원방각과 원뿔기하학

[유토피아]

원뿔의 겉넓이와 부피

원뿔의 겉넓이＝πrl + πr ²
원뿔의 부피 = ¹ ⁄ ₃ πr ²h

원뿔의 높이 구하기

높이(h)와 밑면의 반지름(r), 모선(l)으로 이루어진 직각삼각형을 만들 수 있겠죠? 이 중 반지름과 모선의 길이를 알면 피타고라스의 정리

원뿔의 부피 공식

원뿔의 겉넓이와 부피에서 밑면의 반지름이 r인고 높이가 h인 원뿔의 부피를 구하는 공식을 공부했죠?

원뿔의 부피 공식은 그대로예요. 높이를 알려주지 않았을 때 위의 직각삼각형을 그려서 높이를 구하고 공식에 대입하면 되는 겁니다.

아래 그림을 보고 물음에 답하시오.
(1) 밑면의 반지름 r은 얼마인가?
(2) 원뿔의 부피를 구하여라.

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원뿔의 전개도인데, 위쪽의 부채꼴과 아래쪽의 원(밑면)으로 두 부분으로 나뉘어 있어요. 8cm로 나오는 부분은 부채꼴의 반지름이자 원뿔의 모선의 길이에요. 원뿔의 높이가 아니니까 주의하세요.

(1)에서 반지름을 구하라고 했는데요, 얼핏 보니 주어진 정보가 모선의 길이밖에 없어요. 그리고 또 뭐 있죠? 바로 부채꼴의 중심각이에요. 부채꼴의 중심각이 직각이네요.

부채꼴에서 중심각을 알면 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이

위 공식에서의 r과 문제에서 구하라고 하는 r은 다르다는 것쯤은 알고 있죠? 공식에 넣을 r은 바로 원뿔의 모선의 길이인 8cm입니다.

부채꼴 호의 길이 = 2π × 8 × 90° ÷ 360° = 4π(cm)

부채꼴 호의 길이 = 밑면의 원주
4π = 2πr
r = 2(cm)

(2)번은 원뿔의 부피를 구하라고 했네요.

부피를 구하려면 먼저 높이를 구해야겠죠? 높이는 피타고라스의 정리를 이용해서 구해요.