모든 다항식은 복소수 범위에서 일차식의 곱으로 인수분해된다.
n차 다항식은 복소수범위에서 n개의 근을 갖는다.
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위 대수학의 정리를 어떻게 증명할 것인가?
쉽게 말해서 모든 사물의 관계는 방정식으로 표현된다는 것인데
이를 수학적으로 표현한 것이 바로 대수학의 정리라고 할 수가 있다.
플라톤은 이를 지성적인 구성물론 더나가서는 필연의 산물로 파악한 것이다.
동양에서는 방정식이라는 개념으로 정립한 것이고 인도에서는 알지브라 즉 이항의 개념으로 정립하였다.
현대에서는 연산즉 컴퓨터작동처럼 작동한 것이다.
아무튼 방정식이 왜 성립하는 가를 증명하라고 하면 막막하기도 할 것이다.
딱히 그 증명을 생각해보진 않았으나..
여기서는 대수학의 정리로 간단하게 증명해보자는 겁니다.
즉 다음의 최대절댓값정리, 루셰정리를 써서 추상적이지만 간단명료하게 증명합니다.
암튼, 다항식을 두 식의 합으로 표현하고 루셰정리를 적용하면 대수학의 기본정리를 간단하게 확인할 수 있다.
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가우스에 의한 대수학 정리 증명
n차 대수방정식은 n개의 복소수의 근을 가진다 라는 명제는 비교적 증명하기 쉬운편에 속하나,
복소수 체(field of complex numbers)는 대수적으로 닫혀있다(algebraically closed)는 좀 어려운 편에 속합니다.
내용은 복소수 체가 연산법칙을 완전히 보존한 체(field)로 더 이상 확장불가능 하다 (즉, 더 이상 확장하면 체(field)의 성질을 만족하지 않는다)는 명제입니다. 물론 확장한 집합이 체가 아니라면 확장이 가능합니다.(예를 들어 4원수(quartanion)가 있습니다.)
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사실 두 명제가 어떻게 관련이 되는지 모르겠네요. 첫번째를 증명하고 나서, 그 뒤에 수학자들이 연구해서 두 번째를 증명한 것이 아닌가 생각됩니다. 제가 본 두 명제의 증명방법이 워낙 달라서요.
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두번째 명제 증명은 최소한 수학과 3학년 전공인 대수학을 완전히 배우고 나서 그 뒤에 약간 더 배워야 완전한 이해가 가능하므로, 일단 생략합니다.(집에 있는 자료 중에 어디 있는지 잘 생각이 안난다는...ㅡ.ㅡ)
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첫째 명제는 역시 복소함수론(수학과 대학년 3학년과목)의 중간쯤만 알면 이해가능합니다. 그 외에 위상수학을 이용한 증명(역시 수학과 3학년 과목인 위상)도 있습니다.
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여기서는 가장 이해하기 쉬운 복소함수론을 이용한 증명을 소개합니다.
(단, 이해가 안가더라도 너무 상심하지 말기를... 수학이나 물리학 전공해서 복소함수론을 배워야 정확히 이해할 수 있습니다. 과목 자체야 쉬운편에 속합니다만, 복소함수라는 개념자체가 이미 대학에서 배우는 과정이니까요.)
가우스(Gauss) (1777~1855)는 1799년의 박사학위 논문에서
대 수학의 기본정리를 발표하여 이를 해결하였다.
“계수가 복소수인 n차 대수 방정식"
a0xn +a1xn-1 + … + an-1x +an = 0 (a0≠0, n≧1)
은 복소수의 범위 안에서 반드시 근을 가진다.
이 정리와 인수정리를 쓰면,
“ n차 대수방정식은 n개의 복소수 근을 가진다.” 는 것을 안다.
이것을 오늘날에는
"복소수 체(體)는 대수적으로 닫혀있다.” 라고 표현된다.
여기서 체(體)라 함은 가감승제의 사칙 연산에 관하여 닫혀있는 수의 집합을 뜻하는 것이다.
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[정리1.] 모든 다항식(다항함수)은 복소평면에서 적어도 하나의 0점(즉 해)을 갖는다.
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어떤 차수가 1이상인 다항식 P(z)가 복소평면에서 결코 0이 되지 않는다고 가정을 하자.
그렇다면, 1/P(z)는 모든 복소평면에서 미분가능하다.(holomorphic on entire plane 이라 하는데, 실제로 복소함수가 미분가능하다는 것과 Tayler 급수 전개 가능하다는 것이 동치입니다.) 왜냐하면, 분모가 0이 되지 않기 때문에...
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그렇다면, z가 무한대로 갈 때 1/P(z) 는 0으로 수렴한다 (이건 증명하지 않겠습니다. 여기서 중요한 것은 z값에 관계없이 수렴한다는 것입니다).
따라서, 어떤 양의 실수 R에 대하여, |z|>R 이기만 하면, |P(z)|<1 을 만족한다.
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물론, 1/P(z) 는 전구간에서 연속이고, 복소평면 전체에서 유계(bounded)한 미분가능함수이다.
따라서, Liouville(리우빌)의 정리에 의해서, 1/P(z) 은 상수함수가 된다. 그러므로,
P(z) 또한 상수가 되어 주어진 가정에 모순된다.//
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[정리2.] 대수학의 기본정리
정리1에 의하여 차수 n(1보다 크거나 같은 정수)인 다항식에서 하나의 근이 존재함을 보였다. 이 근을 z_1 이라고 하자. 그렇다면, P(z)/(z-z_1) 은 n-1 차 다항식이 될 것이다. 차수(n-1)가 역시 양수라면, 앞의 정리1 을 또 적용할 수 있다.
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따라서, 정리1을 n번 적용하면 정확히 n개의 근이 복소평면에 존재함을 알 수 있다.
(물론, 중복되는 것을 따로 센다는 가정하에서 그렇습니다.)//
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여기서, 정리1을 증명하는 가장 핵심적인 정리인 Liouville(리우빌)의 정리에 대해서 증명합니다.
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[증명3.] 리우빌 정리
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f(z) 가 복소평면 전체에서 미분가능하고, 어떤 적당한 양의 실수 M이 존재하여 부등식 |f(z)|
여기서 모든 복소수 z에 대하여 f'(z)=0 임을 보이면 충분하다. 임의의 실수 z_1을 선택하면, Cauchy's inequality(코오시의 부등식)에 의해서,
임의의 실수 r에 대하여 |f'(z_1)|
|f'(z_1)|=<0 이 됨을 알 수 있고, 따라서 f'(z_1)=0 이 된다. 여기서 z_1을 임의로 선택했으므로, 모든 z에 대하여 f'(z)=0 이 된다.
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그러므로, f(z)는 상수가 된다.
요약
일반적으로는, 수나 기타 형식의 사항을 문자로 나타내어, 방정식 등의 문제를 풀거나 사칙연산의 방법 등을 추상화하여 연구하는 수학의 한 분야. 대수학의 영어 명칭인 algebra의 어원은, 아라비아의 수학자 알콰리즈미의 저서 《알자브르와 무콰발라의 산법(算法) 적요(摘要)》의 알자브르(al-jabr;변형·이항을 뜻한다)인 것으로 알려져 있다.
내용
일반적으로는, 수나 기타 형식의 사항을 문자로 나타내어, 방정식 등의 문제를 풀거나 사칙연산의 방법 등을 추상화하여 연구하는 수학의 한 분야. 대수학의 영어 명칭인 algebra의 어원은, 아라비아의 수학자 알콰리즈미의 저서 《알자브르와 무콰발라의 산법(算法) 적요(摘要)》의 알자브르(al-jabr;변형·이항을 뜻한다)인 것으로 알려져 있다. 넓은 뜻으로는, 대수학에는 ① 대수방정식의 해법 및 연립방정식의 해법에 관한 사항을 중심으로 하는 ＜고전(古典)대수학＞ ② 추상적인 군(群)·체(體)·환(環) 등의 대수계(代數系)를 중심으로 한 ＜추상(抽象)대수학＞ ③ 정수론(整數論)·대수기하학 등에서의 연구방법이 앞의 ② 의 방법과 깊은 관련성이 있는 분야가 포함된다. 한편, 좁은 뜻으로 대수학이라 하면, 주로 앞의 ② 의 추상대수학을 말하며, 또한 이것이 바로 ＜현대대수학＞에 해당한다.
1 대수학의 역사
대수학의 첫 과정인 수의 기호표기는 이미 기원전에 인도·중국·아라비아·이집트·그리스 등 고대문명국가에서 시작되었다. 그리고 중국에서는 음수(陰數)를 사용하였고, 연립일차방정식의 해법도 알려져 있었다. 바발로니아에서는 기원전에 이차방정식의 해법이 알려져 있었지만, 음수, 음의 근(根)까지는 고려되지 않았으며, 서양에서는 이런 상태가 16세기 무렵까지 계속되었다. 그리스에서는 BC 4∼3세기에 이차방정식을 작도(作圖)에 의해 풀었는데, 1세기 무렵에는 이것을 계산에 의해 풀 수 있게 되었으며, 3세기에는 부정(不定)방정식도 다루어지게 되었다. 인도에서는 6세기 무렵에 비로소 이차방정식의 해법이 발견된 것으로 알려져 있다. 이상과 같은 고대의 고전대수학은 그 후 완만하게 발전했으며, 13세기에 중국에서 고차(高次)방정식의 수치해법을 다루게 되었고, 16세기에 이르러 유럽에서도 이 분야에 관한 연구 등 대수학의 각 분야에서 급속한 진전이 시작되었다. 이러한 진전 중에서도 첫째로 꼽을 수 있는 것은, 페로(Scipione del Ferro)에 의한 삼차방정식의 해법의 발견과, 이것에 이어진 L. 페라리에 의한 사차방정식의 해법 발견이다. 또 둘째로는 F. 비에트에 의한 대수학의 체계화와 수식(數式) 표시상의 혁명을 꼽을 수 있다. 즉, 이전까지는 방정식은 문장으로 나타내었고, 비로소 독일에서 ＋, －의 기호가 사용되기 시작했던 것인데, 비에트는 그 ＋, －를 채택했을 뿐만 아니라, 미지수는 모음을 나타내는 문자로 표시하고, 계수(係數)는 자음을 나타내는 문자로 표시하는 등 미지수·계수를 문자로 나타내는 일반방정식을 사용하기 시작했다. 한편, G. 카르다노의 삼차방정식 해법에서는 허수(虛數)가 필요하게 된 점이 당시의 수학자들을 괴롭히기는 했지만, 18세기의 L. 오일러 등이 연산에 허수를 사용하게 되었다. 또 18세기말부터 19세기에 걸쳐서 C.F. 가우스는 복소수(複素數)의 중요성을 명확히 파악함으로써, 가우스평면의 실용성과 더불어 복소수가 실존(實存)하는 수로서의 개념임을 수학자들로 하여금 납득하도록 했다. 그리고 가우스를 포함한 몇몇 학자들은 복소수의 체계를 확립함으로써 그 후의 수학의 발전에 크게 공헌했다. 한편, 고차방정식의 해법탐구의 과정에서 ＜갈루아의 이론＞이 탄생하게 되고 군의 개념이 이루어졌으며, 더 나아가서는 체·환이 정의됨으로써 추상대수학으로 발전하게 되었는데, 이는 19세기 후반부터 20세기 전반에 일어난 대수학상의 획기적인 진전이었다.
2 고전대수학의 대상
고전대수학의 중심은 하나 또는 하나 이상의 미지수에 관하여 더하기·빼기·곱하기·나누기를 한 관계식으로부터 미지수의 값을 구하는 데에 있다. 즉 대수방정식 또는 다원(多元)연립방정식을 푸는 데에 있다. 따라서 다음과 같은 것들이 고전대수학의 대상에 포함된다. ① 소거법(消去法):주어진 연립방정식중에서 두 식을 선택하여 이것을 한 미지수 에 관하여 정리한 것을 라 하고, 이것의 종결식(終結式) ()를 이용하면 이외의 미지수에 관한 관계식 ()=0을 얻게 된다. 즉 이것으로 가 소거되는 것이다. 식이 많을 때의 소거를 위해서는, 를 두번 이상 바꾸어 마련해서 그와 같은 관계식을 만들 필요가 있다. ② 실근(實根)의 수:이것에 관해서는 ＜스튀름의 정리＞가 있는데, 이것을 간추려 설명하면 다음과 같다. 실수(實數)계수의 다항식
()=＋…(≠0)
에 대해
,
이라 정하고, 1에 대해 ()를 ()로 나눈 나머지(次數는 ()의 次數보다 작다)에 －1을 곱한 것을 ()라 정한다. 다만 나머지가 0이면, 을 만들지 않고 를 마지막 것으로 한다. 이상과 같이 해서 이루어진 열(列)이 (), (), … , ()이면 다음과 같이 말할 수 있다. ()≠0, ()≠0, ＜일 때, ()=0의 실수해(實數解)이면서 와 사이에 있는 것의 개수(똑같지 않은 것들의 개수이며, 重根이 있는 경우에 중복도 수는 세지 않는다)는 와 같다. 여기서 각 실수 에 대해 는, 열 (), ₁(),…, ()에서 0인 것을 지운 열에 있어서, 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 부위의 수이다. 예컨대 열이 1, 1, 0, 1, 0, －1이면 =1이다. ③ 대칭식, 교대식(交代式):방정식의 근과 계수의 관계에 의해,
…의 근 …,
을 취하면,
…,(－1), …(－1)
이 …,의 기본대칭식이고 근의 차곱[差積]
는
,…, 의 교대식이므로, 대칭식과 교대식의 이론은 방정식론과 깊은 관계가 있다.
3 추상대수학
이 분야의 중요한 대상은 군(群)·환(環)·체(體)이지만, 일반적으로 연산조건이 주어진 집합은 모두 추상대수학의 대상이 될 수 있다.