양자역학은 어느 순간 뚝 떨어진게 아닙니다. 원자 발견의 역사에 있어서, 보어 모형은 수소에나 잘 적용되지, 리튬만 하더라도 아주 크게 벗어나게 됐거든요. 그러니까 거기서 확률의 개념을 도입하게 됐습니다. 뭐 기본적인 도입 과정이야 다들 아시겠죠. 모르시면 뭐 그런거 설명하는 거 인터넷에 많이 있고 교양과학서 읽으면 되니까, 난 실증적인 수식으로 접근해 보겠어요.
양자역학에서 가장 중요한 양은
이라는 양인데, 파동함수라고 부릅니다. 이것 자체는 아무런 의미가 없고
의 양이 의미가 있는데, 이것은 그 순간에 특정한 장소에서 물체를 발견할 확률을 뜻합니다.
1 저 파동함수를 구해야 하는게 양자역학에서의 목적이죠.
근데 요놈의 파동함수는 복소수로 표현됩니다. 복소수 함수로 표현되는 이점은 예전에 쓴 기억이 나는군요.
그거랑 이거랑 직접적인 관련은 없지만, 그래도 물리학에서 복소함수로 표현할 때엔 무언가 훨씬 편한게 있기 때문이라고 여기면 됩니다.
확률은 근데 양의 실수입니다. 그러니까 복소수 자체의 제곱으로 확률을 나타낼 수 없고, 복소 공액과의 곱인
으로 나타냅니다. 복소 공액은 켤레복소수라고 보면 됩니다.
라고 가정한다면
이고, 결국 이러면
파동 함수는 규격화되어야 합니다. 규격화가 뭐죠? 이건 어떠한 공간 내에 어떠한 물체가 반드시 나타내질 수 있다는 일종의 약속이라고 보시면 됩니다. 즉,
이 물체를 발견할 확률과 같기 때문에, 이 확률을 모든 공간 내에서 적분한 값은 당연히 어떤 값으로 나와야죠. (1이란 사실은 눈치채셨으리라 믿습니다.) 그렇지 않고 0이 나온다면 물체가 존재하지 않는다는 뜻이구요.
식으로 다시 풀어보면
로 할 수 있습니다. 이렇게 이 식을 만족시키는 파동함수
를 구하는 것을 '규격화한다' 라고 표현하는데요, 어떠한 물리학적 의미를 가지고 있다면 어떤 파동함수든 반드시 규격화할 수 있어 이 규격화를 주안점으로 양자역학이란 것을 발전시킵니다. 근데 이 '어떠한 물리학적 의미를 가진 파동함수' 자체가 자신을 많이 제약시키는데요, 이 파동함수가 물리학적 의미를 가지려면 다음 조건을 만족시켜야 합니다.
1.
함수는 일대일대응이며 모든 곳에서 연속이다.
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2.
함수를 각 변수로 편미분을 해 줘도 나오는 함수가 일대일대응이고 또 모든 곳에서 연속이다.
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3.
함수는 규격화할 수 있어야 한다. (같은 내용 반복처럼 보이지만 그래도 뭐...) 조금 더 첨언하자면,
,
,
인 경우에 대해서
함수가 0으로 수렴해야한다.
잠시 파동방정식을 다시 언급해 봅시다. 파동 방정식은 다음과 같이 서술됨을 일반물리에서 이미 배웠죠.
(블로그 관련내용 서술 예정)
사실 일반물리에선 뉴턴2법칙으로부터 위 내용을 도출해 냈는데, 전자기파에 한해선 이 슈레딩거 방정식을 이용해 서술해 나갈 수 있습니다.
파동방정식에서의 y는 보통 여러 가지 의미를 가지는데 각 파동마다 그 뜻이 달라지죠. 전자기파에 경우에 이 y 자리에
값이 자리합니다. 근데 아까 이 값 자체가 복소수라고 언급을 이미 했습니다. 말인즉슨 일반적으로 측정 가능한 y와 달리 이 값은 그렇지 않다는 것이죠. 이를 보완하기 위해서 간단한 가정 하나를 집어넣습니다.
(두 식은 의미상으로 동일합니다)
그런데 다음과 같은 식도 또 맞죠.
(h_(bar)은 뭔지 아시죠? LaTeX에 표기 기호가 없어서 불가피하게 저렇게 표기합니다.)
다음과 같이 표기할 수 있습니다.
위 식은 완전한, 어떠한 제한도 없는 자유 입자에 대한 방정식이라고 볼 수 있죠. 그렇다면 위 식을 대상으로 한 미분 방정식을 푼다는 것은 무엇을 의미할까요? 당연히, 어떠한 제한이 '있는' 경우를 살펴본다는 말입니다. 그리고 그 것이 바로 슈레딩거 방정식이구요. 윗 식으 x에 대해 두 번 미분하고 또 시간에 대해 미분한 값은 각각
(x에 대해 두 번 미분)
(t에 대해 한 번 미분)
여기서 에너지를 구하려면 운동에너지 p^2/2m 과 위치에너지 U를 합하면 됩니다. 그런데 U의 기준점은 입자에 따라 달라지는데요, 예를 들어 전자라면 자신을 종속하는 원자핵을 기준으로 삼으면 됩니다. 대다수의 경우 오직 한 가지의 영향이 절대적이므로 그 것만 고려해주면 됩니다.
일단 E를 나타내고, 거기에 다시 Psi를2 곱해주면 어떻게 나올까요? 그리고 그 값은 위 t에 대해 미분한 값과 같은 값으로 나타나야겠죠. 그런데 약간 신기하게 나타납니다.
아까 미분해준 값들을 다시 대입하면 바로 이게 시간에 의존하는 슈레딩거 방정식입니다. (물론 1차원 방정식입니다)
삼차원이라고 딱히 다를 건 없습니다.
편미분만 넓혀주면 됩니다.
방정식이 가지는 의미
얼핏 보면 복잡하기만 하고 쓸데없이 보이는 이 방정식은, 사실 대단히 큰 의미를 가지고 있는데요, 그것은 바로 '입자의 U, 즉 위치에너지를 안다면, 특정한 위치에서 입자가 존재할 확률을 구할 수 있다는 것입니다. 아까 말한대로 입자가 존재할 확률은
(1차원에 한함)
이라고 볼 수 있죠. 즉 저기서 구한 Psi 값을 대입만 시켜주면 '어느 곳에 얼만큼 존재하는지 알 수 있다' 는 것이고 이 말은 Orbital을 그리고 작성할 수 있다는 말이 되겠죠.
그런데 솔직히 읽으면서 의아해 하셨겠지만, 중간에 Psi 미분 값을 마음대로 쳐넣어 놓곤 (같다는 확증 자체가 없습니다.) 그걸 믿으라고 강요하고 있죠. 그런데 실제로 이건 증명이 불가능합니다. 하지만 매우 잘 맞죠. (보어와 아인슈타인이 싸웠을 때, 아인슈타인이 아무 생각 없이 양자역학에 반기를 든 것이 아닙니다. 이렇게 증거 없이 막 들이대니까 아인슈타인 입장에선 틀렸다고 본 것이죠.) 반례가 등장한다면 폐기되어야 하겠지만, 현재까지 반례는 있던 적도 없고 생길 가망성도 없어 보입니다.
슈레딩거 방정식은 특별히 '도출한다' 라기 보단 그냥 자연의 기본 원리로 받아들이시는게, 가장 편하고 좋은 방법이라고 할 수 있습니다.