8-22. 다변수 함수의 최대, 최소

[chris]

22. 변수가 두 개 이상인 함수의 최대 최소

   

변수가 두 개 이상인 함수의 최대, 최소값을 구하려면?

•  함수를 한 문자에 대하여 정리한다.
•  원래의 함수를 그 문자에 대한 함수로 보고 최대, 최소값을 구한다.
•  최대값의 최대값과 최소값의 최소값을 구한다.
  

정의역이 실수 전체인 이차함수는 (실수)²≥0을 이용하여 최대값 또는 최소값을 구한다.

1. |a|≤1, |b|≤1일 때, ab+a-2b+1의 최대, 최소값을 구하고 최대, 최소가 될 때의 a, b를 구하시오. 

   (답) 최대값 3 (a=1, b=-1), 최소값 -3 (a=-1, b=1)　
   
   ab+a-2b+1을 b에 대한 함수로 보고
   f(b)=(a-2)b+a+1로 놓으면 a-2<0 ← -1≤a≤1
   f(b)는 감소함수 이므로
   
   최대값은 b=-1일 때, f(-1)=3
   최소값은 b=1일 때, f(1)=2a-1 ^...①
   
   ①에서 -1≤a≤1이므로 f(1)의 최소값은 a=-1일 때 -3

   
   
   
2. x, y가 실수값을 가지며 변할 때, x²-2xy+2y²+4x-2y-1의 최대값 또는 최소값을 구하고 그 때의 x, y를 구하시오.

   (답) 최소값 -6 (x=0, y=-1), 최대값은 없다.　
   
   x²-2(y-2)x+2y²-2y-1={x-(y-2)}²+y²+2y-5=(x-y+2)²+(y+1)²-6 ^...① 에서
   (x-y+2)²≥0, (y+1)²≥0 이므로
   
   ①은 x-y+2=0, y+1=0 일 때 최소이고 최소값은 -6
   
   ∴ x=-3, y=-1일 때 최소값은 -6

   
   
   
3. |x|≤2, |y|≤1일 때, x²+2x-y-1의 최대, 최소값을 구하시오.

   (답) 최대값 8 (x=2, y=1), 최소값 -3 (x=1, y=1)　
   
   x²+2x-y-1=(x+1)²-y-2 ^...① 에서 -2≤x≤2이므로
   
   x=-1일 때 ①은 최소이고 최소값은 -y-2 ^...㉠
   x=2일 때 ①은 최대이고 최대값은 7-y ^...㉡
   
   ㉠의 최소값은 y=1일 때 -3
   ㉡의 최대값은 y=-1일 때 8

   
   
   
4. x+y+xy=1를 만족하는 실수 x, y에 대하여 x²+y² 의 최소값을 구하고 그 때의 x, y를 구하시오.

   (답) 6-4
   
   x+y+xy=1은 y=x에 대하여 대칭
   (x+1)y=-x+1, y= 의 그래프와 y=x와의 교점 (x, y)에 대하여 x²+y² 은 최소가 된다.
   (그림참조)
   
   y=x를 x+y+xy=1에 대입하면
   2x+x²=1, (x+1)²=2, x+1=± , x=-1±
   
   그림에서
   x=-1+ , y=-1+ 일 때 x²+y²은 최소이고
   최소값은 (-1+ )²+(-1+ )²=6-4