Cayley-Hamilton Theorem

[banff]

고교방에 올라오는 행렬문제의 대부분이 Cayley-Hamilton Theorem을 알면 쉽게 풀리는 문제들입니다.

작년에 Calculus를 가르쳤던 아이가 올해 Linear Algebra를 배우겠다고 해서 가르치게 되었습니다.

대학때 그런 과목이 있었다는 기억만 있었을 뿐이었으니, 사실은 제가 공부를 한 셈입니다..

책을 드디어 마치고  기말고사마저 끝내고  드는 의문은    왜 한국의 고교에서는 Cayley-Hamilton Theorem의 

응용문제를 그렇게 많이들 출제하는 지 입니다.

대학교 1학년의 Linear Algebra교재 본문에는  Cayley-Hamilton Theorem이 전혀 나오지 않습니다.

다만 Exercise 문제중에  Cayley-Hamilton Theorem 이 나옵니다만, 이런 말이 붙어 있습니다.

....The proof  and application of this result, unfortunately, lie beyond the scope of this book.....

.............

If A is a diagonalizable nxn matrix, prove Cayley-Hamilton Theorem , 

즉  Cayley-Hamilton Theorem 은 대학 1학년 교과서 범위밖에 있고, 대각행렬로 표시될 수 있는 

행렬에대해서만 증명해보자는 문제입니다.

중요해서 가르친다면, 세상의 모든 중요한 것을 고등학교때 다 가르칠 수는 없습니다.

쉽게 문제를 푸는 방법이라서 가르친다면, 편법을 가르치는 셈입니다. 증명은 2x2 행렬에 대해서만 해 놓고

nxn 행렬에 대해서 출제되는 문제도 많이 있습니다. 이런 경우는 증명이라고 볼 수 없겠지요.

서울시립대 2010년 문제입니다. 

Cayley-Hamilton Theorem를 사용해서 답만 구한다면  점수를 얻을 수 없게 출제했습니다.

[태즈_]

(극초보강사의 짧은 생각에는) 교과과정에서 '행렬'단원에서 '이차/고차방정식'과 비슷한 개념에 많은 부분을 할애하고 있는 것 같습니다.
방정식에서 성립하는 "a^2=0 이면 a=0 이다."와 같은 개념이 행렬에서 성립하지 않는 것 등 고차방정식과 비교되는 개념도 많이 언급하고요..
이차/고차방정식과 비슷한 유형의 문제들을 다루다보니, 고차 행렬이 많이 나오게 되고, 그래서 케일리해밍턴 법칙가 아주 유용하게 사용되는 듯 싶습니다.

[|블러디|]

고교과정에서의 행렬은 2차에 국한되어 다루다보니 어쩔수 없는 결과인듯 싶네요.
이전 교과에서는 3차 가우스소거법등도 배운적이 있습니다만, 아마도 학습부담을 줄인다는 차원에서 3차이상의 행렬계산은 빼버린듯 싶구요(그러면서도 3차 연립방정식은 또 다루죠) 2차만 다루다보니 역행렬계산이나 거듭제곱 계산과정시 어쩔수없이 맞물리는 부분인것 같습니다.
교과과정외라고 명시되어있긴 하지만, 차수가 낮은경우니 어려운 이론을 빼려해도 사용개념들이 다 거기서 거기인거죠.
하지만 대학과정에서는 n차 일반화와, 그 접근목적자체가 다르기때문에 2차 케일리-헤밀턴 정리를 연습해보는 기회또한 고교과정에서가 전부인것 같습니다.

[|블러디|]

일례로 대학과정에서 케일리-헤밀턴 정리의 역에대해 다루거나 연습할 기회도 기억도 없었던것 같습니다.

[pytha]

뭐 쩝~! 샘께서 언급하신 <대학교 1학년의 Linear Algebra>라는 것이 존재하던 가요? 즉 우리나라 대학교 대부분이 선형대수를 1학년 또는 2학년때 학과기초또는 학과필수과목으로 선정해 필수학점으로 이수하게 합니다만 그 학습내용은 학교마다 다르지 않나여? 각 학교마다 저마다의 교재를 선택해서 갈치고 있는 상황이어서 <대학1학년의 선형대수>라고하기엔 쩜 그렇지 않나 생각됩니다. 제가 공부했던 교재 Serge Lang 의 선형대수에는 많은 부분을 할애해서 나옵니다.

[pytha]

그리고 고등학생 대부분이 수학을 전공할 학생이 아닌이상 <편법>,<야매> 뭐 이런거 그다지 나쁘지는 않다고 생각하는 1인 입니다.ㅋ 서울시립대 문제는 케일리헤밀턴공식의 결론을 지금껏 노출된 모든문제에 적용해서 풀어서 그것이 습관이된 학생(샘의관점에서 보자면 바람직하지 못한 습관이겠지요)이라도 이문제를 보는순간 케일리헤밀턴과 연관성이 있다고 순간 느낌을 받았어도 이내 그렇게 하면 안된다는 것을 잘 알고 그냥 (a)(b)(c)(d)에서 하라는 대로 충실하게 따르며 아무 무리없이 문제를 풀었을 친절한 문제인 것 같습니다. 제 소견으로는.....