돔&폴매쓰 이야기
-조노돔의 이해
1. 조노돔이란?
조노돔은(Zonodome)이란? ZONODOME은 기하학 용어 ZONOHEDRA와 건축용어 돔(DOME)의 합성어이다.
1). 조노돔 활용분야
조노돔 시스템으로 다양한 형태를 만들어 가며, 조노돔 시스템 부품 사이에 내재되어 있는 관계를 이용하여 다양한 개념을 쉽게 가르칠 수 있다. 조노돔 시스템으로 수학만을 학습할 수도 있고, 첨단 공학이나 미술, 또는 자연과학과 관련된 구조/ 기하학적 형상을 탐구하기위한 도구로도 사용 할 수 있다.
이러한 예를 들어보면 다음과 같다.
(1). 미술/건축: 비율과 축척, 균형, 투시도, 모자이크 및 건축설계
(2). 생물학: 과일과 꽃의 대칭성, 피보나치 수열, 세포의 구조, 벌집, DNA구조
꽃의 대칭성 찾기 , DNA구조
버키볼
(4). 도시행정: 도시계획, 자원의 분배
입체지도 제작중인 아이들
(5). 사회미술 /디자인
무늬 디자인의 예
(6). 지질학: 광물 결정
(7). 수학: 기하, 연산, 수열, 대수, 삼각법, 대칭, 예산 수립
준정다면체
(8). 물리학/공학; 투시도 , 건축구조, 중력, 표면장력 , 應力
버블의 표면장력
2). 조노돔 시스템 구성
(1). 연결체(총 62개의 구멍-피보나치수열규칙에 의해 구성)
사각형구멍 30개-파란색 연결봉,
삼각형 구멍 20개- 노란색 연결봉,
오각형 구멍 12개 - 빨간색 및 녹색, 청록색 연결봉
(2). 연결봉 (5가지색으로 황금비율에 의해 각각 3가지 길이로 구성)
파란색-연결체 사각형구멍
노란색-연결체 삼각형구멍
빨간색(녹색, 청록색)-연결체 오각형구멍
미국 Zometool, loc.에서 개발된 조노돔 시스템은 작은 구 모양의 연결체와 막대 모양의 연결봉으로 이루어져 있다. 연결봉을 연결체에 끼우며 2차원 및 3차원 모델 등, 다양한 형체를 직접 만들며 이론과 원리를 실체적으로 확인해 볼 수 있도록 고안되었다.
조노돔 시스템의 부품은 단순해 보이지만, 그 구성 원리와 형태는 자연의 성장원리와 같은 개념으로 황금비율과 피보나치수열에 따라 설계되었다.
2. 조노돔을 탄생시킨 피보나치수열과 황금비율에 대하여
1). 피보나치수열
이 수열은 12세기 말 이탈리아 천재 수학자 레오나르도 피보나치가 제안했다. 한 쌍의 토끼가 계속 새끼를 낳을 경우 몇 마리로 불어나는가를 숫자로 나타낸 것이 이 수열이다. 이 숫자는 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…가 된다. 모든 숫자가 앞선 두 숫자의 합이라는 것을 알 수 있다.
첫달 1쌍이 한달간 자라고 둘째달에 1쌍의 토끼를 낳아서 2쌍이 되고, 셋째달에는 다시 어미 한쌍이 새끼 한쌍을 낳고 2개월 말에 태어난 한쌍은 자라는 기간이다. 그래서 3쌍이 되고, 넷째달에는 셋째달의 3쌍중에서 2쌍이 각각 한쌍의 새끼를 낳아서 4쌍과 한달간 자라야 하는 새끼한쌍까지 포함하여 5쌍이 된다. 5개월째는 5쌍 중에서 어미가 된 3쌍만 각각 한쌍씩 새끼를 낳고 그러면 새끼를 낳은 3쌍+자라나야 하는 2쌍+새로 태어난 3쌍= 8쌍, 즉 8쌍이 되고 6개월째는 8쌍중에서 5쌍이 한쌍씩 낳아서 10쌍과 자라나야 하는 3쌍이 있어서 13쌍이 된다. 이런식으로 새로 태어난 새끼 한쌍은 한달간 자라야 하는 기간이 있고 그 다음달부터 새끼를 낳을 수 있다. 이런식으로 새끼를 낳으면 7개월째 21쌍, 8개월째 34쌍, 9개월째 55쌍, 10개월째 89쌍, 11개월째 144쌍, 12개월째 233쌍이 된다.
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첫달 |
2개월 |
3개월 |
4개월 |
5개월 |
6개월 |
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토끼 한쌍 A |
A한쌍과 A가 낳은 한쌍 B |
-A한쌍 -B한쌍 -A가 낳은 한쌍 C
*. B쌍은 한달 자라는 기간 |
-A한쌍 -B한쌍 -C한쌍 -A가 낳은 한쌍 D -B가 낳은 한쌍 E
*. C쌍은 한달 자라는 기간 |
-A한쌍 -B한쌍 -C한쌍 -D한쌍 -E한쌍 -A가 낳은 한쌍 F -B가 낳은 한쌍 G -C가 낳은 한쌍 H
*. D,E쌍은 한달 자라는 기간 |
-A한쌍 -B한쌍 -C한쌍 -D한쌍 -E한쌍 -F한쌍 -G한쌍 -H한쌍 -A가 낳은 한쌍 I -B가 낳은 한쌍 J -C가 낳은 한쌍 K -D가 낳은 한쌍 L -E가 낳은 한쌍 M
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A,B 2쌍 |
A,B,C 3쌍 |
A,B,C,D,E 5쌍 |
A,B,C,D,E,F,G,H 8쌍 |
A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M 13쌍 |
2). 피보나치수열과 황금비의 관계
황금비의 황금 분할이란 어떤 길이의 선분을 짧은 선분과 긴 선분 2개로 나눌 때, 짧은 선분의 길이 대 긴 선분의 길이의 비가 긴 선분의 길이 대 전체 선분의 길이의 비와 같도록 나누는 것이다. 보통 1 : 1.618로 일컬어지는데 이것은 3:5이다. 이 황금비는 피보나치수열에서 뒤에 수를 앞에 수로 나누어 보면 1.618에 수렴하는 값을 갖는다.
3?2= , 5?3= , 8?5= ,13?8= ,.................
황금비는 피라미드, 파르테논신전이나 다빈치, 미켈란젤로의 작품에서 시작해 오늘날에는 신용카드와 담배각의 가로 세로 비율까지 광범위하게 쓰인다. 그러나 인간만 황금비를 아름답게 느끼는 것은 아니다.
황금비는 태풍과 은하수의 형태, 초식동물의 뿔, 바다의 파도에도 있다. 배꼽을 기준으로 한 사람의 상체와 하체, 목을 기준으로 머리와 상체의 비율도 황금비이다. 이런 사례를 찾다보면 우주가 피보나치수열의 규칙으로 만들어졌는지도 모른다는 생각까지 든다.
2
3
다. 이 그림은 피보나치수열의 비율로 이루
어져 있다. 가장 작은 정사각형의 한변의
길이가 1, 다음 정사각형 한변의 길이가 2
다음 정사각형 한변의 길이가 3. 5, 8로 커
진다. 가장 큰 직사각형의 가로세로 비율이
13:8이며 다음으로 큰 직사각형 비율이
8:5, 그 다음이 5:3의 비율로 황금비율에 수렴하는 값을 가진다.
1
1
이 직사각형 속에 자연의 현상을 그려 넣으며 신비하게도 황금비율이 이루어진다.
8
5
가운데 태풍의 눈을 위 직사각형의 1,1 정사각형과 맞추어 보면 된다.
?. 앵무조개의 경우
3). 피보나치수열과 피아노 건반
피아노 건반은 흰색건반 8개와 검은색 건반5개로 기본13옥타브로 구성돼 있습니다. 또한 검은색 건반은 2개, 3개가 각각 나란히 붙어 있어 2, 3, 5, 8, 13 등 피보나치수열을 이루고 있음을 알 수 있다.
4). 피보나수열과 식물
?. 나무 가지
나무가 자라면서 나뭇가지의 수가 피보나치수열에 맞게 자란다.
?. 꽃잎 수
붓꽃 3장 무궁화 5장 코스모스 8장
이 밖에 장미 21장, 데이지 34장, 철쭉 1장, 백합 3장, 델피늄 5장, 아네모네 8장
키베라 55장, 다알리아 89장
꽃잎 수가 피보나치수열에 따르면 햇빛을 가장 장 받을 수 있으며 최소 공간 속에 최대의 잎이나 꽃잎이 존재해야 하기 때문에 피보나치수열을 따르게 된다.
3. 조노돔을 해야 하는 이유
1). 조노돔 학습의 필요성
7차 교육과정의 핵심이 자발적인 참여 학습이라면 8차 교육과정의 핵심은 주도적인 역할학습이다.
자발적인 참여에서 이제는 좀 더 전략적으로 주도적인 역할을 해나는 아이를 교육하겠다는 의미이다.
이 말은 아이가 스스로 주도적으로 학습을 해나가야 한다는 의미이고.
주도적으로 학습을 하기위해서는
-. 남들과 다른 특별한 이해력과
-. 전략을 세우고 실천하는 능력이 필요할 것이다.
조노돔 학습을 해보면 알게 되겠지만 조노돔 학습은 어떤 현상의 사실이나 자연의 이치를 스스로 찾아서 그 의미를 세워나가는 학습형태로 이루어져있다.
예를 들어 직육면체라고 하는 현상의 사실은 12개의 모서리와 8개의 꼭짓점과 6개의 면으로 둘러 쌓여있는 입체도형이라고 것이다. 이러한 사실은 누군가 직육면체를 만들어보았으므로 가능한 사실이 된 것이다.
즉. 아이들은 직육면체를 만들어봄으로써 이러한 사실들을 발견하게 된다.
물론 처음 조노돔을 접하는 아이들은 이러한 사실들을 알지 못한 상태에서 직육면체를 실제로 만들어본다. 그러니까 만들어진 직육면체에 대해서 설명을 듣고 나서 사실들을 암기하고 이해하는 것이 아니고 직접 만들어가면서 직육면체는 이러한 성질들을 가지고 있구나하고 느끼는 것이다.
조노돔 학습에서 가장 중요한 것은 교수자(교사)의 학습법에 있다. 교사는 충분한 질문화법으로 아이가 스스로 어떤 현상과 느낌을 표현하게 하고 그 표현들을 정리해서 하나의 사실을 스스로 만들어가게 한다.
즉, 아이들은 우리(이미 학습을 통해서 알고 있는 사람들)가 알고 있는 자연현상의 사실들을 스스로 발견하게 되는 것이다.
2). 기존의 교구수학과 조노돔의 다른점
조노돔의 여러 가지 활용분야에는 수학학습이라는 영역이 있다. 그 수학을 전문적으로 하는 것이 교구수학의 역할이고 교구수학에서 느끼지 못하는 좀더 원초적인 원리수학학습을 도와주는 것이 조노돔 학습이다.
사실 여기서 말하는 수학학습은 조노돔 프로그램의 작은 한부분이고
조노돔은 미술과 건축, 기하학, 물리학, 생물학, 지질학, 디자인예술 등에 더 비중을 두고 있다.
여기서 원리수학이라는 것은 예를 들어 도형을 보면
기존의 교구수학은 만들어진 도형을 가지고 그 특징을 찾아서 학습하는 형태이고, 조노돔은 도형 자체를 만들어봄으로써 선분, 각도, 꼭지점, 선대칭, 회전대칭 등 도형의 원리를 스스로 깨우치는 형태이다.
기존의 교구수학보다는 조노돔 학습이 원리수학을 하는데 더 큰 도움이 된다.
기하학 입체 구성의 ex:
불타는 태양(뒤틀린 12각형 입체구성) 정십이면체 속에 정이십면체
성게별
부풀려 깍은 육팔면체 깍은 정 이십면체
성게별 어린왕자 별(뒤틀린 십각형 12면체) M-note