일반상대론에서 중력장과 방정식

[유토피아]

일반상대론(一般相對論, 영어: general relativity)은 알베르트 아인슈타인이 1915년에 발표한, 중력을 상대론적으로 다루는 물리 이론이다.

현재까지 알려진, 중력을 다루는 이론 가운데 가장 정확하게 실험적으로 검증되었다.

일반 상대론은 중력을 시공간의 곡률이라는, 기하학적 언어로 기술한다.

 시공의 곡률(아인슈타인 텐서)은 (우주 상수를 무시하면) 4차원 운동량 밀도에 비례하는데,

이를 아인슈타인 방정식이라고 한다.

일반 상대성 이론에서는 관성계뿐만 아니라 비관성계를 포함한 임의의 좌표계에 대해 물리 법칙이 동등한 형태를 유지하여야 한다.

일반상대성이론에서 중력장은 아인슈타인 방정식의 해로 결정된다.

중력장이 결정되면 이는 그 자체로 시공간의 곡률을 반영하는 물리량이 된다.

이 방정식에서 주목할 만한 점은 해가 공간상의 물질과 에너지의 분포에 따라 결정된다는 것이다.

 반면 이상에서 다룬 고전역학적 중력장 모델에서 중력장은 물질의 분포에 따라서만 결정된다.

일반 상대성 이론에서는 시공을 특수 상대성 이론의 민코프스키 공간에서 임의의 (로런츠 계량 부호수 −+++를 가진) 준 리만 다양체로 확장한다. 다양체의 계량 텐서 ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$로서 시공간의 곡률을 정의하고, 이 곡률을 중력으로 재해석한다. 뉴턴 역학에서 중력은 (중력적) 질량의 밀도에 의하여 결정된다. 질량의 밀도를 자연스럽게 상대화하면 에너지-운동량 텐서를 얻는다. 아인슈타인과 다비트 힐베르트는 아인슈타인-힐베르트 작용 을 통해 다음과 같은 장 방정식을 얻었으며, 이는 오늘날 아인슈타인 방정식으로 알려져 있다.

${\displaystyle 8\pi T_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }+\lambda g_{\mu \nu }}$

여기서 기호는 다음과 같다.

• ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$: 에너지-운동량 텐서
• ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$: 아인슈타인 텐서 = ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-Rg_{\mu \nu }/2}$
• ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ : 리치 텐서
• ${\displaystyle R}$ : 스칼라 곡률
• ${\displaystyle \lambda }$ : 우주 상수

이 식으로부터, 중력장이 약하다고 가정하면 뉴턴의 역제곱 법칙을 비상대론적 극한으로 얻는다.

공간 좌표를 ${\displaystyle x^{1}x^{2}x^{3}}$으로 하고 시간 좌표를 ${\displaystyle x^{0}}$로 하면, 세계선의 선소 ${\displaystyle ds}$는 ${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$ 로 표시된다.

${\displaystyle \mu }$와 ${\displaystyle \nu }$는 시간과 공간의 좌표를 나타내는 인덱스로 0은 시간, 1,2,3은 공간 성분을 표시한다. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$는 시공간 사이의 변환을 나타내는 계량 텐서이다. 예를 들어 가장 평탄한 시공간을 나타내는 민코프스키 계량 텐서의 경우

${\displaystyle g_{tt}=-1,\ g_{xx}=g_{yy}=g_{zz}=1\,}$

이다. 일반 상대성 이론에서, 중력 밖의 다른 힘이 작용하지 않고, 그 무게가 무시할 만큼 작은 입자는 시공간의 측지선을 따라 움직인다. 측지선은 시공에서 고유 시간을 극대화하는 경로이다. 즉, ${\displaystyle \delta \int ds=0}$이다.

아인슈타인 방정식(Einstein方程式, 독일어: Einsteingleichungen, 영어: Einstein equations)은 일반 상대성 이론을 기술하는 열 개의 연립 비선형 편미분방정식이다.

알베르트 아인슈타인^[1]과 다비트 힐베르트^[2]가 1915년에 도입하였다.

이에 따르면, 시공의 곡률을 나타내는 아인슈타인 텐서는 물질이 발생시키는 에너지-운동량 텐서에 비례한다.

아인슈타인 방정식은 텐서 방정식이다.

그 좌변은 아인슈타인 텐서로, 이는 리치 곡률 텐서로부터 계산할 수 있다.

그 우변은 에너지-운동량 텐서로, (중력을 제외한) 물질의 에너지와 운동량의 밀도를 나타낸다.

 따라서, 특정한 물질의 배치로부터 시공간의 왜곡을 계산할 수 있다.

그러나 에너지-운동량 텐서와 아인슈타인 텐서의 계산에 모두 계량 텐서가 필요하므로, 아인슈타인 방정식은 연립 비선형 편미분방정식이 된다.

좌변과 우변은 각각 4×4 대칭 텐서이므로, 총 10개의 방정식이 있으나, 미분동형사상 불변성을 써서 4개의 방정식을 없앨 수 있다.

즉 6개의 연립 비선형 편미분방정식만이 남는다.

이는 일반적으로는 해석적으로 풀 수 없고, 특정한 가설 풀이를 잡아 풀거나 아니면 수치해석적으로 근사적 해를 구한다.

아인슈타인 방정식에 우주 상수를 나타내는 항을 추가할 수 있다.

이는 계량 텐서에만 의존하나, 마치 에너지-운동량 텐서와 같이 행동한다.

일반 상대성 이론은 실험적으로 성공적이나, 이를 주로 양자장론과 관련하여 여러 가지로 확장할 수 있다. 일반상대론에 비틀림을 더한 이론은 아인슈타인-카르탕 이론이고, 중력상수를 스칼라장으로 승진시키면 브랜스-딕 이론을 얻는다. 일반 상대성 이론에 추가 차원을 도입하여 다른 상호작용을 포함시키는 이론은 칼루차-클라인 이론이며, 초대칭을 도입하면 초중력 이론을 얻는다. 또한 초끈이론 에서는 아인슈타인-힐베르트 작용을 자연스럽게 얻을 수 있으며, 고리 양자 중력에서는 아인슈타인-힐베르트 작용을 가지고 이를 양자화 한다는 것에서 시작한다.