n개의 서로 다른 평면이 공간을 분할할 때, 분할 공간의 최대 개수는?
n개의 평면에 1,2,3,...,n 까지 번호를 붙인다
1번 평면이 공간을 가른다 ... 1 (원래 공간) + 1 (1번 평면) = b_1
2번 평면이 공간을 가른다 ... b_1 + 1 (2번 평면) + 1 (1,2번 평면의 교선) = b_2
k번 평면이 공간을 가른다 ... 이 평면의, 바로 윗부분과 바로 아랫 부분이, 새로 생기는 분할 공간에 관계된다. 다음을 잘 보자
평면 k를 그린 것이다. 직선L 은 pal 상태의 교선일 수도 있다 (직선 L을 여러 평면들이 지나는 상태)
파란색 면 또는 녹색면을 주목하고, 평면 k가 없을 때를 생각하자.
파란색 면 바로 위의 분할공간과 바로 아래의 분할 공간은, 원래 하나의 공간이었다
평면 k가 공간을 가를 때, 이 하나의 공간이 둘로 나누어졌다
바로, 파란영역 위의 공간과 파란영역 아래의 공간으로 ...
몇개의 공간이 새로 생긴 것인가? 1개
그러면, 파란 영역 (파란색 면)이, 하나의 공간을 새로 생기게 했다고 봐도 되는 것이다
( 이렇게 일대일 대응을 시키는 것이다 )
녹색 면도 마찬가지일 것이고 ...
평면 k위의 모든 분할 면의 개수 = 평면 k에 의해 새로 생기는, 분할 공간의 개수 이다 ###
이것들을 차례차례 더해가면 된다
n개의 평면에 의한 분할 공간의 개수 =
원래 공간 (1개) + 평면 1 위에 그려진 분할 면의 개수 (1개) + 평면 2 위에 그려진 분할면의 개수
+ ... + 평면 n위에 그려진 분할면의 개수 ###
이 식은 너무도 당연한 식이다
이식은 최대값 구할때만 쓸 수 있는게 아니고, 모든 경우에 쓸 수 있는, 변함없는 식이다
( pal 상태도, 다른 상태도 다 쓸 수 있는 식이다 )
하지만 단순 노동에 해당되는 식이고, 그냥 평면을 순서 마음대로 정해서, 하나하나씩 공간을 가르며, 평면위에 그려지는 분할면을 세어보는 것이다
1번 평면에는 아무것도 안 그려지니 1개,
2번 평면에 몇개 ... 평면 번호가 커질수록 대체로 분할면도 많아질 것이다
주의점은 순서대로 하나하나씩, 평면이 공간을 가르게 해야 한다
이미 완성된 (분할이 다 끝난) 공간에서, 각 평면의 분할면의 개수를 세는 것이, 절대 아니다
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그러면, 분할공간의 최대값 구하기는 쉽다
max = nC0 (원래 공간) + 평면1 위의 분할면의 최대 개수 + 평면2 위의 분할면의 최대 개수
+ ... + 평면n 위의 분할면의 최대 개수
앞시간에 한 내용을 연상하자
평면 k가 공간을 가를 때, 분할면이 최대로 생기는 경우는 안다
k - 1 개의 평면은, 평면 k에 선(직선)을 그릴 수 있는데, 최대 k - 1 개의 선을 그릴 수 있고,
평면 k 위에 그려진 그림을 생각하면
어떤 두 직선도 하나의 교점을 가지며, 어떤 세 직선도 한 점에서 만나지 않아야 한다
k-1C0 + k-1C1 + k-1C2
또, 어떤 두 직선도 겹치지 않아야 하며 (pal 상태 안됨) , 어떤 교점도 겹치지 않아야 한다
(어떤 세 직선도 한 점에서 만나지 않아야 함)
sem,pal,pung,sam 상태는 안되는 것이다
계산은 nC0 + ∑ (1 ≤ k ≤ n) k-1C0 + k-1C1 + k-1C2 을 구해도 되지만, 좀더 생각해 보면
( 앞시간에 평면 분할에서, 분할면이 점,선,면과 일대일로 대응됨을 생각하자 )
임의의 두 평면을 골라 교선을 만드는 것이고, 임의의 세 평면을 골라 교점을 만들며, 거기에
평면의 개수 n 개 + 원래 공간 1 개 를 더한 것이다
시그마를 계산하면, nC2 = ∑ (1 ≤ k ≤ n) k-1C1 = 최대수가 k가 되게, n개 중 2개를 고르는 경우의 수의 총합
nC3 = ∑ (1 ≤ k ≤ n) k-1C2 = 최대수가 k가 되게, n개 중 3개를 고르는 경우의 수의 총합
이므로, 시그마 계산도 가능하다
따라서, 가능한 최대값은 nC0 + nC1 + nC2 + nC3 임을 알 수 있다
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그런데, 과연 저런 상태를 항상 만들 수 있나?
n개의 평면 중, 어떠한 3개의 평면의 법선벡터의 종점들도, 단위구의 대원위에 있지 않아야 하며,
이것이 항상 가능함은, 처음 두 개의 법선벡터를 적절히(두 볍선벡터가 이루는 각이 0도,180도는 안되게) 잡으면, 이후로 법선벡터들을 하나씩 잡아 나갈때, 대원이 형성되는 경우는 유한개로, n개의 법선벡터를 충분히 잘 잡을 수 있어서이다 (또, 대원을 피하면, 어떤 두 법선벡터도 평행이 아니다)
이로써 임의의 두 평면은, 항상 교선이 존재하며(평행을 피했으므로), pal 상태를 피했으므로
교선이 겹치지 않는다 ... nC0 + nC1 + nC2 까지 문제 없음
이제 평면 k+1 의 법선벡터의 방향을 정했으니, ( 위에서 대원이 안되게 방향 설정 )
( 임의의 세 평면은 com상태로, 항상 하나의 교점을 가짐 )
평면1에서 평면k 까지에 의해 생긴, 유한개의 교점들을 지나게 않게, 평면 k+1 을 정하면 된다
이런식으로 차례로 n개의 평면을 정할 수 있다 ... nC3 부분이 해결됨
여기에서, 공간을 가르는 평면들의 순서는 답에 영향이 없다. 평면들의 순서를 정하는 것은 n! 가지인데, 최대 분할공간이 생긴 어떤 상황에서, 거꾸로 평면을 하나씩 임의로 제거해 나가도
모든 교(점),교(선), 평면에 전혀 중복이 없으므로, 답이 일정하게 된다
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이제 좀더 일반적인 상황을 살펴보자
우리의 목표는, 평(면)의 개수, 교(선)의 개수, 교(점)의 개수를 알고, 이들 점,선,면에 대한
세부 정보를 알때, 계산식을 통해, 분할 공간의 개수를 구하는 것이다
( 최대 개수는 위에서 했고, 일반적인 상태에서, 분할 공간의 개수를 구하는 것이다 )
이제 모든 상태를 생각하자
어떤 하나의 점 (또는 선, 또는 면)에 의해, 분할 공간이 y개 생긴다면, 이 점의 당량은 y라고 하자
< pal 상태의 배제 >
우리가 계산을 통해, 분할 공간의 개수를 구할 때는, 점 ( or 선, or 면 ) 의 당량이 일정해야 한다
이것이 상황마다 변한다면, 계산을 할 수가 없다
평면들이 순차적으로 하나하나씩 공간을 갈랐듯이, 거꾸로 임의의 순서로
평면들을 하나씩 제거해 보자
이런 과정에서, 각 점 ( or 선 or 면 ) 의 당량이, (평면들을 제거해가는 순서에 상관없이) 일정해야
우리가 계산을 통해, 분할공간의 수를 구할 수 있게 된다
하지만 pal 상태는 이것이 안된다 ... 상황마다 당량이 변한다
오직, 이 pal 상태만은 배제해야 한다
다음을 보자
이 그림은 평면 k에 그려진, 교점,교선의 그림의 일부이다.
평면 1,2,3은 pal 상태로, 공통 교선이 그림의 파란선 이다 (이 파란선은 평면 k와 한점 P에서만 만난다)
평면 1,2,3이 평면 k와 만나, (파란색 숫자 1,2,3 으로 표시한) 검정색 교선이 3개 생겼고,
P는, 이 3개의 검정색 교선의 교점이다
여기서 평면 k를 제거하면, 교점 P가 사라진다 ... P의 당량 = 2
하지만 평면 1을 제거하면, 교점 P는 남아 있다 ... P의 당량 = 1 + 2 이다
( 당량 계산은 앞시간의 평면 분할에서의, 교점 P의 계산식 m-1C1 이며,
전자의 당량 2는, 점P가 한개의 평면에 나타나니, 2C1 = 2 이고
후자의 당량 1 + 2 는, 두 개의 평면에 점P가 나타나니, 1C1 + 2C1 을 하면 된다 )
그러면, 당량이 일정하게 되게, 평면을 제거해가면 안되는가?
안된다. 그러면 다른 점이나 선에서, 당량이 변할 수 있으니까 마찬가지다
그리고 이 pal 상태는, 교선들도 겹치게 하므로, 매우 복잡해진다
단지 복잡해서 배제하는가?
아니다. 이 pal 상태가 있을 경우, 분할 공간의 수가 가변적일수 있어서이다
점,선,면의 모든 정보를 알아도, 그림의 상태에 따라, 분할 공간의 수가 달라질 수도 있지 않은가?
예로 동일 정보하에서, 어떤 그림 상태면 분할 공간의 수 = 50개 , 어떤 그림 상태면 52개
이럴 수 있다는 것이다
이 pal 상태가, 그런 의심이 드는 상태이다
그리고 우리가 생각해 볼 문제에는, 이 pal 상태가 없다
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pal 상태가 없으니, 문제가 쉬워진다
평면의 개수는 n개니까, 선과 점의 개수를 살피면 된다
1) 교(선) : 두 평면이 평행한 경우만 잘 살펴 계산해 주면 된다. 다른 변수는 없다
pal 상태가 없으므로, 교선끼리 겹치는 일은 없다. 따라서 임의의 한 교선은,
어떤 평면이 공간을 가를 때, 그 평면위에 한번만 나타나며, 다른 평면들이 공간을 가를 때는 나타나지 않는디. 따라서 선의 당량 = 1
2) 교(점) : 교점을 얘기할 때는, 기본적으로 3개이상의 평면이 필요하다
기본전략은 이렇다
임의의 3개의 평면을 고른다 ...
ㄱ) 이것이 sem, pung , sam 상태면 교점이 안 생긴다
이런 경우를 찾아서( 평면들의 법선벡터 3개의 종점이, 단위구의 대원위에 존재 ) 계산하면 되고
ㄴ) 이제 남는 것은 com 상태인데, 이 경우 무조건 세개의 평면이 하나의 교점을 가지지만
이 교점들이 겹칠 수 있다
그래서, m개의 평면이 한 교점 P를 지나는 경우 ... 이 교(점)의 당량을 알아 보자 ( m ≥ 3 )
( 이것은 m개의 평면들에 의한 com 상태로, 용어 정의는 앞시간의 맨끝 부분에 있다 )
평면 k+ c_1이 공간을 가를 때, 교점 P가 처음 생겨났다 ... 1 당량
평면 k + c_2 가 공간을 가를 때, 교점 P가 2번째 나타난다 ... 2 당량
평면 k + c_3 가 공간을 가를 때, 교점 P가 3번째 나타난다 ... 3 당량
...
평면 k + c_m-2 가 공간을 가를 때, 교점 P가 m - 2번째 나타난다 ... m - 2 당량
점 P의 당량 = 1 + 2 + ... + m - 2 = m-1C2 ###
또 거꾸로, 평면들을 임의의 순서로 순차적으로 하나씩 제거해도, 점 P의 당량은 일정함을 쉽게 알 수 있다
( 아래 그림은, 3개의 평면 k + c_1 , k+ c_2 , k + c_3 위에 그려진 그림이다 )
여기서 포인트는, 순차적으로 평면들이 공간을 가를때
점 P가 m - 2 개의 평면위에 나타난다는 것이고, 이것의 당량을 각각 구해 (이전 시간에 했음)
모두 더하면 된다는 것이다
1C1 + 2C1 + 3C1 + ... + m-2C1 = m-1C2 ###
이제 모든 경우를 살펴 보았는데, 임의의 순서로 평면들을 하나씩 제거해도,
각각의 점,선,면들의 당량은 변하지 않음을 알 수 있다
그래서, 모든 상황에서 각각의 점,선,면들의 당량이 일정하므로, 점,선,면에 관한 세부 정보만 알 수 있다면, 계산에 의해 분할 공간의 개수를 구할 수 있다 ( pal 상태만 없으면 계산 가능 )
교점의 당량 : m-1C2 , 교선의 당량 : 1 , 평면의 당량 : 1
교선의 경우, 평행한 면들이 있나 살피면 되고
교점의 경우, 세 평면의 법선벡터의 종점들이, 단위구의 대원위에 있는지 여부를 따져야 한다
이는 sem,pal,pung,sam 상태를 가려내기 위함이다
그리고, m개의 평면이 한 교점에서 만나는 com 상태를 조사해야 한다
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문제) 정20면체의 각면을 무한 평면으로 연장시, 생기는 분할 공간의 개수는 ?
정 20면체는 정12면체와 쌍대 정다면체로, 정20면체의 각면의 중심 ( 20개의 점 ) 을 연결하면
정12면체가 생긴다. 우리는 이렇게 생긴, 정12면체를 관찰할 것이다
정20면체의 중심과 면의 중심을 연결한 선분의 길이
= 정20면체의 내접구의 반지름 = 정12면체의 중심과 꼭지점을 연결한 선분의 길이 이다
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%8C%8D%EB%8C%80%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4
이 내접구 위에는 20개의 점이 균등 분포하며
이 내접구면 위의 20개의 점은, 정20면체의 각각의 면의 중심 20개이고,
이는 정12면체의 꼭지점 20개가 된다
정20면체의 내접구 = 정12면체의 외접구
우리는 정12면체의 꼭지점 20개를 관찰해서, 정20면체의 20개의 면에 대한 정보를 얻고자 한다
정12면체의 외접구 위의 20개의 각 꼭지점에서의 접평면이, 바로 정20면체의 20개의 면이 된다 @
다시말해, 구면위에 20개의 점이 균등분포하는데, 각 점에서의 접평면이 바로 정20면체의 20개의 면이 된다
이 20개의 점을 선분으로 연결하면, 정12면체가 되니, 정12면체의 꼭지점들을 잘 보면 된다