해석학이라는 과목에 대해 설명하자면
해석학(解析學, analysis)은 미적분학(微積分學, calculus)을 포함하여 이로부터 비롯된 극한, 급수, 연속성, 미분, 적분, 측도 등의 개념을 다루며 이를 활용하여 함수들의 성질들을 연구하는 학문이다.
미적분학은 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 고트프리트 빌헬름 폰 라이프니츠(Gottfried Wilhelm von Leibniz)에 의해 독립적으로 발명되었다.
이들 이전에도 넓이를 구하기 위해 무한소의 개념을 활용하는 등의 접근은 이루어졌으나, 접선 그리기, 면적, 길이, 부피 구하기, 최대·최소 구하기 등에 대한 문제들을 통일성 있게 다루지는 못하였다.
뉴턴은 역학(力學, dynamics)을 연구하는 과정에서 미분에서부터 시작하여 이러한 문제들을 체계적으로 정리하였고, 라이프니츠는 대수적인 접근으로 적분에서부터 미적분학을 체계적으로 정리하였다.
해석학의 발전에 기여한 학자들은 뉴턴과 라이프니츠를 제외하고, 브룩 테일러(Brook Taylor), 콜린 매클로린: (Colin Maclaurin), 레온하르트 오일러(Leonhard Euler), 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy), 카를 테오도어 빌헬름 바이어슈트라스(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass), 율리우스 빌헬름 리하르트 데데킨트(Julius Wilhelm Richard Dedekind) 등의 학자가 있다.
코시는 함수의 연속성, 미분, 적분, 급수 등을 극한에 기초하여 정의함으로써 무한소를 통해 전개되던 미적분학이 더 발달할 수 있는 발판을 마련하였다.
이후 바이어슈트라스는 코시의 증명에서 명확하지 않은 부분을 밝혀내고 입실론-델타 방식을 통해 극한을 실수만 포함되는 식으로 환원시킴으로써 즉, 미적분을 산술화하여 그 문제를 해결하고 해석학이 연역적으로 전개될 수 있는 엄밀함을 확보하였다.
예를 들어 수열의 극한에 대한 정의를 생각해 볼 수 있다. 먼저, 수열이 수렴한다는 것은 임의의 무한수열 an에 대해 n이 무한대로 커질 때 an이 특정한 값 α에 가까워진다는 것을 의미한다.
이때, 수열의 극한값이 존재한다고 이야기 한다. 이러한 정의는 an=d인 경우 또한, 수렴하며 수열의 극한값이 존재한다고 따로 언급해 줘야 하는 단점이 있다.
반면, 바이어슈트라스에 의해 제안된 입실론-델타 방식은 이와 같은 단점을 해결함과 동시에 직관적인 설명으로 남아 있는 부분을 산술화하여 엄밀성을 갖도록 한다.
입실론-델타 방식으로 수열이 수렴한다는 것의 정의는 임의의 양수 ε에 대해 적절한 자연수 N이 존재하여 N보다 크거나 같은 모든 자연수 n에 대해 |an-α|〈ε이 성립하도록 하는 α가 존재한다는 것이다.
함수의 극한, 함수의 연속성 모두 이와 같은 입실론-델타 방식을 통해 정의함으로써 실함수 외의 복소함수 등에 대한 극한, 연속, 미분, 적분을 다루는 것이 가능해졌고, 위상수학(位相數學, topology)으로까지 그 개념이 확장될 수 있었다.
해석학(解析學, 영어: analysis)은 미적분학을 엄밀하게 형식화하는 것을 목적으로 시작된 수학의 한 분야로, 수열이나 함수의 극한 및 무한급수, 미분, 적분, 측도 및 해석함수 등의 개념을 다룬다.
위의 개념들은 주로 실수체나 복소수체 및 그 위의 함수에 대해 적용되나, 보다 일반적으로는 어떤 수학적 공간 혹은 대상이든 "가까움"(위상 공간 참고)이나 조금 더 구체적으로는 "거리"(거리 공간 참고)의 개념이 주어지기만 하면 적용될 수 있다.
해석학은 정수론, 기하학, 대수학과 함께 수학의 주요한 분야들 중 하나이다.
다음은 해석학에 포함되는 세부 분야들의 목록이다.
- 실해석학은 실변수 함수의 미분과 적분 등을 엄밀한 방법으로 연구한다. 수열과 극한, 급수, 측도의 개념을 포함한다.
- 함수해석학은 함수 공간을 연구하고, 구체적으로는 바나흐 공간이나 힐베르트 공간 등의 개념을 다룬다.
- 조화해석학은 푸리에 급수 및 이를 추상화한 것을 다룬다.
- 복소해석학은 복소 미분가능한 복소변수 함수를 다룬다.
- 미분기하학은 미적분학을 보다 복잡한 내부적인 구조를 가진 공간에 적용한다.
- p진 해석학은 p진수를 변수로 갖는 함수들의 해석학을 연구한다.
- 수치해석학은 연속적인 문제를 알고리즘을 통해 근사하는 방법을 연구한다.