위 두가지의 관계식에서 위쪽을 오일러 공식이라고 하고 아래쪽을 오일러 등식이라고 합니다.
공식은 방정식을 풀어내는 환산식이라고하고 등식이란 일종의 관계방법인 것지요
인간이 발견한 가장 위대하고 아름다운 공식이고 등식이라고 합니다.
물리학회지 <피직스 월드>에서 2004년 '과학에서 가장 아름다운 방정식 20개'를 선정했습니다.
독자들의 의견을 반영한 투표에서 오일러공식(항등식)이 다른 후보를 누르고 공동 1위
를 차지했습니다.
또한 <매서매티컬 인텔리전서>에서도 1990년 '수학에서 가장 아름다운 정리'로 뽑힌 경력이 있죠!
과연 오일러 공식의 어떤 점이 아름답기에 전 세계적으로 칭송받는 것일까요?
수학에서 아름답다는 것은 단순함 간결함, 중요성, 놀라움입니다.
오일러 공식에서 오일러 항등식(x=π)이 파생됩니다
오일러 공식에서 파생된 오일러 항등식은 어떤 수를 거듭제곱할 때 0보다 작은 값을 얻을 수 있습니다.
가장 놀라운 일은 제하고 빼기하는 일이 없는데 0 이하의 수가 나온다는 겁니다.
더구나 거듭제곱을 하는데 말입니다.
기존까지 0이하의 수는 운동의 반대방향, 즉백터의 개념으로만 사용된 었습니다.
동양에서는 주로 적자의 개념으로 사용하기도 하였습니다만 실제로 빼기개념이 전제되어야 한 것입니다만 더하기곱하기 제곱을 하는데 0이하의 수가나온다는 것은 너무도 놀라운 현상이고 상상하기 힘든 일입니다.
더구나 이 짧은 공식에 덧셈, 곱셈, 거듭제곱을 모두 포함하고 있습니다.
너무도 놀라운 일입니다. 제하고 빼기가 없는데...
어찌 이러니일이 생기는가를 곰곰ㅎ히 생각하면 혹시 허수의 존재때문이 아닐까 추측해봅니다.
그런데 허수 i 는 상상의 수라고 생각하는데 이러한 상상의 수를 과학에서 왜 사용하는 것일까하고 의문을 가지게됩니다만 이 허수는 인간이 단순하게 상상하는 데 이용되는 수가 아닙니다.
자연의 존재를 현실적으로 인식하는데 아주 중요한 수입니다.
특히 현실적으로 존재하지만 그 크기가 너무 작은 존재들이 전자나 빛알갱이인 광자의 존재들을 수로표현할 경우에는 반드시 사용해야하는 수입니다.
우리는 위 등식을 통하여 허수란 상상의 수 이상이라는 통찰을 할 수가 있을 겁니다.
또한 자연의 존재를 크기 길이 혹은 넓이를 계사하는데 가장 기본적인 수학의 상수인
π(원주율) 과 e(자연상수)를 사용한 것인데 이 두상수는 모두 무리수이며 초월 수입니다.
이 두 초월수이며 무리수인 수학 상수는 우주의 모든 존재를 과학적인 입장에서 수학적으로 계산하는 데 가장 중요한 수입니다.
우주만물의 존재방식을 규정하는 데서 없어서는 않되는 상수입니다.
그리고 0과 1의 수가 등장한다는 놀라움입니다.
이 두수는 덧셈과 곱셈의 항등원이라고 합니다만 수학의 기초를 이루는 수입니다.
즉 이 두수가 없다면 수학이라라는 학문은 존재할 수가 없다는 것입니다.
원주율과 자연 상수는 계산을 하는데 반드시 필요하지만 이 두수가 없다고 해서 수학이 존재하지는 않습니다 단순하게 말하자면 자연을 수로 계산하는데 어려운 뿐입니다.
물론 0의 수가 수학에서 전면적으로 둥장하는 과정을 보면 참 아니러니합니다.
0이라는 수는 원래 취급을 받지 못하였습니다.
0의 수는 없다는 의미를 중심적으로 대표하는 수입니다.
한문으로 무라는 개념은 숫자로 0이라고 합니다만 이수는 역사적으로 보면 궤변적인 철학자나 수학자들 종교가들, 특히 유물론적인 사람들 속물근성의 사람들이 주로 사용한 것이라는 겁니다.
즉 동양에서는 0이라고 하는 수는 취급을 못받고 위험한 사상을 가지게하는 수라고 여겨진 겁니다.
적자의 개념을 사용할 떼에 그 기준점이 되는 겁니다.
또는 삶이 죽으면 영영 사라진다는 개념입니다. 그러니 종교적인 사고방식을 부정하는 유물론적인 사고방식에서나 사용되는 개념이지요!
이에 반하여 1의 수는 진정한 종교인들에 의하여 사용되는 수입니다.
자연의 세상은 다 1이다 다양한 1이 존재한다고 하는 사상을 가진 분들에게 반드시 필요한 수입니다.
이세상에는 없는 존재가 없고 다 있다는 사상을 가진 분이 파르메니데스라고 하는 분입니다.
이 분은 진정한 학문을 하는 분입니다.
오늘날 이분의 사상을 일다사상이라고 합니다.
정리하자면 오일러 등식은 수학에서 가장 중요하고 기본이되는 존재인 원주율과 자연상수 , 그리고 1과 허수 i의 관계식을 0의 등식으로 표현 합겁니다.
너무도 간결하고 널라운 일입니다.
사실 다섯개의 수는 오일러 등식이 출현하기 전엔 서로는 아무런 상관이 없는 것으로 간주하였습니다.
애초에 실수와 순허수는 서로 계산 불가능했으며 자연상수는 지수함수 계산에, 원주율은 삼각함수 계산에 쓰던 각기 독자적으로 발견, 개발되고 서로 고유의 영역을 이루고 있어서 여간해선 만날 일 없던 수들이었다.
이 식이 출현하고 나서, 실수와 순허수는 복소평면이라는 공간에서 서로 만나게 되었으며, 초월함수인 지수함수와 삼각함수가 복소평면 상에서 결국 동일한 현상이었다는 것을 밝혔다.
이전까지 실수 위에서 전개되던 미적분학을 복소수 범위까지 확장시켜 복소해석학이라는 분야를 개척하는데 기여한 일등공신이라 할 수 있다.
전자공학에서 이 식이 없었다면, 모든 전자분야가 이 정도로 발전하긴 힘들었을지도 모른다.
이런 복소 지수 표현은 전자공학을 공부하거나, 혹은 진동에 대해서 공부한다면 페이저라는 형태로 매 강의마다 당연히 보게된다. 특히 무선통신은 이 식 없이는 설명이 거의 불가능 하다.
전자기학에서도 중요한 식인데 전자기학 자체가 이 등식처럼 전기와 자기를 결합하는 이론이기 때문이다.