위대한 수리물리학 공식과 오일러 공식

작성자유토피아|작성시간18.06.20|조회수590 목록 댓글 0

1. 피타고라스의 정리(Pythagoras’s Theorem). “직각삼각형의 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 나머지 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형 두 개의 넓이의 합과 같다”는 내용이다. 기하학의 기초를 만든 정리로 이를 통해 측량과 항해 기술이 발달했다.

2. 로그(Logarithms). 로그는 대수(對數)라고도 한다. 정확한 숫자의 곱과 로그의 합 지수와 역함수 관계에 있는 로그는 거대한 수끼리 곱을 가까운 숫자로 계산해 천체 궤도 계산과 계산자 등 과학 발전에 기여했다.

3. 미적분학(Calculus). 극한, 함수, 미분, 적분, 무한급수를 다루는 학문으로 아이작 뉴턴이 창시자다. 수학의 해석학으로 한 분야를 이루는 존재지만 뉴턴은 과학 사상 최대의 논문 가운데 하나로 불리는 ‘프린키피아: 자연철학의 수학적 원리’에서 운동의 법칙을 설명하는 도구로 이용했다.

4. 만유인력의 법칙(Law of universal gravitation). “질량을 가진 모든 물체는 두 물체 사이에 질량의 곱에 비례하고 두 물체의 질점 사이 거리의 제곱에 반비례하는 인력이 작용한다”는 법칙. 1687년 아이작 뉴턴은 케플러의 법칙에 운동 방정식을 적용해 만유인력의 법칙을 발표했다. 이 법칙을 이용하면 지구의 질량도 손쉽게 측정할 수 있다.

5. 복소수(The Square Root of Minus One)는 실수와 허수의 합으로 이루어지는 수를 말한다. 복소수의 탄생은 오늘날 전자기학과 양자역학 발전을 주도하는 계기를 마련하게 됐다.

6. 오일러의 다면체 정리(Euler’s Formula for Polyhedra). “임의의 한 다면체를 구성하는 점과 선, 면이 가지는 관계를 설명한 정리”다. 1752년 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 발견한 것으로 위상기하학이 시작된다.

7. 정규분포(Normal Distribution). 확률과 통계학에서 빼놓을 수 없는 것으로 19세기 최대 수학자로 불리는 가우스가 고안한 것이다.

8. 파동방정식(Wave Equation)은 파동이론 수용을 위해 수학적 표현을 준 것으로 파동 방정식을 풀기 위해 개발한 해법은 편미분 방정식에 대한 이해를 갖게 됐다. 파동이나 음파, 파도, 지진 같은 연구에 쓰인다.

9. 푸리에 변환(Fourier transform). “음성 같은 파형을 기본 주파수와 그 정배수의 각 주파수로 분해하는 것”을 말한다. 푸리에 변환은 가까이로는 음악CD에서 사람의 귀가 듣지 못하는 고주파 영역을 잘라내는 것이나 CT 검사 같은 의료기기에도 응용되고 있다.

10. 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations). 점성을 가진 유체에 대한 일반적인 운동방정식을 말한다. 유체역학에서 사용하는 방정식인 것. 그 뿐 아니라 유체 운동 등 많은 문제를 결정하는 역할을 한다. 실제로 날씨 모델이라 해류, 비행기 날개 주위 유체 흐름은 물론 은하계 별 움직임 같은 걸 설명하는 데에도 쓰일 수 있다. 다만 이 방정식은 3차워 해가 항상 존재한다는 걸 증명하지 못한 상태다. 클레이수학연구소가 이 문제를 포함해 7가지 문제를 푸는데 100만 달러를 내걸었다.

11. 맥스웰 방정식(Maxwell’s Equations). 전기장과 자기장의 관계를 기술하는 4개의 방정식으로 전자기학의 기초가 되는 방정식이기도 하다. 방정식은 전화, 자기장, 자속밀도, 전류밀도 4가지다.

12. 열역학 제2법칙(Second Law of Thermodynamics). 이 법칙은 에너지 이동 방향과 에너지의 질을 묘사한 것으로 열역학 발전에 크게 기여했다.

13. 상대성이론(theory of relativity)도 빼놓을 수 없다. “자연법칙이 관성계에 대해 불변하고, 시간과 공간이 관측자에 따라 상대적이라는 이론”이다. 에너지가 질량과 빛의 속도의 제곱의 곱과 같다는 질량과 에너지의 등가성 발견으로 원자폭탄 개발에 응용됐다. 그 뿐 아니라 핵융합이나 GPS, 우주항공 등 다양한 분야에 활용된다.

14. 슈뢰딩거 방정식(Schrodinger’s Equation)은 양자역학의 기초 방정식이다. 슈뢰딩거 방정식은 반도체 레이저, 원자력 발전 등의 기술에 필수다.

15. 정보이론(Information Theory)은 직관적인 개념을 수학적으로 표현한 것으로 평균 정보량을 열역학을 모방해 엔트로피라고 명명, 정량화했다. 정보이론은 데이터 압축 기술과 네트워크 통신 기술에 응용되고 있다.

16. 카오스 이론(Chaos Theory)은 작은 차이가 무시할 수 없는 큰 결과의 차이를 만들어내는 현상을 가리키는 말이다. 이런 예측할 수 없는 복잡한 문제를 다루는 이론인 카오스 이론은 기상 예측과 금융공학, 인구나 생태계 조사 등에 응용된다.

17. 블랙숄즈모형(black-scholes model). “변동성, 옵션의 권리행사 가격, 만기까지의 기간, 무위험자산의 금리 등, 입수하기 쉬운 다섯 가지 종류의 데이터로부터 도출한 옵션이론”이다. 가격 결정 모델로 옵션의 이론적 가격을 계산하는 데 쓰인다. 현대금융공학의 선구자 격인 방정식으로 꼽힌다.

18. 포토샵 법칙 ctrl C - ctrl V

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오일러 공식

복소평면과 극좌표

고등학생때 복소수를 잠깐 배웠는데, 대학에 들어오며 상당히 놀라운 지식을 배우게 되었다.

복소수를 하나의 기하적인 또는 벡터적인 방법으로 해석을 하는 것인데, 이를 이용하여 좌표계를 나타내는 것이다.

가로축을 실수(real number)축, 세로축을 허수(imaginary number)축으로 해서 복소수 x+iy를 좌표계로 표시하는 것이다.

근데, 1학년 땐 이게 왜 대단한건지 궁금했다. 교수님은 막 신이 나서 설명을 하시고 애들은 왜 교수님이 저렇게 흥분하셨지 하는 표정으로 바라보고.. 군대 갔다 오고 이제 와서야 저게 왜 유용한지를 알게 되었다. (페이저에 대한 공부를 하는데 이해가 안되서 찾아보다가 알게되었다 ㅡㅡ)

일단, 허수를 보기 전에 곱하기와 음수에 대해 생각을 해 보자. 대수적인 관점이 아니라 기하적인 관점으로 보면 곱하기는 회전or 변환 이런 의미를 가지고 있다. 음수는 반대 방향이라는 의미를 가지고 있다. 그림으로 나타 내보면

대강 이렇다. 곱하기는 변환의 의미, 음수는 반대 방향의 의미를 가지고 있다. 회전은 무슨 의미냐면 부호를 바꾸었을 때, 즉 (-1)을 곱했을때 저 빨간색 화살표가 180도 돌아간다는 것이다.

이제 복소수로 확장을 해 보자.

이런 느낌이다. 원래 허수가 이런 용도로 사용하려고 도입한 것이 아니지만, 이런 성질을 응용해 많은 곳에 써 먹을 수 있다.

복소수를 복소평면에 표시를 하고, 곱하기를 도입하면 '회전'이라는 의미로 사용할 수 있다는 것을 알았다. 그런데 이미 회전을 표현하는 좌표계가 있는데, 이를 극좌표계 라고 한다.

극좌표계는 막대기의 크기와 가로축과의 사이의 각도를 본다.

막대기의 길이와, 각도를 표시한다.

이제 복소평면과 극좌표계를 버무리면 다음 그림이 된다.

이렇다. 복소수를 길이와 각도의 관점에서, 회전하는 선분을 복소수의 관점에서 왔다갔다 하면서 연산을 할 수 있게 되었다!

2. 오일러의 공식

가장 아름다운 공식이라고 한다.(학자들에게 설문을 해 봤는지는 모르겠다) 유도 과정은 쉽게 검색 할 수 있으니 넘어가자. 공학도는 수학적 지식을 이용하여 멋진 것을 만들어 내고 해석하면 된다.

가 성립한다고 한다. 유도 과정이야 천천히 보면 그렇게 어렵지가 않은데, 직관적으론 전혀 와 닿지 않는 공식이다. 보통 무슨무슨 공식 이런 게 있으면 직관적인 이해도 같이 해야 하는데, 오일러의 공식은 직관적으로 전혀 이해가 가질 않는다.

오일러의 공식은 사용 하는 곳이 아주 많다고 한다. 그러나 전기전자공학 학부생으로써 저걸 써먹는 곳은 저 위에서 했던 좌표계에 응용하는 것이다. 좌표계에 응용을 하면 여러 연산들을 여러가지 방식으로(따라서 더 쉬운 방식으로) 할 수 있다.

다시 복소평면과 극좌표계로 돌아가자.