27. 삼체문제(三體問題, Problem of three bodies)

[바보생각]

 

  27. 삼체문제(三體問題, Problem of three bodies)

  삼체문제는 오일러(Leonhard Euler) 시대부터 수학의 영역에서 가장 어려운 문제 가운데 하나로서 천체역학(天體力學 celestial mechanics)에서 3개의 질점(質點, Material point)이 만유인력으로 서로 끌어당기며 운동할 때 각 질점의 공전궤도(公轉軌道, Orbit of revolution)를 구하는 문제를 삼체문제라 한다. 삼체문제는 거리 역(逆)제곱(Inverse Square)의 중력 법칙 하에서 3개의 질량 사이에 일어나는 운동을 기술하는 방정식(運動方程式, equation of motion)의 해(解, solution)를 요구하는 것으로 물체의 수가 3 또는 그 이상이 되면 비록 그들 상호간에 작용하는 힘의 성질을 잘 알고 있어도 방정식을 풀어 운동의 양상을 추구하기란 수학적으로는 불가능하다.      뉴턴의 운동방정식(Newton's equation of motion)은 두 개의 물체 상호간에 작용하는 이체문제(二体問題, two-body problem)에만 적용되는 것으로 삼체문제는 뉴턴의 방정식으로 풀리지 않는다.  태양계의 천체들은 태양으로부터 인력이 작용할 뿐 아니라, 모든 행성과 위성들 사이에도 인력이 작용하므로 태양계의 중력방정식은 비선형적(非線型的)이 되며 아직까지 그 해(解)를 해석적(解釋的, Analytically)으로 구하는 방법은 없는 것이다.

  태양계에 있어서 행성(行星)인 경우에는 태양의 인력이, 위성(衛星)인 경우에는 모 행성의 인력이 압도적으로 크기 때문에 그 궤도를 질점(質點)이 두 개인 이체문제(二体問題)로만 풀어낸다. 예컨데 지구의 공전주기는 태양과 지구의 중력만을 고려하고 달의 공전주기는 지구와 달의 중력 이외에는 고려하지 않는다. 이것이 뉴턴역학(Newtonian mechanics)의 한계이다. 19세기 말, 프랑스 수학자인 포앵카레(Jules Henri Poincare)는 닫힌계(Closed system)에서의 뉴턴역학의 오류를 지적하며 어떤 경우 매우 작은 변화가 행성을 큰 폭으로 움직이게 하고 충분한 시간이 지나면 태양계의 행성들이 그 궤도를 이탈할 수도 있는 것이므로 뉴턴역학으로는 행성들의 운동에 대하여 어느 정도 근사치 예측은 가능하지만 완벽한 결과를 계산하는 것은 불가능하다고 하며 동적(動的)시스템의 시작점 이론을 가진 비선형시스템의 정성적(定性的, Qualitative) 연구를 제안하였다.  그는 카오스의 예측 불허성의 원인이 되는 <결정론적 계에서의 초기 조건에의 민감성>을 최초로 알았던 사람인 것이다.  MIT의 컴퓨터 과학자 서스먼(Gerald Sussman)과 천문학자인 위즈덤(Jack Wisdom)은 사이언스 지(誌, Science Journal)에 기고한 글에서 어떤 주어진 순간에 행성들의 위치와 속도를 무한히 정확하게 알지 않는 한 태양계에 대한 우리의 뉴턴 방정식에 의한 예측은 단지 4백만 년 뒤에 완전히 빗나가게 되므로 태양계의 운행은 예측할 수 없는 것이라고 하였다. 실제로 뉴턴이 물체의 운동을 설명하는 단순한 이체문제(二体問題, Two-body problem)란 자연계에는 존재하지 않으며 자연은 그렇게 단순한 계가 아니고 복잡하고 유기적(有機的)인 상관관계(相關關係, Organic correlation)이다.     뉴턴역학에서 삼체문제의 운동방정식은 18계(階)의 미분방정식으로 나타낼 수 있는데 수학적인 방법으로는 계수(階數, Rank)를 6으로 밖에 줄이지 못하여 절대로 풀지 못한다는 것이 증명되었다.  이제 이 삼체 운동의 이면에는 호모 클리닉 카오스(homoclinic chaos)라고 불리는 복잡하고 신비로운 카오스의 계층적 질서 구조가 자리 잡고 있다는 것이 밝혀졌지만 이 구조의 극히 일부만이 컴퓨터의 도움을 받아 그려질 수 있다고 한다. 이러한 삼체문제와 같이 세 개 이상의 변수가 서로 작용하는 역학계(力學界, Dynamical system)를 연구하는 분야가 Chaos 과학이며 카오스가 어떤 특정분야의 학문이 아닌 것은 생명현상을 비롯한 모든 자연계가 동전의 앞뒤와 같이 질서적(秩序的)이면서도 카오스적인 모습을 동시에 보여 주기 때문이다. 삼체(三體) 이상의 모든 운동은 상호 피드백(feedback) 작용으로 결국 카오스 상태로 가게 되고 카오스의 잠재성은 비선형계 자체의 특성이므로 구조적으로 미래의 장기적인 결과를 예측할 수가 없다. 역(易)은 기본적으로 삼체와 삼체의 대응인 육체문제(六體問題)의 물리적 상(物理的相, Physical Phase)을 다루고 있고 그 속에 6개의 상태변수(狀態變數, state variable)와 매개변수(媒介變數, Parameter)에 따른 카오스의 결과를 예측하는 다체문제(多體問題,  many-body problem)를 다루는 학문이다.

[호호]

우리가 반영되고있는 힘은 인력과 바로 척력인것이다 네가 만들어네는 힘과 모든우주에의 힘들이 거미줄처럼 연결되어서 서로 상호작용을하므로 발생되는것이다 그러나 크게본다면 두힘의 작용 즉 극과 극의 작용인것이다 이극이없어질떼가 파괴요 다시 창조할떼의 준비인것이다 본연으로 돌아가야만 반드시 새 생명이 재탄생되는것이다

[호호]

즉 네자신의 의지에따라 이모든것들의 반영이 달라지는겄에 지데한영향을 주며 다른 모든것들의 의지에 영향을 미칠수있다