cae 박군입니다.
먼저 아래 자료는 성균관대 기계공학과 홈페이지에서 옮겨왔습니다.
What is FEA?
유한요소해석 과정은 제품의 총 사용 기간에 걸친 제반 성능을 확인하기 위하여 부품 또는 조립품을 분석하는 한 방법이다.
우선 형상 모델을 만들고, 유한요소모델을 형상 모델과 연관하여 생성하고 사용 환경(경계조건, 하중조건)을 정의하여 구조물의 응답(변형, 응력, 온도 등)을 계산하여 이를 도시한다.
만일 계산된 응답이 - 일례로 응력이 - 허용 값이나 최대 설계 값 보다 큰 경우, 구조물은 적절한 설계가 될 때까지 재설계/재해석 된다.
이러한 재설계/재해석 과정은 최적화 기법 (structural optimization)에 의해 자동화 될 수 있다.
What are the limits of finite element analysis?
유한요소해석은 전통적으로 '분석자의 도구'로 사용되어 왔으나 사용상의 급격한 발전에 의해 설계 과정에서 중요한 위치를 차지하게 되었고, 오늘날은 컴퓨터상에서 실제 사용 환경을 시뮬레이션하는 데 이용되고 있다. 제품이 복잡해짐에 따라 실제 사용 환경의 영역은 점차 확장되고 있으나 컴퓨터를 이용하여 세련된 해석을 수행할 수 있는 가능성도 비례하여 증대하고 있다.
유한요소해석의 주요 목적은 주어진 환경 조건에 대하여 부품이나 조립품이 어떻게 반응하는지를 결정하는 것이다. 해석 결과는 성능을 검증하는 데 사용될 수 있고, 설계를 향상시키거나 최적화하는 데 이용될 수도 있다. 물론 이 모든 것은 설계하고자 하는 형상이 정확하게 모델링이 되고, 사용 환경이 적절하게 정의되고, 유한요소해석 프로그램이 계산을 정확하게 수행한다는 가정에 바탕을 둔 것이다.
유한요소해석의 결과를 이야기할 때 정밀도(accuracy)라는 용어를 자주 사용한다. 여기서 정밀도는 시스템이 실제 사용 환경에 대한 성능을 얼마나 잘 모델링 했는가의 정도를 의미하는 것이 아니며, 유한요소해석 프로그램이 특정한 해석을 수행한 결과에 대한 신뢰 정도를 의미한다. 부품이나 사용 환경을 모델링하는 과정의 에러와 프로그램 자체의 에러로 인하여 해석 결과 자체는 완전히 잘못된 것이라고 할 수도 있다. 해석 결과가 정확한 것인지의 여부를 어떻게 결정할 것인가는 엔지니어의 공학적인 판단 (engineering judgment)에 따라 행해진다.
How do I know the answer is right?
무엇보다도 먼저 실제 사용 환경을 정확히 모델링 하여야 한다. 그러나 이것은 말만큼 쉽지 않기 때문에 시험을 통하여 검증을 해야 하는 중요한 이유이다.
엔지니어의 모델링 능력과 유한요소해석 프로그램에 내재된 기술은 해석 시간, 비용, 정밀도에 영향을 준다. 현재의 유한요소해석 프로그램의 일반 사용자는 정확한 해석 결과를 얻기 위하여 유한요소 이론을 상세하게 이해하여야 할 필요는 없으나, 모든 유한요소와 요소분할 방법은 엔지니어 마다 항상 동일한 것은 아니며, 유한요소 방정식 구성의 질이 해석 시간, 비용, 해석 결과의 정밀도에 직접적으로 영향을 미친다는 것을 이해하면 된다.
정확하고 효율적인 유한요소의 설계와 표현은 유한요소해석 프로그램 개발자의 전문성을 필요로 하는 것이다.
What type of elements should I use?
유한요소해석 프로그램은 여러가지 형태의 유한요소를 제공하고 있으며, 각 유한요소는 서로 다른 실제 현상을 모델링하는 데 이용된다. 유한요소 형태의 선택은 정확한 구조 거동을 시뮬레이션하는 데 중요하다. Rod와 Beam 요소는 동일 직선상에 작용하는 힘을 표현하며, Beam은 굽힘 모우멘트를 전달하나 Rod는 전달하지 않는 특성이 있다. 이 요소들은 교량, 트러스, 해양구조물, 항공기의 종통부재, 판의 보강재를 모델링 하는데 사용된다.
Plate와 Shell요소는 면상에서 변하는 힘들을 모델링하는 데 사용된다.
이들 2차원/3차원 요소들은 membrane (in-plane)과 bending (out-of-plane) 거동을 수반하며, 자동차, 항공기, 우주선, 컴퓨터 케이스나 금속재 박판 형상을 모델링 하는데 사용된다.
Solid요소는 일반적인 3차원 응력 상태를 표현하며, 엔진 블럭, 크랭크축, 콘크리트 댐, 브라켓, 시험실의 치공구 등을 모델링 하는데 사용된다.
기존의 전통적인 유한요소법은 'h-elements' 방법에 기초하고 있는데, h-element는 부품의 형상을 다수의 작은 유한요소의 결합으로 표현한다. 부품 형상을 일련의 개별 유한요소로 분할하는 작업을 요소분할(meshing) 이라 한다.
요소분할에서 단순화는 해석의 효율성을 제고하는데 기여한다.
복잡한 형상에 대하여 정밀도가 높은 결과를 얻기 위해서는 형상을 잘 표현하고 응력구배(stress gradient)가 큰 부분을 모델링하기 위해 더 많은 유한요소로 분할하여야 하는데 이는 해석에 소요되는 시간과 필요한 디스크 용량을 증대시킨다.
해석 시간과 디스크 용량을 최소화 시키는 방법 중의 하나는 현재의 유한요소 모델이 원하는 정밀도를 얻기에 부적합하다고 판단되는 부분에 대해서만 유한요소를 추가하는 것이다.
이와 같이 원하는 정밀도를 얻기 위해 요소를 세분하는 과정을 adaptivity라 하며, h-elements에 대한 표준 방법이 되어왔다.
What's a p-element?
지난 수년간 새로운 형태의 유한요소로서 'p-element' 가 일반 유한요소해석 프로그램에 채택되어 왔다. P-element는 h-element와 달리 곡률이 있는 부분을 직접 모델링할 수 있고, 적은 수의 요소로 단순한 형태의mesh를 생성할 수 있다.
해석의 정밀도는 각 요소에 정의된 p-level (polynomial) order에 의해 조절되는데 p-level이 높을수록 정밀도는 높아진다. 실제로 하나의 h-element는 p=1인 p-element의 특별한 경우로 볼 수 있다. 해석에 소요되는 시간과 디스크 용량은 h-elements를 이용한 경우 요소 숫자가 증가함에 따라 같이 증가하며, p-elements의 경우는 p order가 증가함에 따라 증가한다.
P-element의 주요 응용 중의 하나는 모델 형상과 환경 조건을 매우 정밀하게 모델링 해야 하는 복잡한 응력장에 대한 해석이다. 이 경우는 날카로운 모서리 대신 필렛 형상으로, 집중하중과 구속조건 대신에 분포하중과 구속조건으로 모델링을 해야 하며, 모델이 상세할 수록 더욱 상세한 결과를 얻을 수 있다. P-elements를 이용한 해석에서의 adaptivity는 선택된 요소의 p-level을 증가시킴으로써 얻어지는데 이는 사용자가 수동적으로 할 수도 있고 프로그램에 의해 자동적으로 실행할 수 있으며, 해석 결과가 미리 설정된 수렴 조건에 도달할 때까지 반복적으로 실행되며 이 모든 과정은 mesh를 변경하지 않고 이루어 진다.
Which is better: 'h' or 'p'?
P-elements는 긍정적인 특징이 있음에도 불구하고, h-elements가 여러가지 측면에서 장점을 유지하고 있다. 또한 p-elements가 모든 해석에 대하여 h-element를 대체할 수 있다거나, p-elements는 유한요소가 아니라는 주장들이 있으나 아직 분명한 근거는 없다.
H-elements는 하중 해석(loads path analysis)과 같이 정확한 형상을 필요로 하지 않는 전체 거동 해석에 적합하며, beam-stiffened panel과 같이 응력 불일치가 생기는 문제와 비선형 문제에 대해서도 장점을 가지고 있다. 또한 h-elements는 주어진 문제를 해석하는 데 짧은 시간과 적은 디스크 용량을 필요로 하며, 오랜 기간에 걸쳐서 성능이 입증된 성숙된 기술이며, 유한요소 생성 및 전후처리 작업을 위한 다양한 프로그램들을 사용할 수 있다.
H-elements와 p-elements를 결합하여 함께 사용하면 일반적인 문제에 대한 해석에 장점이 된다. 하나의 모델을 구성하는데 h-elements와 p-elements를 결합하여 사용하는 기능은, 전체적인 응답을 얻기 위해 구조물의 대부분 영역에 대하여 h-elements로 coarse하게 모델링하고 중요 부위는 정밀도를 높이기 위해 p-elements로 모델링하는 것을 가능케 한다.
P-level이 증가함에 따라 해석 시간이 급격히 늘어나기 때문에, h-elements와 p-elements를 함께 사용하여 대형 문제를 적합한 모델로 구성하면, p-elements만을 이용할 경우 수반되는 과부하 (performance overhead) 없이 해석을 수행할 수 있다. 해석하고자 하는 모델에 대하여 detailed/gross 거동을 시뮬레이션 하는데 coarse mesh와 fine mesh를 이용할 것인가, 관심 영역에 선택적으로 p-elements를 이용할 것인가 하는 해석 전략을 global/local analysis라고 한다.
대부분의 일반적인 문제들은 global/local 형태를 함께 가지고 있어서 각각 h-elements와 p-element를 각각 적용하는 것이 타당하다. 따라서 h-elements와 p-elements를 결합하여 사용하는 접근 방법이 가장 좋으며, 이는 공학 문제를 해결하는 데 적은 모델링 비용과 해석 시간, 그리고 적은 디스크 용량으로 가능케 한다.
But we're ahead of ourselves. What role does geometry play?
유한요소해석 과정에서 첫번째 과정은 실제 해석 대상의 형상을 정확하게 모델링 하는 것이다. 이는 형상 모델이 정확하게 표현되지 않으면 해석 결과가 부정확함을 의미한다.
다행히 오늘날의 솔리드 모델링 프로그램들은 복잡한 설계와 조립을 개개의 유한요소를 생성하는 것과 비교하여 짧은 시간에 정확하게 모델링 할 수 있는 기능을 제공하여 준다. 때로는 모델링 작업을 빠르게 하기 위하여 2차원/3차원 와이어프레임 CAD 프로그램에서 작성한 설계 모델을 가져와서 작업하기도 한다. 대부분의 프로그램들은 자동적으로 유한요소 생성을 할 수 있는 automatic mesh generation 기능과 mapped meshing algorithms 을 제공하고 있다.
시간 절약과 더불어 설계의 정확한 수학적인 정의는 여러가지 장점들을 가지고 있다. 즉 해석 결과를 본래의 설계 프로그램으로 feedback함으로서 설계를 변경하여 성능을 향상시키고, 중량을 줄이거나 기타 설계 조건들을 충족시키는 것을 가능케 한다.
Once I have geometry, how do I know how many elements to use?
요소분할(meshing)은 부품 형상을 일련의 개별 유한요소로 분할하는 과정이다. 복잡한 형상을 표현하고 관심 영역 (응력구배가 큰 영역)에 대해서는 더 많은 수의 유한요소로 요소분할을 한다. 유한요소 모델의 적합성은 해석 결과의 수렴으로 정의된다.
'수렴'은 h-elements의 숫자가 증가할수록, p-elements의 p order가 커질수록, 해석 결과가 일정한 값으로 접근해 가는 것을 의미한다.
이론해가 알려진 간단한 문제에 대하여 해를 계산하여, 이 값을 수렴성을 측정하는 데 사용하기도 한다.
수렴은 구조물의 형상, 작용 하중의 분포, 사용된 요소 형태에 따라 비교적 적은 수 또는 많은 수의 요소로 이루어진 모델에 대해 얻어진다.
이와 유사하게 p-elements에 대해서의 수렴은 모델 특성에 따라 p level 이 적을 때 또는 많을 때 얻어진다.
How do I judge convergence?
Error estimator는 각 요소의 해석 결과의 정밀도를 검증한다. 간단히 표현하면 error estimator는 '모델과 하중이 정확하게 표현되어 있다는 가정하에, 해석 결과가 수렴했는가?' 라는 의문에 대한 답을 주는 것이다.
이 의문에 대한 기본적인 해법은 유한요소 밀도(mesh density)나 p-order를 증가시키면서 여러번 해석을 실행하고 그 결과를 바로 이전의 해석 결과와 비교하여 두 결과의 값이 동일 하다면 해석 결과가 수렴했다고 판단하는 것이다.
가장 진보한 error estimator는 두개의 해석 결과의 차이를 필요로 하지않고, 단지 한번의 해석을 통하여 수렴성을 검증하며, 기능이 좋은 유한요소해석 프로그램은 한번의 해석 과정을 통하여 해석 결과뿐 아니라 error estimation까지도 제공하여 준다.
Can you make it 'automatic'?
진보된 유한요소해석 프로그램은 해석 과정에 adaptivity 기능을 채택하고 있다. 여러가지 adaptivity 방법이 구현되어 오고 있지만 가장 발전된 연구는 element-by-element basis이다.
이는 error estimator를 이용하여 p-elements의 polynomial level 과 h-elements 의 숫자를 모든 방향에 대해 독립적으로 변화시킬 수 있으며, 모델 내의 각 영역에 대하여 서로 다른 error criteria를 사용할 수 있으며, 가장 관심 있는 영역에 대해서는 작은 값의 error tolerance를 설정할 수 있는 기능을 제공한다.
Automatic! I can't go wrong?
해석하고자 하는 제품과 그 사용 환경에 대하여 충분히 이해하고 있는 사람은 엔지니어이다. 정적인 자중과 동적인 사용 하중 등과 같이 구조물에는 복합적인 사용 환경이 작용하기 때문에 해석 프로그램은 복합 환경에 대해 적용이 가능해야 함은 중요한 사실이다. 뛰어난 기능의 유한요소해석 프로그램은 다음과 같은 해석 형태에 대한 기능을 제공하고 있다.
· Statics
· Normal modes
· Buckling
· Frequency response
· Transient response
· Heat transfer
· Random response
· Response spectrum
· Acoustics
복합적인 사용 환경에 대한 몇 가지 사례를 들어 보겠다.
컴퓨터의 PCB 기판의 경우 자중(static analysis), 충격 하중(transient response / response spectrum analysis), 열 발생(heat transfer plus thermal stress analysis)에 대하여 견딜 수 있어야 한다. 만일 컴퓨터를 헬리콥터에서 사용한다면 주기적인 진동 하중과 가속도 (frequency response analysis)에도 견디도록 설계되어야 하며, 사용 환경이 항공기 내부인 경우는 돌풍(wind gust) (random response analysis)에 대한 안정성도 추가적으로 평가되어야 한다.
자동차 엔진 블럭은 여러가지 형태의 진동(sinusoidal, impact, random) 과 열 발생 등과 같은 복합 사용 환경을 가지고 있다.
건물, 댐, 교량 등의 토목 구조물들은 자중(static analysis and buckling), 돌풍(random response analysis), 회전기계(frequency response analysis), 지진(response spectrum analysis or transient analysis) 등의 복합적인 환경에서 사용된다.
이러한 다양한 사용 환경들은 모든 하중과 더불어 제품 또는 구조물에 총 사용 기간 동안 작용한다.
단조, 절단, 용접, 기계 가공과 같이 비선형성을 가진 제조공정에서 기대하지 않은 하중이 발생되어 구조물에 응력을 발생하고 잔류 응력을 생성하여 사용 기간 동안 제품의 피로 수명에 영향을 주기도 한다. 또한 선적 과정에서도 예기치 않게 하중이 작용되기도 한다. 이러한 제조공정과 선적 과정에서 작용될 수 있는 하중들은 여타의 사용 하중보다 매우 큰 영향을 줄 수도 있다.
Reality: Full System Analysis
복합적인 사용 환경에 대해 앞에서 살펴본 모든 사례에서 구조물은 대형 시스템의 일부분에 대해 해석이 수행된다. 예를 들면, 컴퓨터 PCB 기판의 구조 거동은 기판이 컴퓨터 케이스에 접속되어 있는 형태 및 컴퓨터 케이스 자체의 강성(stiffness characteristics)에 따라 상당히 다르게 나타난다. 따라서 기판의 거동을 정확히 시뮬레이션 하기 위해서는 최소한 기판뿐만 아니라 여기에 접촉하고 있는 컴퓨터 케이스 부분도 모델링 하여야 한다.
같은 방법으로, 자동차 엔진 블럭의 거동은 그것을 지지하고 있는 마운트와 마운트로 전달되는 하중의 형태에 따라 다르게 나타난다.
토목 구조물의 거동도 구조물 자체의 거동과 더불어 구조물이 접하고 있는 기초 부분과의 접촉 형태 및 기초 부분과 토질의 강성에 따라 달라진다.
접촉하는 구조물을 가지지 않는 모델은 어떤 것이 있을까?
이에 대한 답은 운항중인 항공기, 우주선 등이 있는데 이들은 유체-구조 연성 거동 (fluid-structure coupling behavior)을 나타낸다.
또한 모든 구조물은 무엇인가와 접촉하고있다. 항공기의 부품은 항공기 구조물에 연결되어 있고, 위성의 장비는 위성체에 연결되어 있고 위성체는 발사 로켓과 접하고 있다. 해석할 구조물이 비행 상태처럼 완전히 구속되어 있지 않은 경우라면 해석시 접촉 구조물도 고려하여야 한다.
따라서 해석할 부분만 단순히 모델링하는 것만으로는 불충분하고 그에 접촉하고 있는 구조물도 고려해야 하는 데, 이는 접촉 구조물이 해석 대상 부위에 대한 올바른 경계조건과 하중전달경로를 제공하기 때문이다. 대부분의 경우, 접촉 구조물 부분을 global/local analysis 방법을 이용하여 단순화 하여 모델링할 수 있다.
Reality, again: Nonlinear Analysis
기본적인 모델을 만들고 하중 형태와 해석 종류가 정의되면, 한가지 더 고려해야 할 사항이 있는 데 이것은 구조물과 재료의 비선형 특성이다.
선형 해석은 변형과 응력이 작용 하중에 직접적으로 비례함을 의미한다.
만일 하중이 두 배가 되면 변형과 응력의 결과값도 두 배가 되며, 하중의 작용 방향이 반대가 되고 크기가 100배가 된다면, 이에 따른 변형과 응력의 결과 값도 방향이 반대이며 크기가 100배로 됨을 의미한다.
선형성에 대한 가정은 작용 하중의 크기가 비교적 작은 경우에만 타당하다.
일례로서 빈 알루미늄 캔의 경우를 살펴보자. 만일 캔의 한면에 살짝 힘을 가했다가 손을 때면 캔의 현상은 원래의 모습으로 복원된다. 그러나 충분히 큰 힘을 가하면 캔에 영구 변형이 일어난다. 또한 캔의 좁은 부위에 대하여 매우 큰 힘을 가하면 캔의 면에 구멍이 생길 것이다.
여기서 분명한 것은 상당히 큰 하중 작용에 대한 해석에서 재료의 선형성을 가정하는 것은 적합하지 않다.
구조물의 'oil-canning' ability 는 소위 '대변형' 이라고 하는 비선형성의 한 형태로서 유한요소해석에서 특별한 주의를 필요로 한다.
비선형성은 여러가지 방법으로 나타나는 데, 재료의 비선형성은 응력이 재료의 항복 응력을 초과할 때 나타나며, 이 경우 재료는 항복 상태가 되고 힘이 더 가해질 경우 파괴된다. 또 다른 형태의 비선형성은 하중이 작용 하는 동안 변형이 일어나면서 구조물과 다른 대상 (또는 구조물 자체) 과의 접촉(contact)이 생길 경우 나타난다. 기하학적 비선형성은 구조물의 강성이 내부 응력과 변형 형상에 따라 변할 경우 나타나는 데, 이 예로는 자동차 타이어를 들 수 있다. 타이어는 공기가 차지 않았을 때는 강성이 거의 없는 반면 공기가 채워지면 강성을 갖는 특성이 있다.
Reality, once more: Can my computer handle all this?
유한요소해석 기술을 유용하게 사용하기 위해서는, 매우 복잡한 모델이라도 짧은 시간 이내에 모델링하고 해석하여 변경이 가능한 방법으로 해석이 진행되어야 한다. 단순히 결과를 얻는 것으로는 불충분하다. 결과는 정확해야 하고 효율적으로 계산되어야 한다.
좋은 유한요소 프로그램은 해석 과정에서 생성되는 방정식들을 가장 효율적으로 처리할 수 있는 수치해석 기법을 이용하여 이러한 목적을 만족시킨다.
실제 문제를 모델링 하여 성능에 대한 벤치마크를 수행하지 않고 유한요소 프로그램을 구매해서는 안된다.
Reality, finally: Correlation with testing.
유한요소해석은 설계상의 무결점을 확인하는 하나의 도구이다. 유한요소해석은 모형 제작 및 시험을 대체할 수 있으나 구조 시험은 여전히 유용하다.
시험은 유한요소해석을 이용하여 시뮬레이션 한 결과를 시험 데이타와 비교함으로써 모델을 검증하는 특히 유용하다.
유한요소해석과 시험 결과의 불일치는 다음과 같은 이유에 기인한다.
· 재료 물성치, 경계조건, 결합부 강성 및 감쇄의 변화
· 시뮬레이션하는 개념 (즉 선형, 비선형)
· 시제품이 설계된 데로 제작되지 않음
이와 같은 불일치가 해소되도록, 유한요소해석 모델을 개선하면 해석 결과를 시험 데이타와 일치 시킬 수 있다.
So, after all this, how do I know it's the right answer?
자동화의 물결 속에서 항상 염두에 두어야 할 사항은 어떤 기술도 공학적인 판단(engineering judgment)을 대체할 수 없다는 점이다.
다행히도 현재 사용 가능한 형상 모델링, 요소분할, 해석용 프로그램들을 이용하여, 유한요소해석에 대한 상세한 사항을 고려하는 데 적은 시간을 소모하고, 대신 엔지니어로 하여금 공학적인 판단을 적용하는 데 많은 시간을 할애할 수 있게 해준다.
유한요소해석을 설계 개념의 집합적인 요소로 채택하고자 할 경우, 현재의 필요성뿐만 아니라 미래의 요구도 고려해야 한다.
현재의 요구로서 단순한 부품에 대한 선형해석만이 대두되겠지만, 이 분야의 성공적인 적용은 향후에 조립품의 모델링 및 고급 해석에 대한 필요성을 창출해 낸다.
자동화의 증대로부터 얻는 이점은 기능성, 성능, 신뢰성 및 사용 편의성에 대한 요구에 부합할 수 있다는 것이다.
Ask good questions... demand realistic answers!
성능이 입증된 기술로서, 유한요소해석은 일상용품 부터 고도의 기술을 필요로 하는 항공기 우주선에 이르기 까지 다양한 제품을 설계하는 데 유용하게 사용되어 왔고 앞으로도 사용될 것이다.
하드웨어와 소프트웨어 분야의 발전은 계속 증가하는 공학자와 설계자들로 하여금 매우 가치 있는 도구의 사용을 가능케 할 것이다.
그러나 최종적인 해석에서 그 결과가 옳은 것인가를 평가하는 것은 엔지니어의 공학적인 판단이다
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『세상을 변화시키는 인터넷①』
(≫≪) 미군 희생 여중생들의 죽음을 애도하며..
먼저 아래 자료는 성균관대 기계공학과 홈페이지에서 옮겨왔습니다.
What is FEA?
유한요소해석 과정은 제품의 총 사용 기간에 걸친 제반 성능을 확인하기 위하여 부품 또는 조립품을 분석하는 한 방법이다.
우선 형상 모델을 만들고, 유한요소모델을 형상 모델과 연관하여 생성하고 사용 환경(경계조건, 하중조건)을 정의하여 구조물의 응답(변형, 응력, 온도 등)을 계산하여 이를 도시한다.
만일 계산된 응답이 - 일례로 응력이 - 허용 값이나 최대 설계 값 보다 큰 경우, 구조물은 적절한 설계가 될 때까지 재설계/재해석 된다.
이러한 재설계/재해석 과정은 최적화 기법 (structural optimization)에 의해 자동화 될 수 있다.
What are the limits of finite element analysis?
유한요소해석은 전통적으로 '분석자의 도구'로 사용되어 왔으나 사용상의 급격한 발전에 의해 설계 과정에서 중요한 위치를 차지하게 되었고, 오늘날은 컴퓨터상에서 실제 사용 환경을 시뮬레이션하는 데 이용되고 있다. 제품이 복잡해짐에 따라 실제 사용 환경의 영역은 점차 확장되고 있으나 컴퓨터를 이용하여 세련된 해석을 수행할 수 있는 가능성도 비례하여 증대하고 있다.
유한요소해석의 주요 목적은 주어진 환경 조건에 대하여 부품이나 조립품이 어떻게 반응하는지를 결정하는 것이다. 해석 결과는 성능을 검증하는 데 사용될 수 있고, 설계를 향상시키거나 최적화하는 데 이용될 수도 있다. 물론 이 모든 것은 설계하고자 하는 형상이 정확하게 모델링이 되고, 사용 환경이 적절하게 정의되고, 유한요소해석 프로그램이 계산을 정확하게 수행한다는 가정에 바탕을 둔 것이다.
유한요소해석의 결과를 이야기할 때 정밀도(accuracy)라는 용어를 자주 사용한다. 여기서 정밀도는 시스템이 실제 사용 환경에 대한 성능을 얼마나 잘 모델링 했는가의 정도를 의미하는 것이 아니며, 유한요소해석 프로그램이 특정한 해석을 수행한 결과에 대한 신뢰 정도를 의미한다. 부품이나 사용 환경을 모델링하는 과정의 에러와 프로그램 자체의 에러로 인하여 해석 결과 자체는 완전히 잘못된 것이라고 할 수도 있다. 해석 결과가 정확한 것인지의 여부를 어떻게 결정할 것인가는 엔지니어의 공학적인 판단 (engineering judgment)에 따라 행해진다.
How do I know the answer is right?
무엇보다도 먼저 실제 사용 환경을 정확히 모델링 하여야 한다. 그러나 이것은 말만큼 쉽지 않기 때문에 시험을 통하여 검증을 해야 하는 중요한 이유이다.
엔지니어의 모델링 능력과 유한요소해석 프로그램에 내재된 기술은 해석 시간, 비용, 정밀도에 영향을 준다. 현재의 유한요소해석 프로그램의 일반 사용자는 정확한 해석 결과를 얻기 위하여 유한요소 이론을 상세하게 이해하여야 할 필요는 없으나, 모든 유한요소와 요소분할 방법은 엔지니어 마다 항상 동일한 것은 아니며, 유한요소 방정식 구성의 질이 해석 시간, 비용, 해석 결과의 정밀도에 직접적으로 영향을 미친다는 것을 이해하면 된다.
정확하고 효율적인 유한요소의 설계와 표현은 유한요소해석 프로그램 개발자의 전문성을 필요로 하는 것이다.
What type of elements should I use?
유한요소해석 프로그램은 여러가지 형태의 유한요소를 제공하고 있으며, 각 유한요소는 서로 다른 실제 현상을 모델링하는 데 이용된다. 유한요소 형태의 선택은 정확한 구조 거동을 시뮬레이션하는 데 중요하다. Rod와 Beam 요소는 동일 직선상에 작용하는 힘을 표현하며, Beam은 굽힘 모우멘트를 전달하나 Rod는 전달하지 않는 특성이 있다. 이 요소들은 교량, 트러스, 해양구조물, 항공기의 종통부재, 판의 보강재를 모델링 하는데 사용된다.
Plate와 Shell요소는 면상에서 변하는 힘들을 모델링하는 데 사용된다.
이들 2차원/3차원 요소들은 membrane (in-plane)과 bending (out-of-plane) 거동을 수반하며, 자동차, 항공기, 우주선, 컴퓨터 케이스나 금속재 박판 형상을 모델링 하는데 사용된다.
Solid요소는 일반적인 3차원 응력 상태를 표현하며, 엔진 블럭, 크랭크축, 콘크리트 댐, 브라켓, 시험실의 치공구 등을 모델링 하는데 사용된다.
기존의 전통적인 유한요소법은 'h-elements' 방법에 기초하고 있는데, h-element는 부품의 형상을 다수의 작은 유한요소의 결합으로 표현한다. 부품 형상을 일련의 개별 유한요소로 분할하는 작업을 요소분할(meshing) 이라 한다.
요소분할에서 단순화는 해석의 효율성을 제고하는데 기여한다.
복잡한 형상에 대하여 정밀도가 높은 결과를 얻기 위해서는 형상을 잘 표현하고 응력구배(stress gradient)가 큰 부분을 모델링하기 위해 더 많은 유한요소로 분할하여야 하는데 이는 해석에 소요되는 시간과 필요한 디스크 용량을 증대시킨다.
해석 시간과 디스크 용량을 최소화 시키는 방법 중의 하나는 현재의 유한요소 모델이 원하는 정밀도를 얻기에 부적합하다고 판단되는 부분에 대해서만 유한요소를 추가하는 것이다.
이와 같이 원하는 정밀도를 얻기 위해 요소를 세분하는 과정을 adaptivity라 하며, h-elements에 대한 표준 방법이 되어왔다.
What's a p-element?
지난 수년간 새로운 형태의 유한요소로서 'p-element' 가 일반 유한요소해석 프로그램에 채택되어 왔다. P-element는 h-element와 달리 곡률이 있는 부분을 직접 모델링할 수 있고, 적은 수의 요소로 단순한 형태의mesh를 생성할 수 있다.
해석의 정밀도는 각 요소에 정의된 p-level (polynomial) order에 의해 조절되는데 p-level이 높을수록 정밀도는 높아진다. 실제로 하나의 h-element는 p=1인 p-element의 특별한 경우로 볼 수 있다. 해석에 소요되는 시간과 디스크 용량은 h-elements를 이용한 경우 요소 숫자가 증가함에 따라 같이 증가하며, p-elements의 경우는 p order가 증가함에 따라 증가한다.
P-element의 주요 응용 중의 하나는 모델 형상과 환경 조건을 매우 정밀하게 모델링 해야 하는 복잡한 응력장에 대한 해석이다. 이 경우는 날카로운 모서리 대신 필렛 형상으로, 집중하중과 구속조건 대신에 분포하중과 구속조건으로 모델링을 해야 하며, 모델이 상세할 수록 더욱 상세한 결과를 얻을 수 있다. P-elements를 이용한 해석에서의 adaptivity는 선택된 요소의 p-level을 증가시킴으로써 얻어지는데 이는 사용자가 수동적으로 할 수도 있고 프로그램에 의해 자동적으로 실행할 수 있으며, 해석 결과가 미리 설정된 수렴 조건에 도달할 때까지 반복적으로 실행되며 이 모든 과정은 mesh를 변경하지 않고 이루어 진다.
Which is better: 'h' or 'p'?
P-elements는 긍정적인 특징이 있음에도 불구하고, h-elements가 여러가지 측면에서 장점을 유지하고 있다. 또한 p-elements가 모든 해석에 대하여 h-element를 대체할 수 있다거나, p-elements는 유한요소가 아니라는 주장들이 있으나 아직 분명한 근거는 없다.
H-elements는 하중 해석(loads path analysis)과 같이 정확한 형상을 필요로 하지 않는 전체 거동 해석에 적합하며, beam-stiffened panel과 같이 응력 불일치가 생기는 문제와 비선형 문제에 대해서도 장점을 가지고 있다. 또한 h-elements는 주어진 문제를 해석하는 데 짧은 시간과 적은 디스크 용량을 필요로 하며, 오랜 기간에 걸쳐서 성능이 입증된 성숙된 기술이며, 유한요소 생성 및 전후처리 작업을 위한 다양한 프로그램들을 사용할 수 있다.
H-elements와 p-elements를 결합하여 함께 사용하면 일반적인 문제에 대한 해석에 장점이 된다. 하나의 모델을 구성하는데 h-elements와 p-elements를 결합하여 사용하는 기능은, 전체적인 응답을 얻기 위해 구조물의 대부분 영역에 대하여 h-elements로 coarse하게 모델링하고 중요 부위는 정밀도를 높이기 위해 p-elements로 모델링하는 것을 가능케 한다.
P-level이 증가함에 따라 해석 시간이 급격히 늘어나기 때문에, h-elements와 p-elements를 함께 사용하여 대형 문제를 적합한 모델로 구성하면, p-elements만을 이용할 경우 수반되는 과부하 (performance overhead) 없이 해석을 수행할 수 있다. 해석하고자 하는 모델에 대하여 detailed/gross 거동을 시뮬레이션 하는데 coarse mesh와 fine mesh를 이용할 것인가, 관심 영역에 선택적으로 p-elements를 이용할 것인가 하는 해석 전략을 global/local analysis라고 한다.
대부분의 일반적인 문제들은 global/local 형태를 함께 가지고 있어서 각각 h-elements와 p-element를 각각 적용하는 것이 타당하다. 따라서 h-elements와 p-elements를 결합하여 사용하는 접근 방법이 가장 좋으며, 이는 공학 문제를 해결하는 데 적은 모델링 비용과 해석 시간, 그리고 적은 디스크 용량으로 가능케 한다.
But we're ahead of ourselves. What role does geometry play?
유한요소해석 과정에서 첫번째 과정은 실제 해석 대상의 형상을 정확하게 모델링 하는 것이다. 이는 형상 모델이 정확하게 표현되지 않으면 해석 결과가 부정확함을 의미한다.
다행히 오늘날의 솔리드 모델링 프로그램들은 복잡한 설계와 조립을 개개의 유한요소를 생성하는 것과 비교하여 짧은 시간에 정확하게 모델링 할 수 있는 기능을 제공하여 준다. 때로는 모델링 작업을 빠르게 하기 위하여 2차원/3차원 와이어프레임 CAD 프로그램에서 작성한 설계 모델을 가져와서 작업하기도 한다. 대부분의 프로그램들은 자동적으로 유한요소 생성을 할 수 있는 automatic mesh generation 기능과 mapped meshing algorithms 을 제공하고 있다.
시간 절약과 더불어 설계의 정확한 수학적인 정의는 여러가지 장점들을 가지고 있다. 즉 해석 결과를 본래의 설계 프로그램으로 feedback함으로서 설계를 변경하여 성능을 향상시키고, 중량을 줄이거나 기타 설계 조건들을 충족시키는 것을 가능케 한다.
Once I have geometry, how do I know how many elements to use?
요소분할(meshing)은 부품 형상을 일련의 개별 유한요소로 분할하는 과정이다. 복잡한 형상을 표현하고 관심 영역 (응력구배가 큰 영역)에 대해서는 더 많은 수의 유한요소로 요소분할을 한다. 유한요소 모델의 적합성은 해석 결과의 수렴으로 정의된다.
'수렴'은 h-elements의 숫자가 증가할수록, p-elements의 p order가 커질수록, 해석 결과가 일정한 값으로 접근해 가는 것을 의미한다.
이론해가 알려진 간단한 문제에 대하여 해를 계산하여, 이 값을 수렴성을 측정하는 데 사용하기도 한다.
수렴은 구조물의 형상, 작용 하중의 분포, 사용된 요소 형태에 따라 비교적 적은 수 또는 많은 수의 요소로 이루어진 모델에 대해 얻어진다.
이와 유사하게 p-elements에 대해서의 수렴은 모델 특성에 따라 p level 이 적을 때 또는 많을 때 얻어진다.
How do I judge convergence?
Error estimator는 각 요소의 해석 결과의 정밀도를 검증한다. 간단히 표현하면 error estimator는 '모델과 하중이 정확하게 표현되어 있다는 가정하에, 해석 결과가 수렴했는가?' 라는 의문에 대한 답을 주는 것이다.
이 의문에 대한 기본적인 해법은 유한요소 밀도(mesh density)나 p-order를 증가시키면서 여러번 해석을 실행하고 그 결과를 바로 이전의 해석 결과와 비교하여 두 결과의 값이 동일 하다면 해석 결과가 수렴했다고 판단하는 것이다.
가장 진보한 error estimator는 두개의 해석 결과의 차이를 필요로 하지않고, 단지 한번의 해석을 통하여 수렴성을 검증하며, 기능이 좋은 유한요소해석 프로그램은 한번의 해석 과정을 통하여 해석 결과뿐 아니라 error estimation까지도 제공하여 준다.
Can you make it 'automatic'?
진보된 유한요소해석 프로그램은 해석 과정에 adaptivity 기능을 채택하고 있다. 여러가지 adaptivity 방법이 구현되어 오고 있지만 가장 발전된 연구는 element-by-element basis이다.
이는 error estimator를 이용하여 p-elements의 polynomial level 과 h-elements 의 숫자를 모든 방향에 대해 독립적으로 변화시킬 수 있으며, 모델 내의 각 영역에 대하여 서로 다른 error criteria를 사용할 수 있으며, 가장 관심 있는 영역에 대해서는 작은 값의 error tolerance를 설정할 수 있는 기능을 제공한다.
Automatic! I can't go wrong?
해석하고자 하는 제품과 그 사용 환경에 대하여 충분히 이해하고 있는 사람은 엔지니어이다. 정적인 자중과 동적인 사용 하중 등과 같이 구조물에는 복합적인 사용 환경이 작용하기 때문에 해석 프로그램은 복합 환경에 대해 적용이 가능해야 함은 중요한 사실이다. 뛰어난 기능의 유한요소해석 프로그램은 다음과 같은 해석 형태에 대한 기능을 제공하고 있다.
· Statics
· Normal modes
· Buckling
· Frequency response
· Transient response
· Heat transfer
· Random response
· Response spectrum
· Acoustics
복합적인 사용 환경에 대한 몇 가지 사례를 들어 보겠다.
컴퓨터의 PCB 기판의 경우 자중(static analysis), 충격 하중(transient response / response spectrum analysis), 열 발생(heat transfer plus thermal stress analysis)에 대하여 견딜 수 있어야 한다. 만일 컴퓨터를 헬리콥터에서 사용한다면 주기적인 진동 하중과 가속도 (frequency response analysis)에도 견디도록 설계되어야 하며, 사용 환경이 항공기 내부인 경우는 돌풍(wind gust) (random response analysis)에 대한 안정성도 추가적으로 평가되어야 한다.
자동차 엔진 블럭은 여러가지 형태의 진동(sinusoidal, impact, random) 과 열 발생 등과 같은 복합 사용 환경을 가지고 있다.
건물, 댐, 교량 등의 토목 구조물들은 자중(static analysis and buckling), 돌풍(random response analysis), 회전기계(frequency response analysis), 지진(response spectrum analysis or transient analysis) 등의 복합적인 환경에서 사용된다.
이러한 다양한 사용 환경들은 모든 하중과 더불어 제품 또는 구조물에 총 사용 기간 동안 작용한다.
단조, 절단, 용접, 기계 가공과 같이 비선형성을 가진 제조공정에서 기대하지 않은 하중이 발생되어 구조물에 응력을 발생하고 잔류 응력을 생성하여 사용 기간 동안 제품의 피로 수명에 영향을 주기도 한다. 또한 선적 과정에서도 예기치 않게 하중이 작용되기도 한다. 이러한 제조공정과 선적 과정에서 작용될 수 있는 하중들은 여타의 사용 하중보다 매우 큰 영향을 줄 수도 있다.
Reality: Full System Analysis
복합적인 사용 환경에 대해 앞에서 살펴본 모든 사례에서 구조물은 대형 시스템의 일부분에 대해 해석이 수행된다. 예를 들면, 컴퓨터 PCB 기판의 구조 거동은 기판이 컴퓨터 케이스에 접속되어 있는 형태 및 컴퓨터 케이스 자체의 강성(stiffness characteristics)에 따라 상당히 다르게 나타난다. 따라서 기판의 거동을 정확히 시뮬레이션 하기 위해서는 최소한 기판뿐만 아니라 여기에 접촉하고 있는 컴퓨터 케이스 부분도 모델링 하여야 한다.
같은 방법으로, 자동차 엔진 블럭의 거동은 그것을 지지하고 있는 마운트와 마운트로 전달되는 하중의 형태에 따라 다르게 나타난다.
토목 구조물의 거동도 구조물 자체의 거동과 더불어 구조물이 접하고 있는 기초 부분과의 접촉 형태 및 기초 부분과 토질의 강성에 따라 달라진다.
접촉하는 구조물을 가지지 않는 모델은 어떤 것이 있을까?
이에 대한 답은 운항중인 항공기, 우주선 등이 있는데 이들은 유체-구조 연성 거동 (fluid-structure coupling behavior)을 나타낸다.
또한 모든 구조물은 무엇인가와 접촉하고있다. 항공기의 부품은 항공기 구조물에 연결되어 있고, 위성의 장비는 위성체에 연결되어 있고 위성체는 발사 로켓과 접하고 있다. 해석할 구조물이 비행 상태처럼 완전히 구속되어 있지 않은 경우라면 해석시 접촉 구조물도 고려하여야 한다.
따라서 해석할 부분만 단순히 모델링하는 것만으로는 불충분하고 그에 접촉하고 있는 구조물도 고려해야 하는 데, 이는 접촉 구조물이 해석 대상 부위에 대한 올바른 경계조건과 하중전달경로를 제공하기 때문이다. 대부분의 경우, 접촉 구조물 부분을 global/local analysis 방법을 이용하여 단순화 하여 모델링할 수 있다.
Reality, again: Nonlinear Analysis
기본적인 모델을 만들고 하중 형태와 해석 종류가 정의되면, 한가지 더 고려해야 할 사항이 있는 데 이것은 구조물과 재료의 비선형 특성이다.
선형 해석은 변형과 응력이 작용 하중에 직접적으로 비례함을 의미한다.
만일 하중이 두 배가 되면 변형과 응력의 결과값도 두 배가 되며, 하중의 작용 방향이 반대가 되고 크기가 100배가 된다면, 이에 따른 변형과 응력의 결과 값도 방향이 반대이며 크기가 100배로 됨을 의미한다.
선형성에 대한 가정은 작용 하중의 크기가 비교적 작은 경우에만 타당하다.
일례로서 빈 알루미늄 캔의 경우를 살펴보자. 만일 캔의 한면에 살짝 힘을 가했다가 손을 때면 캔의 현상은 원래의 모습으로 복원된다. 그러나 충분히 큰 힘을 가하면 캔에 영구 변형이 일어난다. 또한 캔의 좁은 부위에 대하여 매우 큰 힘을 가하면 캔의 면에 구멍이 생길 것이다.
여기서 분명한 것은 상당히 큰 하중 작용에 대한 해석에서 재료의 선형성을 가정하는 것은 적합하지 않다.
구조물의 'oil-canning' ability 는 소위 '대변형' 이라고 하는 비선형성의 한 형태로서 유한요소해석에서 특별한 주의를 필요로 한다.
비선형성은 여러가지 방법으로 나타나는 데, 재료의 비선형성은 응력이 재료의 항복 응력을 초과할 때 나타나며, 이 경우 재료는 항복 상태가 되고 힘이 더 가해질 경우 파괴된다. 또 다른 형태의 비선형성은 하중이 작용 하는 동안 변형이 일어나면서 구조물과 다른 대상 (또는 구조물 자체) 과의 접촉(contact)이 생길 경우 나타난다. 기하학적 비선형성은 구조물의 강성이 내부 응력과 변형 형상에 따라 변할 경우 나타나는 데, 이 예로는 자동차 타이어를 들 수 있다. 타이어는 공기가 차지 않았을 때는 강성이 거의 없는 반면 공기가 채워지면 강성을 갖는 특성이 있다.
Reality, once more: Can my computer handle all this?
유한요소해석 기술을 유용하게 사용하기 위해서는, 매우 복잡한 모델이라도 짧은 시간 이내에 모델링하고 해석하여 변경이 가능한 방법으로 해석이 진행되어야 한다. 단순히 결과를 얻는 것으로는 불충분하다. 결과는 정확해야 하고 효율적으로 계산되어야 한다.
좋은 유한요소 프로그램은 해석 과정에서 생성되는 방정식들을 가장 효율적으로 처리할 수 있는 수치해석 기법을 이용하여 이러한 목적을 만족시킨다.
실제 문제를 모델링 하여 성능에 대한 벤치마크를 수행하지 않고 유한요소 프로그램을 구매해서는 안된다.
Reality, finally: Correlation with testing.
유한요소해석은 설계상의 무결점을 확인하는 하나의 도구이다. 유한요소해석은 모형 제작 및 시험을 대체할 수 있으나 구조 시험은 여전히 유용하다.
시험은 유한요소해석을 이용하여 시뮬레이션 한 결과를 시험 데이타와 비교함으로써 모델을 검증하는 특히 유용하다.
유한요소해석과 시험 결과의 불일치는 다음과 같은 이유에 기인한다.
· 재료 물성치, 경계조건, 결합부 강성 및 감쇄의 변화
· 시뮬레이션하는 개념 (즉 선형, 비선형)
· 시제품이 설계된 데로 제작되지 않음
이와 같은 불일치가 해소되도록, 유한요소해석 모델을 개선하면 해석 결과를 시험 데이타와 일치 시킬 수 있다.
So, after all this, how do I know it's the right answer?
자동화의 물결 속에서 항상 염두에 두어야 할 사항은 어떤 기술도 공학적인 판단(engineering judgment)을 대체할 수 없다는 점이다.
다행히도 현재 사용 가능한 형상 모델링, 요소분할, 해석용 프로그램들을 이용하여, 유한요소해석에 대한 상세한 사항을 고려하는 데 적은 시간을 소모하고, 대신 엔지니어로 하여금 공학적인 판단을 적용하는 데 많은 시간을 할애할 수 있게 해준다.
유한요소해석을 설계 개념의 집합적인 요소로 채택하고자 할 경우, 현재의 필요성뿐만 아니라 미래의 요구도 고려해야 한다.
현재의 요구로서 단순한 부품에 대한 선형해석만이 대두되겠지만, 이 분야의 성공적인 적용은 향후에 조립품의 모델링 및 고급 해석에 대한 필요성을 창출해 낸다.
자동화의 증대로부터 얻는 이점은 기능성, 성능, 신뢰성 및 사용 편의성에 대한 요구에 부합할 수 있다는 것이다.
Ask good questions... demand realistic answers!
성능이 입증된 기술로서, 유한요소해석은 일상용품 부터 고도의 기술을 필요로 하는 항공기 우주선에 이르기 까지 다양한 제품을 설계하는 데 유용하게 사용되어 왔고 앞으로도 사용될 것이다.
하드웨어와 소프트웨어 분야의 발전은 계속 증가하는 공학자와 설계자들로 하여금 매우 가치 있는 도구의 사용을 가능케 할 것이다.
그러나 최종적인 해석에서 그 결과가 옳은 것인가를 평가하는 것은 엔지니어의 공학적인 판단이다
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