정5각형, 정다각형, 벡터의 합이0
문제 : 정오각형의 중심을 O라 하고 각 꼭지점을 A,B,C,D,E라 할 때, 벡터 OA+OB+OC+OD+OE=0 임을 어떻게 보여줘야할까요?
육각형같은 경우는 식의 계산으로도 간단한데 오각형은 ㅠㅠ 처음 배우는 학생들에게와 복소수를 이용한 방법으로도 좀 설명 부탁드립니다.
증명 :
n 개의 벡터를 각각 a1, a2, a3... 라고 합시다. 이때 a1 벡터를 적당한 각 세타만큼 회전시키면 a2 벡터와 겹치게 할수 있습니다. 마찬가지로 a2 벡터를 세타만큼 회전시키면 a3 벡터... 주어진 n개의 벡터의 합을 P 벡터라고 하면 P 벡터와 P벡터를 세타만큼 회전시킨 벡터가 일치하게 됩니다. 따라서 P 벡터는 0 벡터가 됩니다.(by 해방을꿈꾸며, 12738번)
벡터의 합을 vec(S)라 하면, 5개의 벡터를 72도만큼 회전시키면 처음의 벡터와 같은데, vec(S)를 72도 회전했을 때에 변화가 없으려면, vec(S)=0벡터 이어야 한다.
복소평면으로 풀기... 다섯개의 꼭지점은 x^5=1 의 다섯개의 근 1,w,w^2,w^3,w^4 이므로, A=1이라 하면, 준식=|w-1+w^2-1+w^3-1+w^4-1| = |-4 + w + w^2 + w^3 + w^4| 에서 네개의 허근의 합은 -1이므로, 준식=|-5|=5 (by 장국영, 31871번)
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기타 : 20361번, 12890번
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