합성함수의 미분법

[조충연]

안녕하신가요? ㅎ 오늘도 미분 skill 이 여전히 소개됩니다. 오늘은 합성함수의 미분법이라고 하는 흔히 연쇄법칙[Chain Rule] 에 대해 알아보도록 합시다. Chain 이라는 것을 사전에서 찾아보면, 일련의 띠가 이어진 것을 이야기 하는데요.

 

▲ (왼쪽) 사슬체인  , (가운데) 자전거 체인 , (오른쪽) 치킨 체인점

 사슬체인이나 자전거에 있는 체인도 비슷한 게 주루루룩 연달아 붙어 있고, 앞에 있는 체인은 뒤에 있는 체인과 유기적으로 연결되어 있습니다.

좀 억지일수도 있겠지만, 식욕을 돋구는 맛있는 칙힌 체인점도 브랜드별마다 곳곳에 있죠, ㅁㅁ치킨 체인점이 전국 곳곳에 유기적으로 분포되어 있죠. 본사가 있고, 장사를 하시겠다는 분이 계약을 맺어 전국에 줄줄줄이 똑같은 가게들이 분포되어져 있는 것 그것이 체인점(연쇄점)의 개념이 됩니다.

 그러니까, 여기서 말하겠다는 연쇄법칙은 바로, 이러한 체인의 형태와 비슷하게 설명될 수 있기 때문에, 합성함수 미분법을 갖다가 연쇄법칙이라고 부르게 되는 것입니다. 자, 이제 합성함수의 미분법을 이야기 해보도록 할게요.^^

역시 먼저 간단하게 이야기합니다.

<합성함수의 미분>

미분 가능한 함수 f(x), g(x) 에 대해 u=f(x), y=g(u) 라고 하면, y=(gof)(x)=g(f(x)) 에 대해서,

이것을 Chain-Rule 이라고 하는 이유는, 각 항에 dy와 dx를 미분할 때 du 라고 하는 항이, 한쪽은 분모로, 한쪽은 분자로 이렇게 사슬 고리처럼 이어져 있기 때문입니다.  합성함수식이 만약 4개라면 실제로 이런 식이 성립합니다. u=t(x), w=g(u), z=h(w), y=f(z) 라고 한다면, y= f(h(g(t(x)))) 이렇게 4개가 되며, 이를 미분하는 방법은

가 됩니다. z, w, u 가 분모에서 분자로 연쇄적으로 계속 걸리고 있으니, 마치 그 모양이 체인과 사슬을 닮아 있다는 것에서, 붙여진 것이죠.

합성함수의 미분법 증명)

먼저 우리가 증명하려고자 하는 것은 체인이 1개인 것 다시 말해 y=g(f(x)) 의 형태입니다.

이걸 증명해봅니다.

 먼저, 함수를 하나 보여드리겠습니다.

실제 gof 를 합성하면 저렇게 될까요..?  믿거나 말거나요[아무 검증 없이 '대충' 그렸으니까요..]

우리가 미분하고픈 건, x 와 g(f(x)) 로 이루어진 함수, 다시 말해 입니다.

이걸 도함수의 기호로 하나 표현해본다면,

를 구해야 한다는 겁니다. 그런데, 우리가 '도함수의 정의' 라는 것을 잘 생각해보면, 이것에 적절한 변형이 필요하다는 것을 알 수 있습니다. 왜냐면...

보통 도함수라는 것을 정의할 때 분자가  f ( △ ) - f ( ○ ) 라면 분모도 분명 △ -  ○ 꼴이어야 합니다. 왜냐하면 도함수 자체가 평균변화율의 극한을 정의한 것이기 때문입니다.

<복씁 - 순간변화율>

 

 이란 것도 그러니까 f 속에 있는 g(x+h), g(x) 가 분모 아래에 g(x+h) - g(x) 형태로 있어야지만 고것이 바로 도함수로 올바르게 표현될 수 있는 것이죠. 우리는 g(x+h) - g(x) 를 하나 뻔뻔하게 써줍시다. (뻔뻔함의 목적은 있습니다. 도함수 꼴을 만들기 위해,^^)

그러나 당연히 이렇게 쓰면 앞에 식과 뒤에 식이 같질 않죠...-_-;

이렇게 g(x+h)-g(x)로 양변을 나눴다면 원래식과 똑같게 하기 위해선 당연히 g(x+h)-g(x)를 곱해야 합니다. 전체적으로 똑같은 수를 나누고 곱한 거니까, 윗식과 달라질 건 없죠..

그럼 분자 분모 모두 , 도함수의 정의와 비슷하게 잘 접근한 것처럼 보입니다.

 그러면, 이제 극한값의 성질을 이용 , 극한값을 잘 클러서 도함수 꼬라지 모양으로 다시 정리해야 하는데, 문제가 생겼습니다!

요건 마치 '다 된 죽에 코 흘리기' 같이 무지 짜증나는 상황일 수도 있는데요.

 주어진 극한 식에서 {g(x+h)-g(x)}/{(x+h)-x} 요 부분은 괜찮습니다. h→0  일 때 {g(x+h)-g(x)}/{(x+h)-x} → g`(x) 라는 걸로 잘 정의되니까요.. [도함수의 정의에 의해...]

문제는 h → 0 으로 갈 때,

이 부분이거든요... 원래 도함수의 정의라면 g(x+h) → g(x) 여야 하지 않겠어요...???? 

그런데, 이 부분은 역시 잘 생각해보면 맞는 이야기입니다.  다시 말해  h → 0 으로 다가가게 된다면 자동으로 g(x+h) → g(x) 로 갈 수 밖에 없다는 것이죠.

또 더 자세히 말하면,  란 소리입니다. 극한값이지만 h=0을 그대로 집어넣은 g(x)라고 하는 함숫값이 곧 극한값이 되는 경우가 가능한 이유는!  바로 아래에 정리에 의해서죠^^

 

그러니까, h → 0 으로 다가가는 상황은 g(x+h) → g(x) 로 다가가는 상황과 별반과 다를게 없다는 겁니다

여기서, g(x+h) → g(x) 라는 과정은 g(x+h) 가 g(x)로 다가가긴 하지만, 실제 그 값에 도달하진 않습니다. 수렴개념이죠. 따라서 g(x+h)-g(x)≠0 입니다.

따라서, 분모에 0을 나눈 거 아닙니까? 란 찜찜한 고민은 안하셔도 됩니다. 0에 가까워지고 있지만(지금도!) , 실제 0은 아닌 값이라는 거죠.

자, 이제 주어진 극한을 갖다가 도함수값 존재, (왜냐하면 f, g함수는 미분 가능한 함수라 했으므로) 하니까 lim를 클러서(극한의 연산성질), 자알 정리해 줄 수 있습니다~

물론,

 

도 잘 성립하죠.. 단지 도함수의 표현을 d 라고 하는 서로 다른 단위로 표현하니까요..!

예제)

 실은 계산 중심의 테크닉, 그러니까 빨리 계산을 하고 싶다면, 위와 같은 유도는 불필요할지도 모르겄습니다.

그러나 수학이란 과목은 철저히 각 과정에 대해 왜?를 묻는 과목이지, 계산을 빨리하기 위한게 아니란걸 알아두세요..~.. 컴퓨터의 발달도 어려운 미분이나 (혹은 적분)은 1초도 안돼 해결해줍니다.  그러나, 합성함수의 미분을 하는 방법은 연습해 둘 필요가 있습니다. ^^

 교과서나 책에 수많은 연습문제들이 있으니 잘 연습해 보세요!

ex) y=(2x+3)⁴라고 할 때 dy/dx = ?  

 t = 2x+3 이라 하고, y=t⁴ 라고 합시다.

 그럼, dy/dx = dy/dt * dt/dx = 4t³ * 2 = 8t³ = 8(2x+3)³ 이 됩니다.

Q.합성함수의 미분법에서 dy/dx=dy/du* du/dx 로 쓸 때 du는 서로 약분할 수 있으니까 똑같은 거 아닌가요?

 지난번에도 언급했었지만 dy/dx, dy/du 는 '분수' 로 보면 절대 안되고, y에 대해 x를 미분하는, y에 대해 u를 미분하는

'도함수를 구한다, 미분해준다' 의 기호로 이해하셔야 합니다. 따라서 약분한다.. 이런 생각은 버리시구요, 물론 그렇게 약분되는 것 '처럼' 보일 순 있겠죠^^

물론 dy, dx들을 '비(ratio)' 로 해석해 분수처럼 다룰 수 있기도 한데, 그것은 대학교에서 미분(differential)이란 개념을 배워야만 이해할 수 있는 것이며, 우리가 지금 하고 있는 미분계수나 도함수(y에 대해 x를 미분한다, 미분을 해주다) 를 구하는 것 과 미분(differential)은 엄연히 다른 개념 입니다.

 지수가 '음수와 양수' 까지 확장되었었던 미분테크를 지수가 '유리수' 까지 확장했을 경우에도 성립되게 할 수 있는 것은 바로 Chain Rule 의 또다른 매력입니다. 그러니까 n이 유리수 n= p/q  (p,q 는 서로소인 두 정수 , 단 q≠0 ) 꼴로 표현된다고 한다면 자연수를 다루는 것처럼 미분이 가능하다는 겁니다!

일단, 우리는 지수가 유리수일 때의 미분계수를 정의할 때 조심할 건, 유리수까지 지수가 넘어갈 경우엔, 밑이 '양수' 인 경우에만 잘 정의되어 있다는 점입니다.  ( http://blog.naver.com/at3650/40065051465 참조 )

 우리는 다음과 같이, x가 양수일 때, 지수법칙을 이용해 아래처럼 식을 잘 조작할 수가 있답니다.

이렇게 보면, 로 치환하여, 합성함수의 미분법 공식(Chain Rule ) 을 적용할 수 있습니다.

dy/dx 는 원래 x^p 란 함수였고, p가 정수단위인데 미분할 때, 수의 범위를 자연수를 넘어 정수까지 잘 확장을 했기 왔기 때문에, dy/dx 라는 값을 구할 수 있고, y=t^q 의 경우도 마찬가지입니다. 문제가 되는 유리수 지수가 있는 dt/dx 항에 대해, 우리는 잘 정리하면 됩니다.

dt/dx 란 식에 대해 정리하는데요... t=x^(p/q) 라는 사실을 이용해, 다시 한번 깔끔하게 정리해 주는데요.

여기서 p/q 는 유리수이고 이것을 결국 r 로 두면 , 결국 유리수일 경우에도 자연수, 정수처럼 미분하는 법칙이 딱딱 드러맞음을 알 수 있습니다.

 

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