제3장 연역논증과 귀납논증
Ⅰ. 연역논증
연역논증은 “전제들로부터 필연적으로 결론이 따라 나오는 논증”, 바꾸어 말하면 “전제들이 모두 참이라면 결론이 반드시 참이 되는 논증”이다.
모든 사람은 고민이 있다.
철수는 사람이다.
그러므로 철수는 고민이 있다.
위의 논증에서 “모든 사람은 고민이 있다”라는 명제와 “철수는 사람이다”라는 명제가 참이라면 결론으로 나오는 “철수는 고민이 있다”라는 명제는 반드시 참이 된다. 여기서 우리는 연역논증의 특성을 다음과 같이 정리해 볼 수 있다.
① 전제들이 결론을 결정적으로 지지해 준다.
② 전제들 속에 이미 결론이 포함되어 있다.
이러한 속성에 근거해서 연역논증을 평가해 보면, 연역논증이 지니고 있는 장점은 그것으로부터 도출되는 결론이 반드시 참임을 보장해 준다는 것이다. 다른 한편으로 단점은, 이미 전제들 속에 결론이 포함되어 있기 때문에 새로운 지식을 확장해 주지는 못한다는 것이다. 연역논증의 효용성은 새로운 지식을 전달해 주지는 못하지만, 전제들 속에 묵시적으로 들어가 있는 내용을 하나의 결론으로서 명시적으로 드러내 준다는 데 있는 것이다.
1. 연역 논증의 종류
논리학의 기준에서 볼 때 연역논증의 종류는 상당히 많다. 그러나 여기서는 언어추론의 성격에 맞는, 일상 언어에서 가장 접하기 쉬운 4가지 논증에 대해서만 논의하도록 하겠다. 그것은 정언삼단논법, 가언삼단논법, 선언삼단논법 그리고 양도논법이다.
(1) 정언삼단논법
정언삼단논법은 연역논증에서 가장 전형적인 논증의 형식이다. 이 말의 의미는 “정언”과 “삼단논법”으로 분리해서 생각해 볼 수 있다. 정언명제(categorical proposition)는 "어떤 대상이나 사태에 대해서 단언적으로 말하는 명제“다. 쉽게 풀면 주어-술어 관계로 구성되어 있는 서술형 명제 정도로 이해하면 될 것이다. 이 정언명제는 다시 주어의 속성에 따라 단칭, 특칭, 전칭으로 구분되고, 술어의 속성에 따라 긍정 혹은 부정으로 구분된다.
|
|
긍정 |
부정 |
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단칭 |
철수는 학생이다. |
철수는 학생이 아니다. |
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특칭 |
어떤 사람은 학생이다. |
어떤 사람은 학생이 아니다. |
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전칭 |
모든 사람은 학생이다. |
모든 사람은 학생이 아니다. |
정언명제에서 한 가지 짚고 넘어가야 할 사실은, 이 정언명제는 여타의 복합명제를 구성하는 기초가 된다는 점이다. 정언명제로부터 구성될 수 있는 복합명제에는 두 개의 명제가 “그리고”로 연결되는 연언명제, “또는”으로 연결되는 선언명제, 그리고 “만일~이면~다”와 같은 형식으로 구성되는 가언명제(조건명제)가 있다. 삼단논법은 총 세 개의 명제, 두 개의 전제와 한 개의 결론으로 구성된다. 두 개의 전제는 각각 대전제와 소전제로 구성되어 있다.
대전제 : 인간은 모두 죽는다.
소전제 : 소크라테스는 인간이다.
결 론 : 그러므로 소크라테스는 죽는다.
(2) 가언삼단논법
가언삼단논법은 삼단논법이지만 전제가 가언명제(假言命題, hypothetical proposition)로 이루어진 삼단논법이다. 가언명제라는 것은 다른 말로 조건명제라고도 부르는 것으로서 “만일 A이면 B이다”와 같은 형식을 취하고 있다. 여기서 A와 B는 앞에서 살펴 본 정언명제가 된다. 이 경우 A를 전건前件, B를 후건後件이라고 한다.
만일 A이면 B이다. - 비가 오면 꽃에 물을 줄 필요가 없다.
만일 B이면 C이다. - 꽃에 물을 줄 필요가 없으면 어머니는 기쁠 것이다.
그러므로 만일 A이면 C이다. - 그러므로 비가 오면 어머니는 기쁠 것이다.
p → q ←역→ q → p
↑ ↑
↖↗
이 대우 이
↙↘
↓ ↓
~p→~q ←역→ ~q→~p
여기서 p를 앞에 있으니까 ‘전건前件’, q를 뒤에 있으니까 ‘후건後件’이라 부른다. 그리고 ~을 ‘부정’이라 부르고, ~이 붙지 않은 것은 ‘긍정’으로 말한다. 위의 도표를 풀어서 말하면 다음과 같다.
(1) 전건긍정: p이면 q이다. 그런데 p이다. 따라서 q이다.(T)
(2) 후건긍정: p이면 q이다. 그런데 q이다. 따라서 p이다.(F)
(3) 전건부정: p이면 q이다. 그런데 p가 아니다. 따라서 q가 아니다.(F)
(4) 후건부정: p이면 q이다. 그런데 q가 아니다. 따라서 p가 아니다.(T)
이 때, 후건긍정과 전건부정은 오류라고 한다. 즉 전건부정의 오류, 후건긍정의 오류가 되고, 전건긍정, 후건부정일 때 참이 된다. 즉 논리적으로 타당하다.
p → q p → q p → q p → q
p ~p q ~q
______ ______ ______ _______
q ~q p ~p
전건긍정(T) 전건부정(F) 후건긍정(F) 후건부정(T)
가언삼단논법과 유사한 혹은 그 안에 포함될 수 있는 논증의 형태로서 전건 긍정법과 후건부정접이 있다. 전건 긍정법은 다음과 같다.
만일 A이면 B이다. - 비가 오면 땅아 젖을 것이다.
A이다 - 비가 왔다.
그러므로 B일 것이다. - 그러므로 땅이 젖을 것이다.
이 논증은 가언명제의 속성상 전건이 참이면 후건이 반드시 참이라는 사실을 이용한 논증이다. 후건부정법은 다음과 같은 형식을 취한다. 이 논증은 가언명제의 속성상 후건을 부정하면 전건도 부정된다는 사실을 이용한 논증이다.
만일 A이면 B이다. -비가 오면 땅이 젖을 것이다.
B가 아니다. -땅이 젖지 않았다.
그러므로 A가 아니다. -그러므로 비가 오지 않았다.
(3) 선언적 삼단논법
‘A이거나 B다.’라는 말에는 A일 경우, 그리고 A와 B 둘 다 성립할 경우를 포함한다. 그래서 ‘A또는 B인데 A가 아니다.’라고 하면 반드시 B라는 말이 된다. 그래서 이 경우에는 반드시 나오기 때문에 논리적으로 타당하다. 이 경우 선언지 부정이라고 한다.
하지만 ‘A또는 B인데, 따라서 B가 아니다.’라고 한다면 A이면서 B인 경우에는 성립하지 않기 때문에 반드시 참이 된다고 말할 수 없다. 따라서 이 경우에는 논리적으로 타당하다고 말할 수 없다. 이 경우 선언지 긍정의 오류라고 한다.
A또는 B이다. - 일영이는 커피를 마시거나 케익을 먹었다.
그런데 A가 아니다. - 커피를 마시지 않았다고 한다.
따라서 B다. - 그렇다면 케익을 먹은 것이 분명하다.
(4) 양도논법
양도논법은 일상 언어에서 “딜레마”라고 표현되는 상황과 유사한 논증이다. 일상 언어에서 딜레마라고 하면 어떻게 해도 나쁜 결과에 빠질 수밖에 없는 상황을 말한다. 양도논법은 딜레마처럼 꼭 나쁜 결과에 빠지는 것은 아니지만 어떤 특정한 결과에 빠질 수밖에 없는 경우를 말한다. 즉 양도논법은 내용상의 좋고 나쁨과 관계없이 형식적으로 특정한 결과로만 귀결되는 논증의 형태를 의미하는 것이다.
비가 오면 염전을 하는 큰아들 때문에 어머니는 걱정이다.
비가 오지 않으면 우산공장을 하는 작은아들 때문에 어머니는 걱정이다.
비가 오거나 조지 않거나 이다.
그러므로 어머니는 항상 걱정을 할 수밖에 없다.
딜레마 논법은 얼핏 들으면 틀린 것 같다. 가령 “결혼을 하면 후회한다. 결혼을 하지 않으면 후회한다. 사람은 결혼을 하거나 하지 않거나 이다. 그러므로 무조건 후회하게 된다.”라고 하니 무언가 이상한 것 같지만 이 같은 형식의 논증은 참이다. 조건을 나타내는 두 개의 가언과 양자택일 상황의 선언으로 구성되어 있다.
(p⊃r)⋅(q⊃r) (p⊃q)⋅(p⊃r) (p⊃q)⋅(r⊃s) (p⊃q)⋅(r⊃s)
p∨q ~q∨~r p∨r ~q∨~s
_____________ _____________ _____________ ______________
r ~p q∨s ~p∨~s
단순구성 단순파괴 복잡구성 복잡파괴
양도논법에서 중요한 것은 양도논법의 형식보다도 양도논법에 의해 딜레마에 빠졌을 때 그로부터 어떻게 벗어날 수 있는가 하는 점이다.
첫째는 두 가지 조건명제 중에서 적어도 하나가 거짓임을 밝히는 방법이다. 위의 예에서 “비가 오지 않으면 우산 공장을 하는 작은 아들 때문에 어머니는 걱정이다”라는 조건명제가 옳지 않다는 것을 보임으로써 딜레마에서 벗어날 수 있다. 실제로 작은 아들이 우산만 만들지 않고 양산도 만든다면, 비가 오지 않아도 어머니는 걱정할 필요가 없는 것이다.
두 번째 방법은 세 번째에 나오는 선언명제가 거짓임을 밝히는 것이다. 위의 예에서는 “비가 오거나 비가 오지 않거나 이다”라는 명제가 거짓임을 밝히면 된다. 언뜻 보아서 이것이 거짓임을 밝히는 것은 쉽지 않아 보인다. 그러나 자세히 살펴보면 “비가 온다.”라는 명제는 그 자체로 참, 거짓을 담지하고 있는 명제가 아니다. 시간과 장소가 명기되어 있지 않기 때문이다. 그러므로 시간의 길이를 충분히 길게 잡으면 “어떤 때는 비가 오고 어떤 때는 비가 오지 않는” 새로운 가능성을 열 수 있다. 이렇게 되면 딜레마에서 벗어날 수 있는 것이다.
세 번째 방법은 반대 딜레마로 되받는 방법이다. 즉 제시된 원래의 양도논법의 잘못을 직접 지적하는 것이 아니라, 원래 양도논법이 결론에서 주장하였던 내용과 상반된 내용을 결론으로 가지면서 원래 양도논법과 똑같은 형태의 양도논법이 새로이 구성함으로써, 원래 양도논법의 결론만이 유일한 결론일 수 없음을 간접적으로 지적하는 방법이다. 위의 예를 가지고 반대 딜레마를 구성하면 다음과 같다.
(p⊃~r)⋅(q⊃~r)
p∨q
_____________
~r
비가 오면 우산 공장을 하는 작은아들 때문에 어머니는 기쁘다.
비가 오지 않으면 염전을 하는 큰아들 때문에 어머니는 기쁘다.
비가 오거나 비가 오지 않거나 이다.
그러므로 어머니는 항상 기쁘다.
2. 연역 논증에 대한 평가
평가하기는 주어진 논증이 과연 올바른 논증인가를 평가하는 것이다.
모든 동물은 외계인이다.
철수는 동물이다.
그러므로 철수는 외계인이다.
두 개의 전제로부터 결론이 필연적으로 도출되고 있다. 그런 의미에서 이 논증은 올바르다고 애기할 수 있다. 그러나 이것을 올바르다고 하기에는 무언가 미심쩍은 부분이 있다. 그 이유는 바로 근거로 제시된 명제 “모든 동물은 외계인이다”와 “철수는 동물이다”가 거짓일 가능성이 높기 때문이다. 따라서 결론을 보장하기 위해 제시된 근거들이 참이 아니라는 의미에서 볼 때 이 논증은 올바르지 않다.
(1) 타당성, 건전성, 진리성
타당성이란 어떤 논증의 전제들이 모두 참이라고 가정하면, 그 결론이 거짓일 수 없을 때 그 논증이 갖는 속성이다. 다시 말해서 어떤 논증의 전제들이 모두 참이라면 그 결론 또한 반드시 참인 형식적 구조를 갖추고 있을 때 그 논증을 타당한 논증이라고 한다. 이런 맥락에서 귀납논증은 그 정의상 결론이 항상 참임을 보장해주지 못하므로 타당한 논증이라 볼 수 없다. 오직 연역논증만이 타당성이라는 속성을 갖는다.
그러나 타당한 연역논증이라고 할지라도 결론이 항상 참임을 보장해 주는 것은 아니다. 그 이유는 앞의 예에서도 분명히 드러나 있듯이 전제들이 참이 아닐 경우 결론이 참이 될 수 없기 때문이다. 여기서 건전성이라는 개념이 필요하다. 어떤 연역논증이 타당하고 아울러 그 논증의 전제들이 실제로 참일 때, 그 연역논증을 건전하다고 말한다. 그러므로 건전한 연역논증의 결론은 항상 실제적인 참이 보장된다. 귀납논증이 건전하다는 것은 그 전제들이 참이고, 아울러 전제들이 그 결론에 대해서 충분한 근거의 역할을 한다는 것을 의미한다. 따라서 귀납논증이 건전하다는 것은 그 결론의 실제적 참이 보장되는 것은 아니지만 그 결론을 참으로 받아들임이 합리적이라는 것은 보장되는 것이다.
진리성은 논증에 대해서 평가내리는 기준이 아니고 명제 단위에서 평가내리는 기준이다. 즉 참인 명제 혹은 거짓인 명제는 유의미한 말이지만 참인 논증이나 거짓인 논증은 적절하지 않는 표현이다. “만일 모든 동물은 외계인이고 철수가 동물이라면, 철수는 외계인이다.”라는 조건명제로 표현했을 때 이것을 명제 단위의 평가기준을 적용한다면 ‘참인명제’라고 부를 수 있다. 보다 정확하게 표현한다면 ‘논리적으로 참’이라고 평가해야 맞다.
그렇다면 ‘참’과 ‘논리적으로 참’은 어떠한 차이가 있을까? 예를 들어 “김갑돌 씨는 총각이다”라는 명제는 그 진리성을 따지기 위하여 실제로 김갑돌 씨가 총각인지 아닌지를 현실
세계 속에서 따져보아야 한다. 반면에 “김갑돌 씨가 결혼하지 않았다면, 그는 총각이다”라는 명제에서는 실제로 김갑돌 씨가 어떠한 사람인가를 따져볼 필요가 없다. 논리적으로 이 명제를 분석함으로써 진리성을 판단할 수 있는 것이다. 이럴 경우 이 명제를 ‘논리적으로 참’이라고 할 수 있는 것이다. ‘논리적으로 참’인 명제는 실제 세계에서 어떤 정보도 주고 있지 않다.
1. 다음 연역 논증의 타당성과 건전성 여부를 판단하시오.1)
(1) 빨간색을 가진 모든 것은 세모꼴이다. 세모꼴은 세 개의 변을 갖는다. 그러므로 빨간색을 가진 모든 것은 세 개의 변을 갖는다.
(2) 춘분과 추분에는 낮과 밤의 길이가 같고, 동지에는 밤의 길이가 가장 길다. 그러므로 춘분에 낮과 밤의 길이가 같거나 동지에 밤의 길이가 가장 길다.
(3) 유리수는 정수이다. 정수는 자연수이다. 그러므로 유리수는 자연수이다.
(4) 모든 총각은 여자가 아니다. 어떤 여자는 기혼녀가 아니다. 그러므로 어떤 총각은 기혼년가 아니다.
(5) 모든 중국인은 아시아인이다. 그리고 베이징에 사는 사람은 중국인이다. 그러므로 베이징에 사는 사람은 모두 아시아인이다.
(6) 철수가 영희를 구하려고 하지 않는다면, 사려 깊거나 비겁한 것이다. 철수는 비겁하지 않다. 그러므로 철수는 영희를 구할 것이다.
2. 다음 <보기>의 논증과 평가결과가 가장 유사한 것은?2)
<보기> 모든 신은 죽는다. 니체는 신이다. 그러므로 니체는 죽는다.
① 모든 사람은 죽는다. 소크라테스는 사람이다. 그러므로 소크라테스는 죽는다.
② 우리나라 학생들은 모두 공부를 좋아한다. 그러니 학생인 너도 공부를 좋아함에 틀림없다.
③ 물은 지금까지 항상 위에서 아래로 흘렸다. 그러니 물은 항상 위에서 아래로 흐른다.
④ 지금까지 우리나라에서 축구경기는 대부분 흥행에 성공하였다. 그러므로 우리나라에서 있을 다음 번 축구경기도 흥행에 성공할 것이다.
⑤ 모든 과학자는 음악가이다. 모차르트는 과학자이다. 그러므로 모차르트는 음악가이다.
(2) 전건 부정의 오류, 후건긍정의 오류
앞서 가언삼단논법을 공부하는 자리에서 우리는 전건긍정법과 후건부정법이 올바른 추론임을 공부했다. 그러나 이를 뒤바꿔 놓은 전건부정과 후건긍정의 추론은 잘못된 추론이다.
만일 아인슈타인이 물리학자라면 그는 과학자이다.
아인슈타인은 물리학자가 아니다.
그러므로 그는 과학자가 아니다.
p → q
~p
___________
~q
전건부정(F)
전건부정의 오류를 범하고 있는 예다. 아인슈타인이 물리학자가 아니라고 해서(전건부정) 반드시 그가 과학자가 아닌 것은 아니다. 왜냐하면 그는 화학자나 생물학자일 수 있기 때문이다.
만일 아인슈타인이 물리학자라면 그는 과학자이다.
아인슈타인은 과학자이다.
그러므로 그는 물리학자이다.
p → q
q
______
p
후건긍정(F)
후건긍정의 오류를 범하고 있는 예다. 아인슈타인이 과학자라고 해서 그가 반드시 물리학자인 것은 아니다. 위의 예에서 설명한 것처럼 그는 화학자이거나 생물학자 등등일 수 있기 때문이다.
(3) 선언지 긍정의 오류
연역추론에서 또 한 가지 범하기 쉬운 오류는 바로 선언지 긍정의 오류이다. 선언명제는 “또는”을 통해 두 개의 단순명제가 결합된 명제이다. 이때 두 개의 단순명제를 바로 선언지라고 부른다.
A이거나 또는 B이다. - 호떡이 네모나거나 둥글다.
A가 아니다. - 호떡이 네모나지 않다.
따라서 B이다. - 따라서 호떡은 둥글다.
(p⊃q)⋅(p⊃r)
p→~q
_____________
p→r
이 논증은 선언명제 중에서 하나의 선언지가 부정되었을 경우에 다른 하나의 선언지가 결론으로 나온다는 논증의 형태를 띠고 있다. 타당한 논증이다.
A이거나 또는 B이다. - 지구가 둥글거나 또는 달이 둥글다.
A이다. - 지구가 둥글다.
따라서 B가 아니다. - 따라서 달은 둥글지 않다.
(p⊃r)⋅(q⊃r)
p→r
_____________
q→~r
이 논증은 위의 선언지제거법과 달리 선언지 중 하나를 긍정함으로써 다른 선언지를 부정하는 결론을 내놓는다. 그러나 두 개의 선언지가 모두 참인 경우(선언명제를 포괄적으로 이해했을 경우)에 결론은 참이 아니다. 위의 예에서 보면 지구가 둥글다는 것과 달리 둥글다는 것이 모두 참일 수 있기 때문에 위의 논증은 잘못된 것이다. 그러나 선언명제를 배타적으로 이해하면 선언긍정을 하더라도 올바른 추론일 수 있다.
A이거나 도는 B이다. - 흰둥이는 암컷이나 수컷이다.
A이다. - 흰둥이는 암컷이다.
따라서 B가 아니다. - 따라서 흰둥이는 수컷이 아니다.
(p⊃q)∧(p⊃r)
p→q
_____________
p→~r
이 경우에 제일 처음에 나오는 전제인 선언명제가 배타적인 의미를 갖고 있기 때문에, 즉 선언지가 동시에 참일 수 없기 때문에 결론이 참이 된다.
※ 다음 중 <보기>와 가장 유사한 잘못을 범하고 있는 논증은?3)
<보기> 만약 그 회사가 신약개발에 성공한다면, 그 회사의 주가는 상종가를 칠 것이다. 그 회사의 주가가 상종가를 쳤다. 그러므로 그 회사는 신약개발에 성공했을 것이다.
① 만약 집이 단열처리가 되어 있다면, 겨울에는 그다지 춥지 않을 것이다. 그러나 그 집은 겨울에 무척 춥다. 그러므로 그 집은 단열처리가 잘 되어 있지 않음이 분명하다.
② 만약 정수가 온다면 희영이도 오고, 태진이가 온다면 현정이도 올 것이다. 희영이나 현정이가 온다고 한다. 따라서 경수나 태진이도 올 것이다.
③ 비가 오면 기온이 내려 갈 것이다. 지금 비가 오지 않는다. 따라서 기온은 내려가지 않을 것이다.
④ 김형수가 공산주의자라면, 그는 무신론자이다. 김형수는 무신론자이다. 그러므로 그는 공산주의자임이 분명하다.
⑤ 그는 뉴욕지사 또는 파리지사에 발령이 나도록 되어 있었다. 그는 뉴욕지사로 발령이 났 다. 그러므로 그는 파리지사에 발령이 나지 않을 것이다.