|
리만 기하학 Riemannian geometry 타원기하학이라고도 하며, 유클리드의 의 5번째 공준을 완전히 부정하고 2번째 공준마저 수정한 비유클리드기하학의 하나 유클리드의 5번째 공준에서는 주어진 직선 밖의 한 점을 지나고 이 직선과 평행한 직선은 오직 하나지만, 리만 기하학에서는 주어진 직선과 평행한 직선은 존재하지 않는다. 유클리드의 2번째 공준에서는 유한한 길이를 갖는 직선을 한없이 계속 확장할 수 있는데 이는 리만 기하학에서도 마찬가지이며 특히 이때 모든 직선의 길이가 같다. 그러나 리만 기하학은 다른 3가지 유클리드의 공준을 인정한다(→ 쌍곡기하학 리만 기하학의 몇몇 정리만이 유클리드 기하학의 정리와 같을 뿐 대부분은 다르다. 예를 들어 유클리드기하학에서 두 평행선은 모든 점에서 거리가 서로 같으나, 리만 기하학에서는 평행선이 존재하지 않는다. 유클리드 기하학에서 3각형 내각의 합은 180°이나 리만 기하학에서는 180°보다 크다. 유클리드 기하학에서는 면적이 다른 다각형들끼리 서로 닮은꼴일 수 있으나, 리만 기하학에서는 면적이 다르고 서로 닮은 다각형이 존재하지 않는다. 비유클리드 기하학에 관한 업적은 1830년경에 처음으로 출판되었으나, 1866년 이 개념을 2차원에서 3차원, 또는 그 이상으로 확장시킨 독일의 수학자 베른하르트 리만에게는 이 출판물이 알려지지 않았었다. 또 독일의 수학자 펠릭스 클라인은 나중에 타원공간(극)과 이중 타원공간(대심)을 구별했다
|
갑자기 또래 아이들에 비해 똑똑한 학생이 엄마에게 이렇게 묻습니다.
"엄마 평행선은 항상 만나?"
"아빠, 삼각형의 세 내각의 합은 항상 180도 야?"
"선생님, 2각형은 없는 거 맞지요?'
중학생도 다 아는 너무 쉬운 질문이라.. 별 고민없이 답변을 해줄 수 있을 것이다. 우리의 인간은 이러한 당연한 질문에 수천년간 별 의심없이 쉽게 생각했는지 모른다. 마치 뉴튼역학이 너무나 명쾌해서 반론이라는 것 자체를 아예 그누구도 생각지도 못했었던 것 처럼말이다.
유클리드 평면이 아닌 구면에서는
구면상에서의 모든 직선은 반든 만날 수 밖에 없습니다. 즉, 구면상에서는 평행선은 존재하지 않습니다.
물론, 왼쪽에서 녹색도형은 "이각형"입니다.
실제로 우리가 사는 지구는 평면이 아니라 구면이기에 항공기가 필요한 기하학은 유클리드 기하학이 아니라 구면기하학입니다.
우리가 학교 다닐 때 배웠던 기하학은 모두 유클리드 기하학이다. 우리의 답변도 유클리드 기학학이라는 테두리 안에 있을 것이다.
유클리디안 평면에서 평행선이 만나지 않는 것을 즘명하는데 인간은 천 년이라는 시간이 필요하였다. 인간에게 무한이라는 버거운 문제를 너무 빨리 만났기 때문이다. 그 쉽지 않은 상대인 무한대의 개념은 근대에 가까와서야 인간이 다룰 수 있는 대상이 되었다. 무한대에 대한 개념의 정립이 확실하지 않았기에 많은 파라독스 시리즈가 탄생했었다. 유클리드 다섯번째 공리(증명없이 무조건 맞다는 사실)인 "평행성 공리"를 보면 "직선 밖의 한 점을 지나면서 주어진 직선과 평행인 직선은 오직 하나이다" 라고 되어있다. 유클리드는 이것을 그의 다섯번째 로 정하였지만 찜찜함은 있었으리라 생각한다. 결국 인간의 그 애매한 5번째 공리 때문에 일찍부터 추상화라는 사실을 만났는지 모르겠다. 실제로 다섯번째 공리를 증명하려는 인간의 시도는 장엄한 역사적 드라마이기도 했다.
19세기 중반부터 시작된 비유클리드 기하학은 시작되었다. 유클리드의 5번째 공리를 부정하면 재밌는 사실을 알게되었다. 당시로서는 거의 충격에 가까웠다. 실제로 수학사적으로도 대단한 파장을 일으켰다. 다섯 번째 공리를 부정해도 모순이 생기지 않는 다는 것이다.
시기적으로 쌍곡기하학이 먼저 나오게 된다. 쌍곡기하학에서는 "직선 밖의 한 점을 지나면서 주어진 직선과 평행인 직선은 무수히 많이 존재한다"라고 가정하고 출발한다.
"평행선은 존재하지 않는다"라고 가정하고 출발한 새로운 기하학이 "구면기하학"이라고 한다 , 즉, 두 직선은 모두 만난다는 것이다. 즉, 직선 밖의 한 점을 지나고 그 직선과 만나지 않는 직선을 그을 수는 없다는 것이다.
구면기하학(리만기하학)