뉴턴의 요람 - 그 속의 비밀

[유토피아]

뉴턴의 요람이란?

뉴턴의 흔들이(Newton's pendulum) 또는 뉴턴의 공(Newton's ball)이라고도 불리는 뉴턴의 요람(Newton's cradle)은 여러 개(주로 5개)의 같은 질량의 쇠 공을 같은 길이의 실에 한 줄로 매달아 놓은 것으로, 바깥쪽의 공 하나를 살짝 들었다가 놓으면 반대편의 공 하나가 거의 같은 속도로 튀어나가고, 둘을 부딪치게 하면 두 개가 튀어나가고 하는 특성으로 인해 책상 위에 놓고 즐기는 장난감으로 일반인에게도 인기가 있다.

왜 '뉴턴의'라는 이름을 갖게 되었는지는 분명하지 않지만 아마도 뉴턴의 프린키피아에서 실에 매달린 두 공의 충돌을 다루었기 때문이 아닌가 한다.^[1] 물리적으로도 뉴턴의 요람은 상당히 중요한 위치를 차지하고 있어서, 운동량보존의 법칙을 설명하는 강의 시범도구로서도 애용된다. 그러나 뉴턴의 요람의 쇠 공들은 어떻게 해서 몇 개의 공이 부딪쳤는지를 알아내고 몇 개의 공이 튀어나가야 되는지를 결정하는 것일까? 뉴턴의 요람에 대한 가장 단순한 설명은 같은 질량의 두 물체가 부딪칠 때 운동량과 운동에너지의 보존을 생각하면 정지해 있는 물체에 속력 v로 부딪친 물체는 정지하고, 정지해있던 물체는 속력 v로 운동하게 되는데 이 같은 과정을 순차적으로 밟아 가장 바깥의 공이 튀어나간다는 것이다.^[2] 그러나 이 설명은 두개 이상의 공이 한꺼번에 부딪치는 경우를 설명하지 못한다. 다음으로 제안된 것은 연이은 공들 사이의 접촉이 적당한 크기의 용수철상수를 갖는 용수철들로 이루어졌다고 가정하는 것이다. 특히 용수철상수를 조절하여 분산이 없도록(dispersionless) 하면 뉴턴의 요람과 같은 특성을 보이나^[3] 이 역시 일반적이지 못한 단점을 가지고 있다. 근자에는 서로 접촉하고 있는 알갱이들에 충격이 가해질 때 홀로알(솔리톤, soliton)들이 발생하는 것이 이론적으로 예측되었고, 또 확인되었다.^[4] 그러나 이것이 어떻게 뉴턴의 요람에서의 공들의 운동과 결부되는지는 역시 확실하지 않다. 결국 가장 간단한 물리계라고 할 수 있는 뉴턴의 요람에 대한 우리의 이해조차 아직도 만족할만한 수준에 다다르지 못하고 있으며 자주 논의의 대상이 되고 있다.^[5]

배 경

뉴턴의 요람에서와 같이 두 물체가 부딪치는 현상에 대한 연구는 꽤 오래 되었다. 그 시발점은 볼츠만(L. Boltzmann),^[6] 헤르츠(H. Hertz)^[7] 등에 의해서라고 할 수 있는데 가장 대표적인 것은 헤르츠에 의한 접촉 곡면의 탄성이론(Hertz's theory)으로서 힘과 변형사이의 관계가 F =kx^3/2의 형태로 주어진다. 이는 탄성체의 일반적인 후크법칙 F=kx와 비교가 된다. 이 차이는 탄성 자체의 차이보다는 접촉면이 구면일 때 주어지는 기하적 구조에서 기인한다.^[8] 또한 탄성충돌을 하는 두 구에 대한 헤르츠 모형은 충돌력이 충돌속력에 F_o ∝ v^6/5, 충돌시간이 충돌속력에 τ∝ v ^-1/5로 의존한다고 예측한다. 이러한 예측들은 실험결과와 대체로 일치하는 것으로 알려져 있다.^[9]

충돌이 탄성충돌인지 여부를 가리는 척도로 튀기곁수(coefficient of restitution) e가 쓰인다. 튀기곁수란 충돌하는 물체들의 충돌 후와 충돌 전의 상대속력의 비로 정의되며 e=1 일 때 튐성 부딪침(탄성 충돌), e <1일 때 엇튐성 부딪침(비탄성 충돌)이고, e=0이면 완전 엇튐성 부딪침(완전 비탄성 충돌)을 나타낸다. 튀기곁수는 충돌하는 물체의 속성으로 충돌속도에는 무관한 것으로 생각되어왔다. 그러나 실제로 튀기곁수는 상대속도에 따라서 변하는 양으로 여기에 대한 실험과 이론 연구가 충돌실험의 주류를 이루어왔다.^[10] 또한 엇튐성(비탄성)의 원인이 되는 충돌에너지의 손실에 대한 관심도 크다. 쉽게 손꼽을 수 있는 손실의 원인으로는 충돌하는 물체의 빚음성 변형(소성 변형), 충돌 시 발생하는 물체내의 떨기(진동)와 속쓸림 튐성(viscoelasticity) 손실, 주위로의 에너지 손실 등을 들 수 있다.^[11] 일반적으로 충돌속력이 작을 때는 물체 내의 속쓸림 튐성에 의한 손실이, 충돌속력이 어느 이상으로 커지면 빚음성 변형이 주된 원인으로 여겨진다. 흔히 엇튐성 부딪침의 원인으로 손꼽히는 주위로의 에너지 손실(충돌음)은 그 에너지의 크기를 산출해보면 충돌에너지 중에서 미미한 부분임을 알 수 있다.

그러나 충돌현상에서 상대적으로 덜 연구된 것이 충돌 시에 생겨나는 충돌음에 대한 것이다. 발자국 소리(footfall noise)를 포함하여 거의 모든 충돌에서 소리(impact noise)가 발생한다. 이 충돌음의 세기, 파형 및 지속시간 등을 조사하는 것은 충돌음의 발생 구조를 밝히고 나아가 충돌현상의 미시적인 이해에 큰 역할을 하게된다. 이번 소개에서는 이 부분에도 초점을 맞추어 다루려고 한다. 충돌현상의 미시적인 이해를 위해서는 짧은 시간의 충돌과정을 상세히 조사해야 한다. 이를 가능하게 하는 측정방법으로 우리는 전도성 구 사이의 충돌에 따른 접촉 전기저항(contact electrical resistance)의 변화를 조사하는 방법을 이용하였다. (그림 1)

몇 개의 알갱이(쇠 공)들이 상호작용하는 뉴턴의 요람은 넓은 의미에서 특별한 알갱이계라고 할 수 있다. 일반적인 알갱이계의 대부분의 특성도 알갱이들 사이의 접촉 상호작용에 의해서 결정되기 때문에, 뉴턴의 요람에 대한 이해는 일반적인 알갱이계의 특성을 연구하는 지름길이 된다. 즉, 뉴턴의 요람은 일반 알갱이계에서 중요시되는 알갱이와 알갱이 사이의 접촉 상호작용을 연구하는 모형계로서의 의미를 갖는다.

접촉시간(충돌시간)과 충돌음

일반적으로 충돌현상을 다룰 때는 충돌이 순간적으로 일어난다고 가정하거나 그렇지 않더라도 구체적인 충돌과정은 도외시하고 단순히 운동량과 에너지의 전달에만 신경을 쓴다. 그러나 충돌현상을 제대로 이해하기 위해서는 충돌이 일어나는 과정을 추적하면서 조사할 필요가 있다. 충돌과정을 추적 조사하는 방법으로는 충돌하는 물체사이에 압전체(piezoelectrics)로 이루어진 힘 감지기를 놓고 충돌 시에 발생하는 힘(충돌력)에 비례하는 감지기의 전위차를 기록하거나^[11] 전도성 물체를 써서 충돌을 일으키고 물체 사이의 전기 접촉저항을 기록하는^[12] 방법이 있다.

두 쇠 공의 충돌과정에서 측정한 전기 접촉저항의 시간에 따른 변화를 그림 2에 나타내었다. 접촉 전기저항이 작은(R∼0) 동안이 충돌이 일어나는 접촉시간(contact time)이다. 이 접촉시간 △t를 충돌하는 쇠 공의 속력을 바꾸면서 측정하였다. 충돌속력은 실에 매달린 쇠 공을 들어올렸다가 놓는 높이 h를 바꿔서 변화시켰다. 이 방법으로 측정한 접촉시간을 높이의 함수로 그림 3에 나타내었다. 그림에는 같은 크기(지름 3.5 cm, 질량 175 g)의 두 쇠 공 사이의 충돌에 따른 접촉시간과 쇠 공과 벽(실제로는 쇠 벽돌) 사이의 접촉시간을 함께 나타내어 비교하였다.

그림 3에서는 쇠 공의 높이가 h=2 cm 미만일 때 같은 크기의 쇠 공끼리 충돌하는 경우와 쇠 공과 쇠 벽돌이 충돌하는 경우가 확연한 차이를 보여준다. 한편 쇠 공의 높이가 2 cm 이상일 때는 두 경우가 모두 같은 접촉시간을 보인다. 여기서 두 경우의 차이란 쇠 공과 벽돌의 크기(＞10 cm) 차이뿐이라고 할 수 있다. 이 차이를 설명하기 위해서 그림 4와 같이 접촉시간을 결정하는 모형을 생각하기로 한다. 먼저 충돌에 의한 두 쇠 공 사이의 전기적인 접촉은 양자역학적 꿰뚫기에 의해서 시작되고, 꿰뚫기가 일어나는 간격은 대략 수∼수십 Å 이다. 쇠 공의 표면에는 미세한 거칠기가 존재하므로 충돌이 시작되면서 미시적인 크기(수 ㎛) 규모의 빚음성 변형이 일어난다. 또, 뉴턴의 요람에서는 쇠 공과 쇠 공 사이에 작은 간격이 있다. 따라서 속력 v로 충돌하는 쇠 공은 전기적인 접촉이 생긴 뒤 처음에는 거리 d를 거의 자유롭게 운동한다고 할 수 있다. 이어서 쇠 공의 탄성변형이 일어나는데 이 때 쇠 공의 운동은 떨기(진동)로 간주할 수 있어서, 충돌하는 동안 이에 소요되는 시간은 2π/ω=2π(M/k)^1/2이다. 여기서 M은 쇠 공의 질량, k는 쇠 공의 튐성(탄성)에 대한 용수철상수이다. 즉, 이 모형에 따르면 접촉시간은 △t=2d/v +2π(M/k)^1/2으로 주어지고, 이는 쇠 공과 쇠 공이 부딪칠 때나 쇠 공이 쇠 벽돌과 부딪칠 때 같아야 한다. (그림 3의 실험결과에서 확인된 차이는 뒤에 설명하도록 한다.) 충돌속력 v는 쇠 공의 처음 높이 h를 써서 v=(2gh)^1/2이므로, 결국 △t=(2/g)^1/2d/h^1/2+2π(M/k)^1/2로 쓸 수 있다.

그림 3의 실험데이터를 모형과 맞춰보기 위해 △t vs h^1/2의 그래프로 나타내었다.(그림 5) 모형의 예측과 같이 그래프의 데이터를 △t=α/h^1/2+△t_o 형태의 직선으로 맞춤시킬 수 있다. 여기서 α=(2/g)^1/2d는 직선의 기울기이고, △t_o=2π(M/k)^1/2는 직선이 접촉시간축(수직축)을 끊는 점(절편)으로서 h→∞일 때의 접촉시간에 해당한다. 그러나 높이 h=1∼2 cm를 경계로 해서 충돌속력이 느릴 때(h ≤ 1 cm)는 쇠 공과 쇠 공 사이의 접촉시간이 쇠 공과 쇠 벽돌 사이의 충돌에서보다 짧으나, 빠른(h ≥ 2 cm) 속력으로 충돌시킬 때는 하나의 직선으로 대표된다. 그림의 맞춤직선들은 각각

α=17±2 μs·cm^1/2 (h≤1 cm, 쇠 공과 쇠 공사이의 충돌)

△t_o=86±1 μs

α=26±2 μs·cm^1/2 (h≤1 cm, 쇠 공과 쇠 벽돌사이 충돌)

△t_o=91±1 μs

α=60±8 μs·cm^1/2 (h≥2 cm)

△t_o=65±5 μs

이다. 이들 직선의 기울기와 끊는 점으로부터 모형의 변수 d와 쇠 공의 용수철상수 k를 구한다.

우선 충돌속력이 작을 때의 쇠 공과 쇠 공 사이의 충돌결과로부터 d∼3.8 ㎛를 얻는다. 또, k∼2.3Yr,^[8] 철의 영률(Young's modulus) Y∼200 GPa을 사용하여 한곳 튐성 일그러짐(local elastic deformation)이 일어나는 영역의 반지름 r∼2 mm를 얻는다. 이들 d와 r값은 일반적으로 기대되는 값들(d∼1 ㎛, r∼0.1 mm)보다는 다소 크지만, 우리가 사용한 쇠 공의 표면이 거칠고 2 mm 크기의 자국을 갖고 있는 것을 감안하면 받아들일 수 있는 값들이다. 이제 충돌속력이 커지면서 생기는 변화를 살펴보기로 한다.

반지름이 R인 구의 내부에 생겨날 수 있는 파동은 최대 파장이 4R로 제한된다. 철의 음속이 v_s=5.1 km/s이므로, 이 쇠 공이 떠는 최소의 떨기수는 f_c∼v_s/4R∼73 kHz이다. 따라서 쇠 공의 충돌속력이 느려서 충돌시간이 1/f_c 이상이 되면 충돌이 쇠 공의 떨기(ringing)를 일으키지 못한다. 즉, 빚음성 변형이 일어나는 시간인 2d/v_c (=α/h_c^1/2)~1/f_c이 되는 높이 h_c를 경계로 해서 충돌시간 등 특성이 달라질 것을 기대할 수 있다. 그 경계가 되는 높이는 h_c∼α²f_c²∼1.5 cm로서 이는 그림 5의 실험결과와 일치한다. 충돌하는 쇠 공의 높이가 h_c보다 클 때는 쇠 공의 충돌에너지가 떨기에너지로 변환됨으로 인해 접촉시간 2d/v가 길어지면서 기울기 α도 증가한다. 반면 튐성 변형이 일어날 때 떨기에 의한 에너지손실은 용수철상수를 키워주는 효과를 나타내어 끊는 점은 작아진다. 크기가 큰 쇠 벽돌에 충돌하는 쇠 공의 경우에는 느린 충돌속력의 영역에서도 벽돌에는 떨기가 생길 수 있다. 따라서 그 특성은 h＞h_c의 경우와 h＜h_c일 때 쇠 공과 쇠 공이 부딪치는 경우와의 중간특성을 갖는다.

이제 충돌 시 발생하는 충돌음에 대해서 살펴보기로 한다. 쇠 공과 쇠 공이 충돌하는 경우에 마이크로폰으로 검출한 충돌음은 그림 6과 같다. 그림 6에는 충돌음의 파형과 함께 접촉 전기저항의 변화를 같은 시간 축에 나타내었다. 길이가 100 μs 정도인 접촉시간 △t와는 달리 충돌음은 수 ms 이상 계속되며, 보통 몇 가지의 다른 떨기수의 파형이 합친 맥놀이로 잦아듬떨기(damped oscillation) 형태를 갖고 있다. 또, 충돌음은 전기적인 접촉이 끝나면서 시작된다. 그림에서 늦어짐(지연)시간 △t_d는 충돌이 일어나는 지점으로부터 마이크로폰이 위치한 곳까지의 거리(3 cm)를 음파가 지나오는데 필요로 하는 시간(△t_d∼90 μs)과 일치한다. 이렇게 기록된 충돌음을 푸리에 변환(Fourier transform)하여서 구한 충돌음의 빛띠(spectrum)는 그림 7과 같다. 충돌하는 쇠 공의 속력(또는 충돌하는 쇠 공의 처음 정지해있던 높이 h)이 증가하면서 충돌음의 크기는 커지나 빛띠의 모양은 별로 변하지 않는다. 그림 8은 쇠 공과 쇠 공의 충돌 및 쇠 공과 쇠 벽돌의 충돌 시 발생하는 충돌음의 세기(∝ 크기²)를 충돌하는 쇠 공의 처음높이 h에 대해 그린 것으로 직선은 충돌속력이 느릴 때는 충돌음의 세기가 처음 정지해있던 쇠 공의 높이(또는 충돌하는 쇠 공의 운동에너지)에 비례하는 모양을 보인다. 그러나 충돌음의 세기는 충돌속력이 증가하면서 포화되는 특성이 있다.

한가지 특기할 만한 사실은 검출된 충돌음의 세기로부터 환산한 소리에너지는 쇠 공의 역학적 충돌에너지에 비하면 아주 미미한 정도(＜10^-6)로서, 보통 짐작하는 것과는 다르게 충돌음에 의한 에너지 손실은 엇튐성 부딪침(비탄성 충돌)의 주요 요인이 되지 못한다는 점이다.

충격의 전달속도

이제 뉴턴의 요람을 가지고 접촉 전기저항 조사방법을 사용하여 한쪽 끝에 가한 충격이 어떻게 전달되는가를 조사해보기로 한다. 실험에 사용한 장치는 7개의 쇠 공으로 이루어진 뉴턴의 요람으로서 각각의 쇠 공을 가는 전선으로 연결하여 인접한 쇠 공들 사이의 접촉 전기저항을 6찬넬 고속(10 MHz) 아날로그-디지탈 변환기로 기록하였다. 그림 9는 이같이 구한 뉴턴의 요람에 충격이 전달되는 대표적인 모양이다. 이웃한 접촉이 순차적으로 시간차를 가지고 생기는 것을 알 수 있으며, 이로부터 충격의 전달속력을 구할 수 있다. 여기서 한가지 특기할 만한 것은 충돌하는 쇠 공의 접촉인 1-2번 접촉이 다시 떨어지기 전에 2-3번과 3-4번 쇠 공 사이의 접촉이 이루어진다는 점이다. 또한 쇠 공들이 접촉을 유지하고 있는 시간은 가장자리에 있는 쇠 공의 접촉에서 가장 짧고 중앙에 있는 쇠 공들 사이의 접촉에서 가장 길다. 이는 뉴턴의 요람에서 충격의 전달이 단순히 쇠 공사이의 순차적인 충돌에 의해서 일어나기보다는 몇 개의 쇠 공들이 결합되어 있는 계의 충돌로 보아야 함을 의미한다. 한편 접촉이 된 상태에서의 전기저항도 5-6번 쇠 공의 접촉과 6-7번 쇠 공의 접촉에서 증가된 것으로부터 충격이 전달되면서 그 세기가 감쇠되는 것을 알 수 있다.

그림 10은 접촉 전기저항이 변화하는 시간들로부터 충격의 전달속력을 구하는 방법을 보인 것으로, 각각의 접촉 전기저항이 급격히 줄어드는 시간을 첫 번째 접촉점으로부터 각각의 접촉점까지의 거리에 대해서 그린다. 이 데이터에 대한 맞춤직선으로부터 충격의 전달속력 v_p를 구한다. 이렇게 구한 전달속력을 쇠 공의 충돌에너지에 해당하는 처음 정지해 있던 높이 h에 따라 조사하여 모형에 의한 예측 값과 함께 그림 11에 나타내어 비교하였다. 이때 사용한 모형에서는 가해진 충격이 다음 쇠 공으로 전달되는데 걸리는 시간이 두 쇠공이 접촉하고 있는 시간 △t의 1/2과 같다고 가정하였다. 즉, 그림에 나타낸 예측 값 v_p(m/s)은

v_p = 2R/(△t/2)

= 4R/△t

= 0.07/(α/h^1/2 + △t_o)

이다. 여기서 α와 △t_o 값은 h≤1 cm와 h≥2 cm에 따라서 각각 다른 실험값인 α=17 μs·cm^1/2, △t_o=86 μs와 α=60 μs·cm^1/2, △t_o=65 μs를 사용하였다. 사용한 모형이 비교적 단순한 모형임에도 불구하고 실험과 잘 부합되고 있다.

맺음말

뉴턴의 요람에 대해서 구체적으로 살펴보았다. 먼저 같은 크기의 두 쇠 공 사이의 충돌시간을 접촉 전기저항의 변화로부터 측정하였고, 측정결과 충돌속력의 크기에 따라서 두 영역이 존재함을 알게 되었다. 이는 충돌속력이 느릴 때는 쇠 공안에 떨기(ringing)가 일어나지 않는 크기효과(size effect)로 설명하였다. 이 때 전기적 접촉이 이뤄지는 시간은 △t=α/h^1/2+△t_o의 형태로 잘 설명이 된다. 여기서 α=(2/g)^1/2d로서 d는 높이 h에서 정지해 있던 쇠 공이 다른 공에 부딪칠 때 전기적 접촉이 양자역학적 꿰뚫기로 이루어지고 난 뒤 거의 자유롭게 진행하는 거리이다. 거리 d는 주로 쇠 공 표면의 거칠기를 나타낸다. 한편 △t_o는 부딪친 두 쇠 공이 탄성적으로 변형되는 시간으로서 충돌하는 쇠 공의 속력(또는 정지해 있던 높이 h)에는 무관하며, 한곳 튐성 일그러짐이 일어나는 영역의 반지름 r에 의해서 결정된다. 실험결과와 비교하여 구한 값은 d∼3.8 ㎛와 r∼2 mm이다.

충돌 시 발생하는 충돌음은 여러 떨기수의 복합 파형으로 수 ms 동안 지속되는 잦아듬떨기의 형태를 띠고 있다. 충돌음의 떨기수와 파형은 충돌속력에는 무관하고, 떨기수는 쇠 공안의 떨기에 비해서는 낮다. 충돌음의 세기는 충돌속력이 느릴 때는 충돌하는 쇠 공의 운동에너지에 비례하나 충돌속력이 증가하면서 포화된다. 뉴턴의 요람에서 접촉 전기저항으로 조사한 충격의 전달속력은 두 쇠 공의 충돌시간에 의해 설명됨을 알았다. 그러나 충격의 전달은 쇠 공사이의 순차적 충돌에 의해서 일어난다기보다는 여러 개의 쇠 공들이 결합되어 있는 계의 충돌로 보아야 한다.