살고 있는 세상에서도 프랙탈에 해당하는 것들이 굉장히 많이 있다.
다음의 화면은 카오스로 해당하는 대표적 현상중의 하나인데
이 그림의 위에 있는 수식을 이해할 때는 어떻게 이해하면 되겠는가 하면 .. 금년에 토끼가 몇 마리면 내년에 토끼가 몇 마리가 될까? 라는 것으로 생각해도 된다. 이 그림에서 토끼의 마리수는 아니고 토끼의 밀도 같은 것으로 생각하면 된다. 그래서 당연히 만일 금년 토끼가 1마리라면 내년 2마리 후년에는 4마리가 되겠죠? 토끼는 계속 늘어나는 게 첫번째 항이고 그 괄호안에 있는 1-xn이라고 할 때 x의 의미는 토끼가 너무 많아지면 계속 늘어날 수는 없게되죠. 토끼들이 너무 많아지면 토끼 숫자가 줄어드는 경향도 있게 된다. 그래서 이 식이 토끼의 마리수가 시간이 지나면서 어떻게 변하는지를 예측하는 간단한 모형이라 생각하면 된다. 그런데 이 그림을 보면 가로축이 토끼의 증가율이다. r에 해당하는..세로축이 내년에 토끼가 몇 마리일까? 하는 것으로 생각하면 되는데.. 이 그림을 가만히 보면 어떤 부분들은 점들이 굉장히 많이 찍혀서 까만색 선처럼 보이는 곳도 있다. 그 곳이 바로 카오스가 있는 영역이다. 즉 그곳에서는 금년에 토끼가 몇 마리라고 해서 내년에 토끼가 토끼가 몇 마리가 될지를 정확히 에측하는 것이 불가능하게 되는 거다. 그런데 이렇게 카오스가 있는 시스템이 보여주는 대표적 특징이 아까 로렌츠의 끌개처럼 프랙탈이라는 말씀을 드렸는데 이 그림도 가만히 보면
오른쪽 윗 부분에 파란색 사각형을 친 부분을 볼 수 있는데 그 부분만 보면서, 그 작은 부분과 이 그림 전체를 비교해보는 거다. 그러면 모양이 똑같다. 프랙탈이라는 것이 이것처럼 전체가 보여주는 모습 중 일부를 봐도 그 일부가 전체랑 똑 같은 모양을 갖고 있는 그런 것들을 프랙탈이라고 할 수 있다. 우리가 살고 있는 세상은 프랙탈이 정말 많다. 그 중 하나가 제 몸의 콩팥같은 내장 기관이 있잖나. 그 콩팥에도 혈관이 분포를 하는데 혈관도 프랙탈 모양을 따라 분포한다는 것이 잘 알려져있고, 또 대표적인 것이 나무를 생각해도 된다. 나무가 생긴 모양이 프랙탈이다. 그건 왜 그럴지도 어렵지 않게 생각할 수 있다.
프랙탈 구조는 유한한 공간안에 무한히 큰 면적을 담을 수 있다. 카오스는 프랙탈 구조로 자기를 구현한다.
나무 한 그루의 작은 부분인 나무의 가지 모양과, 나무 전체 모양이 동일한 구조로 되어 있다. 나무가 프랙탈 모양이기 때문이다. 프랙탈 모양을 가지면 그 잇점중 하나가 작은 부피안에 커다란 면적을 구현할 수 있는 그런 구조라고 말씀 드렸다. 그러면 바로 그걸 이용하면 나무는 자기의 가지와 잎파리를 만들기 위해 사용할 수 있는 에너지와 물질의 총량이 제한이 되어있을 수밖에 없다. 그러면 그 제한안에서 가장 넓은 면적을 방법을 만드는 것이 프렉탈이다.
나무는 자기한테 오는 햇빛을 단 하나도 남김없이 받아들이고 싶을 것이다. 그러기위해는 면적을 넓혀야 할 것이다. 하지만 엄청난 면적을 만들면서도 작은 재료만 쓰고 싶은 것이다. 그러려면 프랙탈 구조일 수밖에 없다는거다.
*고전역학을 대표하는 뉴턴의 운동방정식은 언제나 결정이 되어 있다. 그러나 예측이 쉬운 것은 아니다.
카오스가 우리 현실에서 어떤 모양을 만들때는 많은 경우에 자기가 자기의 일부분과 닮은 그런 프랙탈 구조로 구현된다는 것.. 기억하면 좋겠다.
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과거의 정보가 무한의 정보로 알려졌다면 미래의 정보도 무한의 정확도로 예측할 수 있을 것이다. (미래예측 불가능)
즉 어떤 운동방정식에 의해 결정은 되어 있지만 항상 예측할 수는 없다(카오스 이론에서 나옴)
북경의 나비 날개짓이 뉴욕에 폭풍우를 가져온다. (로렌츠변환: 기상 에측시 10만 단위 아래의 소수점을 버렸더니 전혀 다른 결과가 나옴): 카오스이론이 탄생 했다.
원자크기 10의 -10승 미터= 소수점 아래 11번째 숫자 이하에 미세한 차이로 미래가 바뀐다(카오스 때문에)
카오스가 있다고 하여 예측은 항상 불가능한가? 그렇지는 않다.
카오스가 가능하기 위한 조건은 최소 3개 이상의 변수가 있는 1차 미분방정식일 때다. 그러한 조건이라고 카오스가 항상 있는 것은 아니다.
라플라스의 악마는 없다라는 것이 카오스가 우리에게 알려준 것이다. 그러나 라플라스의 악마가 없다해서 뉴턴의 운동방정식이 틀린 것은 아니다. 단지 모든 입자의 위치와 속도를 무한의 정확도로 아는 것이 불가능할 뿐이다.