우리가 흔히 평균변화율을 이를 때 Δx/Δy 로 표현을 합니다.
그리고 "x 의 증가량 분의 y 의 증가량" 이라고 말을 하지요.
증가량= 거리, = distance..
중학교 때부터 x 의 거리와 y 의 거리값의 비율을 구하여, 이것을 "기울기" 라는 표준화된 숫자로 "기울어진 정도" 를 표현해 왔습니다. 그리고 이것은 물리학적으로 표현하자면, "평균적인 변화율", 또는 "등속 운동으로 보았을때의 속도" 정도가 되겠네요.
그런데, 이것은 사실 EXTRA 에 불과한것이고..
사실상 더 중요한것은, 한 점(또는 순간)에서의 속도/증가율이라는것이죠. 자동차의 속도계를 볼 때 나타나는 속도는 분명히 그 순간의 속도입니다. 자동차의 속도계가 만약 평균적인 속도를 나타낸다면, 대단히 답답할 것입니다..
하여튼.. 이러한 이유로 인하여 미분을 정의하게 되고..
미분이라는것도 결국은 "평균 변화율" 의 극한값이 되는셈인데요..
Δx/Δy 를 dy/dx 로 표현한것에 불과합니다.
(d 가 아마 distance 가 아닐까 생각되네요..)
그런데, 이 dy/dx 는 이중,삼중적인 의미를 가지게 됩니다..
첫번째 의미는,
dy/dx.. 말 그대로 "y의 순간증가율/x 의 순간 증가율" 이라는것이고..
두번째 의미는,
"x 에 관하여 y 를 미분하라" 는 뜻이 됩니다.
첫번째 의미에서, dy/dx 는 "사실상 나눗셈" 과 같은 연산을 시행할 수 있게 되구요.. (그러나 극한이기 때문에 함부러 나눌 수는 없지요..)
두번째 의미에서, 아래와 같이 변형이 가능하게 됩니다..
dy d
-- = -- y
dx dx
즉, x 에 관하여 y 를 미분하라는 뜻이 강하게 표현된거죠..
이제, 그럼 이계도 함수를 구해 볼까요.
이계도 함수는, dy/dx 를 다시 미분하는겁니다..
그렇다면, 이번에는 "x 의 증가량분에 dy/dx 의 증가량" 이 되고요..
이것을 기호로 표시하면,
d (dy/dx)
-------
dx
이렇게 되죠.. 이것을 첫번째 의미를 이용하여 좀 변형해 보면,
d (dy)
----
(dx)^2
이렇게 되고,
이것이 우리가 흔히 배우는..
d^2y
----
dx^2
이런식으로 변형이 된겁니다.
아래 분자는 당연히 (dx)^2 이라고 써야 하지만.. 귀찮으니까
그냥 dx^2 이라고 표현을 하죠..
그러고서는 .. 저건 기호이지, 분수가 절대 아니다..
이런식으로 얘기하게 되죠.. (사실상 분수 계산을 해 놓고선!!!)
만약 저기서 미분해야 될 y 부분이 복잡해지면..
이를테면, y=x^3+1 이다.. 라고 할 때 이계도 함수를 표현하면
d^2 (x^3+1) d^2
---- = ---- (x^3+1)
dx^2 dx^2
위와 같이 표현하게 되죠..
미분의 기호는 참 멋집니다.. 생각하면 할 수록 멋진 기호죠..
그리고 적분 기호도 살펴보면 볼수록 대단한 의미의 함축이 되어 있다고 볼 수 있습니다..
라이프니츠의 이러한 기호학은 미적분학의 발전을 몇백년 앞당겼다고 해도 과언이 아닐것입니다. 우리가 고교에서 미적분학을 쉽게 배울 수 있는것도,알고보면 다 라이프니츠 덕분이 아닐까요...