[이론 연구]행렬의 최소다항식(minimal polynomial)

[Knuth]

주제/Keyword:  행렬, 다항식, 최소다항식

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[정의] 최고차항의 계수가 1 이고, 정사각행렬 행렬 A를 대입하여 영행렬이 되는 최소 차수의 다항식을 행렬 A의 "최소다항식(minimal polynomial)"이라고 부른다.

[정리 1.] 임의의 2차 정사각행렬 A 에 대해 최소다항식이 존재하고, 그 차수는 2 이하이다.

증명) 케일리-해밀턴 정리에 의해 A를 대입하여 영행렬이 되는 이차식이 존재하므로, A의 최소다항식은 당연히 존재하고 그 차수는 2를 넘을 수 없다.

※ 고교과정에서는 3차 이상에 대해 다룰 일이 거의 없지만, 일반화시키면 임의의 n차 정사각행렬 A에 대해서도 최소다항식이 존재하고, 그 차수는 n 이하라는 명제가 성립합니다.

[정리 2.] 임의의 정사각행렬 A에 대해, A의 최소다항식은 유일하다.

증명) A의 최소다항식이 유일하지 않다고 가정하자. f(x)와 g(x)가 둘 다 A의 최소다항식이라면 f 와 g 는 같은 차수여야 한다.

h(x) = f(x) - g(x) 라 놓으면 h(A) = f(A) - g(A) = O - O = O 가 되므로 h(x)는 A를 대입하여 영행렬이면서 f,g 보다 차수가 낮은 다항식이 된다. 따라서 모순.

[정리 3.] f(x)를 A의 최소다항식이라 하자. 만일 어떤 다항식 g(x)에 대해 g(A)=O 가 성립할 필요충분조건은 f(x)가 g(x)의 인수가 되는 것이다.

증명) <= 방향은 자명하므로 => 방향에 대해서만 증명하면 된다.

g(x)를 f(x)로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)라 놓자. 즉, g(x) = f(x)Q(x) + R(x) 라 놓자.

g(A)=O 이라면 R(A) = g(A) - f(A)Q(A) = O 이 되고, R(x)의 차수는 f(x)보다 낮아야 하므로 이러한 다항식(일차 이상의) R(x)가 존재한다면 f(x)가 최소의 차수임에 모순. 따라서 R(x)=0 이어야 하고 g(x) = f(x)Q(x) 가 되어 f(x)는 g(x)의 인수이어야 한다.

[ 예제 1. ] 이차 정사각행렬 A에 대해 A^3 = O 이면 A^2 = O 이다.

증명) [정리1]과 [정리3]에 의해 A의 최소다항식은 이차 이하이면서, x^3 의 약수이어야 한다. 그러한 다항식은 x 와 x^2 밖에 없다. 따라서 A=O 또는 A^2=O 가 성립하여야 하고, 어느쪽이든 A^2=O 가 성립한다.

[ 예제 2. ] 실수성분의 이차정사각행렬 A에 대해 A^3 = E 이면 A = E 또는 A^2 + A + E = O 가 성립한다.

증명) [정리1]과 [정리3]에 의해 A의 최소다항식은 이차 이하이면서, x^3 - 1 의 약수인 실계수 다항식이어야 한다.

그러한 다항식은 x-1 과 x^2 + x + 1 두 개 뿐이다. 따라서 A-E=O 또는 A^2 + A + E = O 가 성립한다.

[ 예제 3. ] f(x)는 실근만을 갖는 다항식이고, g(x)는 허근만을 갖는 다항식이라 하자. 실수성분의 이차정사각행렬 A에 대해, f(A)g(A)=O 이면 f(A)=O 또는 g(A)=O 가 성립한다.

증명) A의 최소다항식을 h(x)라 하자. [정리1]과 [정리3]에 의해 h(x)는 이차 이하의 실계수다항식이고, f(x)g(x)의 인수이어야 한다. 이차 이하의 실계수 다항식은 실근만을 갖거나(중근포함) 또는 허근만을 가지므로

① h(x)가 실근만을 가지면 h(x)는 g(x)와 서로소인 다항식이어야 하므로 h(x)는 f(x)를 나누어야 한다. 즉, f(A)=O.

② h(x)가 허근만을 가지면 h(x)는 f(x)와 서로소인 다항식이어야 하므로 h(x)는 g(x)를 나누어야 한다. 즉, g(A)=O.

따라서 f(A)g(A)=O 이면 f(A)=O 또는 g(A)=O 가 성립한다.

[수학가]

아, 네 이해되었습니다. 설명 감사합니다~ ^^

[쿠아일러]

잘보았습니다. 감사합니다.

[cool_math]

좋은 글 감사드립니다. 스크랩해서 자세히 공부할게요.

[수학연구회]

이 부분이 이상한 것 아닌가요?

'즉, g(x) = f(x)Q(x) + R(x) 라 놓자. g(A)=O 이라면 R(A) = g(A) - f(A)Q(A) = O 이 되고,'
R(A)= -f(A)Q(A)가 아닌가요? R(A)= -f(A)Q(A)에서 r(x)의 차수에 대해 어떻게 모순을 끌어내나요?

[Knuth]

f(x)가 A의 최소다항식이므로 f(A)=O 이니까 R(A) = O 가 얻어지는거죠.
A 대입해서 영행렬이 되면서 최소다항식보다 차수가 낮으니까 모순이 되는거죠.