광양자방정식
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양자우주론이란?
세상을 보는 눈으로는 거시적인 관점과 미시적인 관점이 있는데
우주의 세계는 거시적입니다.
그러므로 이러한 눈으로 세상을 보는 것을 우주학이라고 하기도 하고 거시학이라고 합니다.
반면에 양자역학은 미시물리학입니다.
경제에도 마찬가지입니다. 거시경제학이 있고 미시경제학이 있습니다.
철학에서도 미시철학이 있고 거시철학이 있습니다.
거시철학을 흔히 형이하학이라고 하기도 하고 미시철학을 형이상학이라고도 합니다.
물리학에서도 거시물리학이 있고 미시물리학이 있습니다.
과학이 점차 고도화되고 수준이 높아지면서 물리학은 거시적수준에서 미시적수준에서 양극적은 확대팽창을 하게됩니다.
우리가 잘아는 뉴턴은 고전역한의 거시적 현상을 잘 성명한 방정식을 정립하였습니다.
이렇듯이 과학에서 우주와같은 거시적인 세상을 연구하는 학문을 우주론이라고 합니다.
그와 반면에 빛이나 원자단위에 관한 연구를 하는 학문을 미시물리학이라고 합니다.
우주론을 연구하는 경우에는 망원경으로 연구하는 것을 필수로 합니다만
원자와 전자, 양자론을 연구하는 경우에는 현미경이 팔요합니다.
과학에서는 이 두가지의 조류로 우리의 세상을 연구해 왔습니다만...
사실 우주와 원자의 관계를 통합이되어 있는 것입니다.
그러므로 인위적으로 분리할 수가 없는 것이고 통합적인 관점과 입장에서 연구가 진행되게 되는 겁니다.
이를테면 빛의 연구라고고 하는 미시적인 연구는 우주의 본질적인 연구와 관련이 있습니다.
공간이 무한대라고 하여 우주론이지 이를 수학적으로 축소하면 되는 겁니다.
근대과학은 공간을 절대공간으로 상정하여 마술처럼 축소하거나 역으로 미시적인 원자전자의 양자를 우주의 공가크기로 확대하는 것을 꺼려했습니다.
왜냐하면 이러한 확대와 축소가 과학의 영역이 아니라고 본것이고 일종의 마술이라고 본 것입니다.
마술이되든지 아니든지 과학자들의 연구는 미시적인 분야와 거시적인 영역이 서로 연결되어 있기때문에 과학은 상상력이 필요하다고 하면서 거침없이 양자의 인과관계를 연구한 겁니다.
이를 양자우주론이라고 합니다.
사실 과학의 발전의 원동력은 상상력이었습니다.
아인슈타인은 기존의 정대공간으로 상정하는 물리학계에 대한 반기를 들었던 겁니다.
이른바 상대성이론이라고 하는 물리학을 확립함으로서 근대과학의 시공간개념과는 다른 관점과 이론을 제기한 겁니다.
그러나 양자역학의 발전은 아인슈타인의 물라학의 관점마저도 고리타분한 것으로 몰아간 겁니다.
사실과학이란 수학을 전제로 해야하는 것인데 아인슈타인도 역시 이를 등한시한 겁니다.
이게 무슨말인고 하니...
아인슈타인이 상대성 특성이론을 발표하고 세상사람들이 찬사하고 그래서 현대과학은 근대과학을 과학적인 수준에서 분명한 선을 그었다고 찬사를 아끼지 않았습니다.
하지만 수학적인 관점에서 아인슈타인의 상대성의 우주론은 수비주의적인 수준에서 벗어나지 못했다는 겁니다.
오ㅐ냐하면 수학적으로 푸앵카레의 추측을 상기해보면 자명합니다.
인류는 아직도 0의 지점에서 점으로 수량이 진전되고 그래서 이것이 우주빅뱅의 특이체가된다는 가설을 증명하지 못했던 것입니다.
아니러니하게도 우주가 처음 점에서 출발하였다는 것이 검증되려며 수학적인 검증이되어야 하는데 이게 가능한가의 문제는 여전히 풀리지 않는 추측으로만 남겨진 것입니다.
그래도 물리학은 계속된 겁니다. 드디어 양자역학의 수학이 싱기게되고 복소수의 수학르로 슈뢰딩거의 공식이 탄생합니다.
그러나 아인슈타인도 이들의 발전이 여전하게 마술을 한다고 생각하게됩니다.
1926년 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거에 의해 고안된 이 방정식은 뉴턴의 운동방정식이 고전역학의 거시적 현상에 대해 가지는 만큼의 중요성을 양자역학에서 가지고 있다.
슈뢰딩거 방정식은 본질적으로 파동방정식이며 미세한 입자의 운동을 지배하는 확률파동, 즉 파동함수의 형태를 기술하며 이 파동이 외부의 영향에 의해 어떻게 변하는가를 기술한다.
슈뢰딩거는 이 방정식을 수소원자에 적용하여 수소원자의 여러 가지 특성을 놀랄 만큼 정확하게 예언함으로써 이 방정식의 타당성을 입증했다.
슈뢰딩거 방정식은 원자·핵·고체물리 분야에서 널리 사용된다.
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양자역학적 관점에서 물질의 상태를 기술하는 방정식으로, 1926년에 에르빈 슈뢰딩거가 발표하였다.
양자역학에서 슈뢰딩거 방정식은 고전역학에서 뉴턴 방정식 F=ma, 혹은 라그랑주 방정식[1]과 동일한 위상을 지니며, 이들과 마찬가지로 fundamental relation이므로 다른 물리법칙으로부터 '유도'될 수 없다.[2]
고전적인 운동 방정식과 슈뢰딩거 방정식은 기초적인 방정식이라는 공통점 외에 많은 차이가 있는데 그중 특히 유념해야 할 큰 차이로 두 방정식이 다루는 대상이 있다.
고전적인 운동 방정식에서는 입자 혹은 질점의 위치나 운동량 같이 의미가 직관적으로 잘 와닿는 것을 대상으로 하는 데 반해 슈뢰딩거 방정식은 다소 추상적인 파동함수라는 것을 다룬다.
그리고 이 파동함수는 추상적인 만큼 그 의미에 해석이 필요하다.
예를 들자면 파동함수가 물리적인 실체인가 아닌가 하는 부분이나 측정이 도대체 어떤 식으로 양자상태를 붕괴시키는지는 양자 역학의 해석에 따라 설명이 갈린다.
그러나 이러한 해석 방법에 관계 없이 파동함수로부터 어떤 측정 결과의 확률분포를 알 수 있다는 것만은 기본적인 가정(혹은 해석에 따라 가정으로부터 다다를 수 있는 현상)이다.
이는 실험적으로도 잘 증명되어 있다. 따라서 파동함수가 물리적 실체인지 아닌지는 불확실하더라도 양자역학을 세우는 데 필수적임은 확실하다.[3]
비록 슈뢰딩거 방정식이 양자역학에서 일종의 '공리(Postulate)'와 같은 존재라지만, 그렇다고 기존의 물리학적 흐름과 완전히 동떨어져서 등장한 것은 아니다.
슈뢰딩거 방정식을 착안해 내는 아이디어는 여러 가지가 있지만, 가장 직접적으로는 제임스 클러크 맥스웰이 정립한 고전전자기학 혹은 파동역학에서 출발하며, 여기에 막스 플랑크가 제시한 "양자가설", 즉 에너지의 양자화 E=h \nu 를 적용해서 역으로 미분하면 시간의존 슈뢰딩거 방정식에 도달할 수 있다(이는 슈뢰딩거 본인이 사용한 방법이기도 하다.).
또한 슈뢰딩거 방정식을 구성하는 해밀토니언(Hamiltonian) 연산자 역시, 고전역학의 해밀턴 역학에서 사용하는 해밀토니언 H로부터 자연스럽게 확장시켜 사고할 수 있다.
실제로 슈뢰딩거의 논문은 해밀턴 역학에서 나오는 해밀턴-자코비 방정식에서 출발한다. 또한, 파인만이 사용한 방법으로, 최소작용의 원칙과 경로적분, 그리고 몇 가지 가정을 이용하는 방법도 있다.
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슈뢰딩거 방정식은?
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_슈뢰딩거 방정식(Schrodinger’s Equation)은 전자와 같은 양자(Quantum)를 파동으로 취급하였을 시, 그 양자가 갖게 되는 에너지 상태를 파동함수(wave function, ψ)로 표현한 것을 말한다.
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슈뢰딩거 방정식 유도에서 주어지는 주요 전제사항 세 가지
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_슈뢰딩거 방정식 유도를 위해서는 다음의 기본적인 원리를 알고 있어야 한다.
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슈뢰딩거 방정식 유도하기(1)
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_양자(Quantum)의 예로, 광자(photon)나 전자(electron)처럼 wave-like property와 particle-like property를 같이 갖는 (즉, *이중성(duality)을 갖는) 광자(photon)가 갖는 운동량과 에너지는 각각 다음과 같이 정리된다. (*Duality derived by De Brogile)
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슈뢰딩거 방정식 유도하기(2)
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+ 위 최종식은 Time-Independent Schrodinger Equation(TISE) 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 으로도 알려져있습니다. 따라서 계(system)이 갖는 총 에너지(total energy)의 양이 일정하다면 위의 최종 식을 이용하여 양자입자가 해당 위치에 존재할 확률 등을 찾는데 사용할수있게 됩니다.
특히 위 식을 기본으로, size effect를 이용하는 기술에 (예를 들어 p-n junction의 depletion region width이라던가 quantum dot 등등)에 많이 응용되기 때문에 아주 중요한 식이라고 할 수 있겠습니다.