도형수
피타고라스 학파에서는 수를 도형으로 생각하는 도형수(figulate number)의 연구가 활발하게 이루어져 있다. 수들을 기하학적 배열에서의 점의 개수로 나타내어 삼각수(triangular number), 사각수(square number ), 오각수(pentagon number)에 대한 기하학적 이름이 붙여져 있고 자연수의 합이라든가 홀수의 합 등을 도형수를 이용해 증명하는 방법을 사용했다
정삼각형 모양에 배치될 수 있는 수나 정사각형에 배치될 수 있는 수처럼 아름다운 도형으로서 나타내어지는 수에 대해 알아보고 이러한 도형수가 수학적으로 수열과 관련되어 복잡한 식을 간단히 하는데 큰 도움을 준다는 사실을 여러 가지 문제를 통해 알아보고자 한다.
도형수의 규칙 찾기
1. 삼각수(triangle number)에 대한 규칙을 알아봅시다.
일정한 크기의 동그라미를 정삼각형 모양으로 늘어서게 하여 나타낼 수 있는 수를 삼각수라고 한다.
이 때, 첫 번째 삼각수를 , 두 번째 삼각수를, …라고 하면
= 1
= 1 + 2 = 3
= 1 + 2 + 3 = 6
= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
이다.
위의 규칙을 이용하여 여섯 번째 삼각수 을 구하여라.
② 위의 을 가우스의 계산 방법을 이용하여 계산하여라.
③ n번째의 삼각수 을 가우스의 방법으로 계산하여라.
☞ 삼각수는 초항이 1, 공차가 1인 등차수열, 즉 자연수를 항으로 하는 수열의 제 n항까지의 합 을 제 n항으로 하는 수열, 1, 3, 6, 10, 15,…이다.
④ 위의 문제 ③을 이용하여 1에서 16까지의 자연수의 합을 구하여라.
2. 사각수(square number)에 대한 규칙을 알아봅시다.
정사각형 모양으로 배치될 수 있는 수를 사각수라고 한다.
이 때, 첫 번째 사각수를 , 두 번째 사각수를, …이라고 하면
= 1
= 1 + 3 = 4
= 1 + 3 + 5 = 9
= 1 + 3 + 5 + 7 = 16
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
이다.
위의 규칙을 이용하여 여섯 번째의 사각수을 구하여라.
1부터 홀수를 차례로 더하면 그 합이 사각수, 즉 제곱수가 된다. 여섯 번째 사각수는 = 36이 된다.
위의 규칙을 통해 n번째의 사각수을 구하여라.
☞ 이 때 n 번째의 사각수 은 홀수들의 합을 나타내며 제곱수(=)가 됨을 알 수 있다. 즉 사각수는 초항이 1, 공차가 2인 등차수열(즉, 홀수를 항으로 하는 수열)의 초항에서 제 n항까지의 합 을 제 n항으로 하는 수열. 1, 4, 9, 16 ,25, 36, …이다.
1. 오각수(pentagon number)에 대한 규칙을 알아봅시다.
정오각형 모양으로 배치 될 수 있는 수를 오각수라고 한다.
1 5 12 22
첫 번째 오각수를 , 두 번째 오각수를, …라고 하면
= 1
= 1 + 4 = 5
= 1 + 4 + 7 = 12
= 1 + 4 + 7 + 10 = 22
이다.
위의 규칙을 통해 n번째의 오각수 을 구하여라.
☞ 오각수는 초항이 1, 공차가 3인 등차 수열의 초항에서 제 n항까지의 합 을 제 n항으로 하는 수열 1, 5, 12, 22, 35, …임을 알게 한다.
도형수 사이의 관계 알아보기
1. 삼각수와 사각수 사이의 관계를 알아봅시다.
아래 그림은 삼각수와 사각수 사이의 관계를 나타낸 것이다. 어떤 사실을 알 수 있는가?
☞ 임의의 사각수는 연속하는 두 삼각수의 합이다. 즉, = 이다.
연속하는 두 삼각수의 합이 사각수가 되는 이유를 (n-1)번째 삼각수의 그림과 n번째 삼각수의 그림을 거꾸로 붙여 = 임을 설명하여라.
그림과 같이 정사각형모양으로 배열된 원의 개수는 여러 가지 식으로 나타낼 수 있다. 그림과 같이 점선으로 묶으면 (1+3+5)×4는 가로 (5+1), 세로 (5+1)의 곱과 같다. 즉,이다.
그러므로 이 된다.
위의 사실을 이용하여 n번째까지의 홀수의 합을 구하여라.
2. 오각수와 삼각수 사이의 관계를 알아봅시다.
① n번째의 오각수 은 n-1번째 삼각수의 3배와 n과의 합임을 이용하여 구하여라
☞ 왼쪽의 그림은 의 그림이다. 이것은 3번째 삼각수 3개와 4개의 점으로 이루어져 있다는 것을 학생들에게 설명하고 일반항을 구할 수 있도록 유도한다.
=
3. 오각수와 삼각수, 사각수 사이의 관계를 알아봅시다.
① n 번째 오각수 은 n-1번째 삼각수와 n 번째 사각수의 합임을 이용하여 구하여라.
☞ 왼쪽의 그림은 의 그림이다. 이것은 3번째의 삼각수 1개와 4번째의 사각수의 합으로 이루어져 있다는 것을 학생들에게 설명하고 일반항을 구할 수 있도록 유도한다.
=
사각수를 이용해 피타고라스의 수 생성하기
피타고라스 정리를 만족시키는 자연수의 순서쌍 의 개수는 몇 개일까? 세 자연수 가 이라는 관계를 만족시키고 있을 때, 를 피타고라스 수라고 한다.
3, 4, 5 와 5, 12, 13 이 피타고라스 수라는 것은 잘 알려진 사실이다.
또한, 3, 4, 5 가 피타고라스 수이면 이들 각각을 2배한 6, 8, 10 도 피타고라스 수이고, 3배한 9, 12, 15 도 피타고라스 수이므로 일반적으로 자연수를 k배한
3k, 4k, 5k 도 피타고라스 수임은 명백하다.
따라서 3, 4, 5 라는 한 쌍의 피타고라스 수로부터 무한히 많은 피타고라스 수를 만들어낼 수 있다.
그러면 이렇게 분명한 경우들( 한 쌍의 피타고라스의 수를 자연수 배한 경우 )을 제외하고 피타고라스의 수는 모두 몇 개나 있을까?
피타고라스는 이렇게 분명한 경우를 제외하더라도 피타고라스의 수가 무수히 많이 있음을 홀수의 합이 사각수가 된다는 것을 사용하여 증명하였다.
먼저 다음과 같은 두 식을 살펴보자
에서 첫 번째 식을 두 번째 식에 대입하고 이라는 것에 주의하면
이므로, 3, 4, 5 라고 하는 피타고라스 수를 얻게 된다.