오일러의 공식이다.
수학에서 가장 아름다운 공식을 만들기 위해 x값에 π를 대입하고 항을 이항하여 0까지 넣었더니, 아주 완벽한 식이 됐다고 한다.
오일러 공식의 구조와 삼각함수와의 연계성, 그리고 왜 이런 것을 전기에서 사용해야 하는지...
“오일러의 공식은”,
“복소평면에서 반지름 1인 원을 그려놓고, 그 원주를 따라 ‘일정 각’만큼 반시계 방향으로 회전시켰을 경우의 복소좌표값을 나타내는 식”이다.
반지름이 1인 단위원의 방정식을 매개변수로 표현하면 다음 그림과 같습니다.
복소평면에서는 y축이 허수를 나타내니 각도가 t인 임의의 점은
즉 
가 됩니다. 따라서, 다음과 같은 식은 복소평면 위에 반시계 방향으로 도는 반지름이 r인 원을 나타냅니다.
이와 같이 원의 방정식을 오일러의 공식으로 익혀두는 것은 복소해석학에서 매우 기본적이며 중요한 일입니다.
오일러의 운동방정식Euler's Equation의 의미 및 적용
오일러 운동 방정식(Euler運動方程式, Euler's equations of motion)은 강체의 운동을 다루는 방정식이다
역학에서 회전하는 물체의 토크·각속도·각가속도와의 관계를 나타내는 3개 식으로 된 미분방정식.
보통 동역학적 개념에서의 운동방정식으로서, 다음과 같이 표현된다.
I1 (dω1/dt)＋(I3－I2)ω2ω3=τ1I2 (dω2/dt)＋(I1－I3)ω3ω1=τ2I3 (dω3/dt)＋(I2－I1)ω1ω2=τ3
일반적으로 운동방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙을 나타내는데 다음과 같다.
F=ma
오일러의 운동방정식은 너무나도 유명한 위의 식과 동일하다.
다만 오일러 운동방정식을 일반적으로 미분방정식으로 표시하는데, 사실 위의 뉴턴의 운동법칙도 미분방정식으로 나타낼 수 있으며 아래와 같다.
F=m dv /dt
이 글에서는 오일러 운동방정식을 유도하지 않고 각 항에 대한 설명만 하기로 한다.
모든 유체역학 책에 식의 유도과정이 자세하게 나와있다.
이런 미분방정식의 유도 과정은 매우 중요하므로 연속방정식을 비롯해서, Navier-Stokes 방정식까지 모두 손수 유도해보는 노력이 필요하다.
오일러의 운동방정식은 다음과 같다.
위 세 개의 미분방정식이 오일러의 운동방정식이다.
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1. 사전에 알고 넘어가야할 지식들
1-1. e(자연상수)
원래 자연상수는 은행이자를 계산하다가 발견됐단다. 솔직히, 전기공학을 설명하기 위해 '이자율'까지 들먹이고 싶지는 않은데, 어찌됐든 그렇게 해서 발견된 숫자인데, 참으로 신기한 놈이다. 정해진 기간 내에 이자횟수를 무한대로 올렸더니 2.718... 어쩌고 하는 무리수에 그 값이 수렴 하더란다.
바로 그 놈을 자연상수, 'e'라고 부르기로 했다.
(자연상수의 발견과 그 식)
그런데, 그 e라는 자연상수는, 그냥 놔두고 보면 별볼일 없어 보이는데, 그 형태를 지수함수 형태로 바꾸었더니 놀라운 일이 벌어졌다.
바로 어떠한 자연현상들을 설명할 수 있는 수학 방정식으로 바뀌어 버렸다는 것인데, 가령 물탱크에 물을 가득 채운 후, 물탱크 측면 하부에 구멍을 내어 분출되는 물줄기의 거리를 시간적으로 관찰했더니, 자연상수 e가 만드는 지수함수 방정식과 일치 하더란다.
그 활용형태는 아래의 그림과 같다.
(자연상수의 지수함수형)
그 중에서도, 위의 그림에서 밑 부분 그래프를 주목해서 보길 바란다.
해당 그래프의 x값을 '시간'으로 바꾸어 보면, 우리 전기공학에서 다루는 과도현상을 설명할 수 있다. 관련 세부 내용은 본인의 블로그를 참고해도 될 것 같다.
e^(-x) 형태는 전기공학에서 꼭 알고 있어야할 그래프이다. 그것은 자연현상을 설명하는 그래프이다.
1-2. i(허수항)과 복소평면
허수항이 있는 복소평면을 설명하기 위해, 여기에 우리가 항상 보는 시계를 가져와 봤다. 시계를 정면에서 볼 때, 시침과 분침이 보인다. 그 속도들은 항상 일정하고 일반적으로 분침의 길이가 더 길다. 그래서 정면으로 시계를 보면, 정확한 시간을 읽을 수 있다.
?
하지만, 이제 우리는 그 시계를 정면이 아닌, 측면에서 보도록 하겠다. 여기서부터 복소수의 개념이 시작되기 때문이다.
측면에서 볼 때, 시침과 분침은 회전운동이 아닌, 상/하 왕복운동을 하는 것을 볼 수 있고, 그 진동 주파수는 코사인파로 시작(12시 정각에 회전 시작)하여 분침의 주파수가 더 높다라는 것을 쉽게 알 수 있다.
잘 알다시피, 등속 원운동을 측면에서 본다면 상/하 진동운동이 되며, 그 것은 코사인과 사인파로 설명이 된다.
(시계를 측면에서 본 시/분침의 진동특성)
그렇다면, 이제 문제를 내보겠다.
애초에 어떠한 시간이 있다고 가정하고, 그 시계를 정면이 아닌 측면에서 먼저 본다면,
1. 그 시간을 정확히 알 수 있는가?
2. 그리고, 시침과 분침의 길이를 가늠할 수 없는 위치에 그것들이 있다면, 최소한 시침과 분침을 구별할 수는 있겠는가?
시계방향으로 회전한다는 조건만으로는 정확히 그 시간을 알 수가 없다. 왜냐하면, 측면에서 시간을 본다면 두 가지 경우의 수가 생기기 때문이다.
아래의 그림을 본다면 대충
1. 9~12시 사이
2. 12~3시 사이가 될 것이다.
하지만 정확히 알 수 없다.
이 문제를 풀기 위해, 한 가지 조건을 추가 해보겠다.
"원하는 방향의 또 다른 한쪽 측면을 볼 수 있다."
단, 한번에 한쪽 측면만 볼 수 있다.
그럼 어느쪽을 볼 것인가? 바로, 아래쪽에서 봐야 한다.
(두 개의 측면을 합쳐 볼 때)
그 이유는, 당초에 보았던 측면과 직각을 이루는 다른 측면에서 봐야 정확한 위치를계산해낼 수 있기 때문이다. "직각"이라는 것이 그래서 중요한 것이다.
?
그렇다면, 이야기를 계속 해보자.
애초에 봤던 측면에서 코사인 그래프를 봤다면, 이번에 본 측면은 처음과 직각이니, 사인 그래프를 그릴 수 있다 하겠다.
이 두 그래프를 조합하면, 우리는 정확한 시간을 계산해낼 수 있다.
(시/분침의 위치을 수식으로 표현하는 방법)
정리해보면, 원운동하고 있는 물체의 위치를 정확히 알기 위해서는 그 운동물체의 회전운동 정면에서 보는 것이 제일 정확하지만, 그 것을 수식의 방정식으로 나타내기에는 쉽지가 않다. 그래서,
물체의 등속 원운동 위치 방정식 = 볼 수 있는 값 + 눈에 보이지 않는 값
으로 표현하는 것이다. 여기서 "눈에 보이지 않는 값"을 허수축에 배치하여 복소평면을 만들어 줌으로써 그 방정식을 표현할 수 있다 하겠다.
그래서, "i(허수축)"이 필요한 것이다.
그런데, 좀 이상한 것이 있다.
우리는 위에서 본 시계방향의 회전이 아니라, 반 시계방향에 익숙해져 있으며, 게다가 12시에서 회전을 시작하는게 아니라, 3시에서 부터 회전을 시작한다는 것에 더 익숙해져 있다.
?
그 이유를 말하려면, 수학의 역사를 봐야 하겠지만, 우리는 정규 교육과정에서 수학과 과학을 배울때, 1~4사 분면과 회전각을 배울때 아래의 그림으로 배워왔다.
그 것은 이런 기초적인 물리현상을 이해하기 위한 기본을 주입 받아 기억하고 이해하고 있기 때문에 별도의 '토'는 달지 말도록 하자.
(우리가 배운 수학/과학의 좌표법)
이제 우리는 3시 방향에서 반시계 방향으로 회전하는 것에 익숙해져야 한다.
그 것이 모든 것의 시작점이다.
1-3. π(원주율)
원둘레의 길이와 관련된 것은 아주 기초적인 부분이라 설명을 생략하려 했지만, 도무지 감이 잘 오지 않는 분들이 많을 것 같아 추가 설명을 한다.
반지름이 각각 1,2,3 인 원들이 있다.
그 반원둘레의 길이는 각 반지름에 3.14... 배를 곱하면 된다. 이것도 위대한 수학자가 발견한 수로, 자연상수와 마찬 가지로 "무리수"이다.
자연상수 만큼이나 신기한 수로, 우리는 그 것을 원주율이라 부른다.
(원주율의 개념)
그런데, 3.14... 라는 숫자 말고, 180도 라고도 정의 한다.
왜일까?
?
반지름 1인 반원이 있다고 가정하자.
반지름 1에 3.14..배를 곱하니, 반원이 생겼다.
이 때, 3.14..를 반으로 나누었더니, 90도 직각을 이루는 호가 생겼다.
이 때, 3.14..를 또 반으로 나누었더니, 45도를 이루는 호가 생겼다.
(π를 각도로 사용)
그래서, π를 둘레의 길이로 말할 수도 있지만, 각도로 나타내도 전혀 문제가 없다는 사실을 알아냈다.
이렇게, π는 원의 각도와 둘레의 길이를 표현하는 아주 중요한 수이다.
2. 회전운동의 좌표 표현
이제 오일러 공식이 의미하는 법을 차근차근 해석해 나가보자.
(자연상수, 허수축, 원주율의 의미)
여기서 자연상수, 허수축, 원주율을 하나씩 형상화 시켜보고,
그 것들을 합쳐보자.
(시간에 따른 원운동 물체의 좌표 변화)
1. i(허수축)을 이용해, 복소평면을 펼쳐 놓고,
2. 그 위에 π(원주율/각도)를 이용해 원을 그린다음,
3. 위의 두놈을 '자연상수'의 지수로 적용하면,
등속 원운동을 하는 물체의, 시간에 따른 위치 방정식을 표현할 수 있다.
그리고, 시간에 따른 등속 원운동의 실제 모형은 아래와 같다.
아래와 같은 그림을 2차원적인 x-y값 좌표로 표현할 수 없으니, 복소평면으로 원운동을 정의하고, 또 다른 시간축을 하나 더 만들어 "3차원 방정식"으로 표현을 할 수 있다는 이야기다.
(출처: google)
3. 지극히 수식적인 유도, 그리고 모양
이제 위에서 오일러 방정식의 "모양"을 보았으니, 수식적으로 그것을 하나씩 유도해보기로 하겠다.
어려운 것이 아니니 쫄지 말길 바란다.
(이해하고 나면 별거 아닌데, 그 과정이 참 빡시다.)
수식 유도를 위해, 이항을 통해, 식을 간소화 시켜보자.
첫번째로 자연상수의 지수에 원주율을 넣어보자. 솔직히 자연상수의 지수로 π를 집어 넣고, 계산한다는 것은 인간이 할 짓은 아닌 것 같다.
어찌됐든 이자율식을 대입해서, 해당 식을 전개해 나가보자.
'nπ=A' 라고 함에, 뭐라고 하는 사람도 있을 수 있겠지만, 어찌됐든 간단히 표현을 바꾸어 핵심적인 내용이 무엇인지 보려고 하는 시도는 이해해야 한다.
?
위의 전개방식으로 얻어진 수에 양변에 π가 들어가는 부분이 똑같이 적용된다라는 가정하에 똑같이 i를 집어 넣어 보자.
(i, 허수축을 양변 변수에 똑같이 적어보자)
좌변에는 지수에 i를 곱했고, 우변에는 π에 i를 곱했다.
이것은 좌/우변에 서로 상쇄되는 i를 곱한 것이 아니라, π라는 특성에 i를 적용하여 그 특성을 똑같이 해준다는 의미임을 이해해야 한다.
여기까지 식의 전개를 마치고, 잠시 한가지 생각해보고 넘어가야 할 것이 있다.
바로, 복소수의 곱이다. 우리는 지금까지 복소수의 곱을 수식적으로만 풀어왔다. 실제 수식으로 풀어지는 복소수의 곱을 굳이 다른 각도로 연구할 필요는 없었지만, 오일러의 공식을 이해하기 위해 '복소수의 곱'의 형상적 이해를 시작해야 한다.
두 개이 복소수가 있고, 이 두개를 곱해보자.
두 개의 복수소가 그리는 삼각형이 각각 존재하며, 복소수의 곱은, 한 삼각형을 기준하여, 그 빗변 위에 다른 삼각형의 한쪽 꼭지를 원점에 맞추어 올려놓고, 기준이 되는 삼각형의 빗변 끝점까지 닿도록 빗변 위의 다른 삼각형의 밑변을 확장 해서 얻어지는 최고 윗점의 꼭지 좌표가 바로, 그 의미임을 기억해야 한다.
두 개의 각을 더하는 의미가 바로 이런 원리로 작용한다.
(이것은 굉장히 중요한 것이다. 여러 자료를 통해 이해하고 넘어가야한다.)
이제, 복소수의 곱을 형상적으로 이해했으니, 오일러의 공식에서 나오는 복소수의 곱을 형상화 시켜보자.
아래 식의 우변의 'A승'은 밑을 A번 곱하는 복소수의 곱 형태이며,
위에서 배운 '그 형상적 이해'를 기준해서 그림을 그리면 아래와 같다.
이에, A값을 더 크게 하여 그림을 그려보면, 그 삼각형의 높이가 점점 줄어들고,
A값을 더 크게 하여 그림을 그려보면, 그 삼각형의 높이가 아주 작은, 그래서 그 빗변과 밑의 길이가 같아서, 같은 모양의 삼각형을 하나씩 쌓아 올리는 형상으로 그 복소수의 곱이 성립됨을 알 수 있다.
각각의 삼각형들은 원점을 기준으로 둥그렇게 쌓아 올려져 가며, 그 횟수는 π를 A번 나누어 곱해가는 형식이므로, 결국 끝까지 곱해버리면 그 종착점은 π가 되고 만다는 결론에 이른다.
그런데, 복소평면에서 π는 무엇인가?
그 복소좌표로 표현하면, (-1+i0) = -1 이다.
뭔가 어리둥절하게 이해가 되는듯 마는듯, 그 식의 값이 -1이 되어 버린다.
하지만, 이것은 완벽하게 오일러의 공식이 증명된 것이다.
형상적으로 이해를 해야, 식을 이해할 수 있다.
(오일러이 공식은 복소평면에서 원운동하는 것과 관계가 있다.)
4. 오일러 공식을 왜 전기에서 사용하나?
오일러이 공식은 복소평면에서 등속 원운동하는 물체의 위치 방정식이다.
그 것은 우리 전기공학에서는
발전기 내에 회전하는 코일에서 순간순간 유기되는 전압의 크기(코일의 위치)를 나타내는 방정식이며,
그 방정식은 우리가 흔히 사용하는 2차원 방정식(x-y)에서 표현할 수 없어,
복소평면 위에, 등속 원운동의 조건을 만들고, 시간에 따른 변화 추이를 볼 수 있도록 만들어 놓은 것이,
바로 '오일러의 공식'인 것이다.
(발전기 내의 회전코일에서 유도되는 전압의 방정식)
우리 인간은 앞에 있는 것 밖에 볼 수가 없다.
시간은 흐르지만, 그때 그때의 장면밖에 못 본다는 말이다.
단순히, 직선 운동을 하는 물체의 위치 방정식을 만들어 본다면, 시간과 거리의 2차원적 방정식으로 표현이 가능하다.
하지만, 그것이 원운동이라면 문제가 달라진다.
원 운동은 가로/세로 그 좌표가 있고, 시간에 따라 그 좌표가 달라진다.
그렇다고, 가로/세로/시간 축을 만들어 3차원 입체로 만들어도 문제가 되는 것이, 그것은 공간을 나타내는 것이지, 운동하는 물체의 위치를 나타내는 것이 아니다.
그래서, 인간은 인간이 인지할 수 없는 또 다른 측면(허수축)을 만들어 평면을 만들어 내고, 그 평면에서 원운동(사인+코사인)하는 물체를 놓고, 시간에 따라 변화하는 량을 계산하기 위해 그 어려운 식을 만들어 낸 것이다.
고로, 복소평면에 표현되는 좌표는 모두가 회전운동을 하는 물체라고 가정할 수 있다는 말이다
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오일러의 공식은 실수 에 대해 다음 등식이 성립한다는 것입니다.
그러니까 오일러 등식은 위 식의 에 를 대입하면 얻어지는 식인 셈이죠.
지수함수와 삼각함수가 허수단위 를 통해 연결되고 있네요.
위 식의 설명에서 를 실수로 한정했지만, 실제로는 가 복소수가 되어도 성립합니다.
위 식이 '공식'이라고 언급이 되어서 증명을 해야 할 것처럼 보이지만, 위 식은 복소수 지수를 정의하는 기본식입니다.
단지, 오일러가 위 정의식을 이끌어내는 과정에서 지수함수와 삼각함수의 성질을 활용하기는 했지만, 위 식은 역사적 발전과정을 통해보면 공식이 아니라 정의식입니다.
1702년, 요한 베르누이는 그의 책 "Solution d'un probleme concernant le calcul integral, avec quelques abreges par rapport a ce calcul"에서 등식
과 적분공식
을 통해 로그의 정의역을 복소수 범위까지 확장할 수 있는 가능성에 대해 생각을 했었습니다. 기록에는 없지만 대산 를 쓰는 것이 어려운 일은 아니라 아마 계산을 해보았을 것입니다. 우리도 한 번 해보죠. 물론, 어디까지나 복소수에서 정의가 가능할지 어떨지 소심한 상태의 베르누이 입장에서 입니다.
베르누이가 마지막 식을 보고 고민이 많았을 것은 당연해 보입니다. 왜냐하면 우변의 로그 안의 숫자는 아무리 봐도 항상 크기가 1인 복소수거든요. (사실, 이 당시에는 복소수의 크기에 대한 개념도 없었습니다.) 베르누이는 이 문제에 대해 오일러와 서신을 주고받았는데, 이 과정에서 오일러는 로그를 다가함수(multi-valued function)로 정의해야 한다는 것을 알아가기 시작합니다.
뉴튼의 프린키피아 제2판의 교정을 봐준 것으로도 알려진 영국의 수학자 로저 코츠(Roger Cotes)는 1714년 다음과 같은 등식을 발견합니다.
어떤 면에서 옳은 식이기는 하지만, 당시 개념으로 봤을 때 이것도 문제가 있는 식이었습니다. 우변은 주기함수가 확실한데, 좌변은 주기함수가 아니거든요. 로저 코츠는 이 문제를 해결하지 못했습니다. 그도 로그가 다가함수라야 한다는 사실을 알지 못했던 것입니다.
1748년, 오일러는 그의 책 INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM VOL. 1에서 유명한 그의 오일러 공식을 발표합니다.
이전 세대 수학자들이 로그에서 문제를 겪던 것을 관점을 약간 바꿔서 해결한 것이죠.
아래 사진은 오일러의 해당 페이지를 영역한 것입니다.
무한대로의 극한과 복소수 사용법이 요즘과 좀 다르네요.
이 식으로 임의의 복소수지수값을 계산할 수 있게 되고, 로그 문제도 해결이 됩니다.
이 식의 기하학적 해석은 이로부터 50년이 지나서 Casper Wessel에 의해 복소평면이 도입되기 시작하면서 이루어지게 됩니다.