수능 연습 ❸ 과학
[01~03] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.
교실에 의자 30개가 있고 모든 의자마다 학생이 한 명씩 앉아 있다면 우리는 학생 30명이 있다는 것을 세어 보지 않아도 알 수 있다. 이렇게 의자의 집합과 학생의 집합의 크기가 같다는 것을 알 수 있는 이유는 의자와 학생이 일대일 대응 관계에 있기 때문이다. 자연수의 집합과 짝수의 집합의 관계를 생각해 보면 상식적으로 자연수의 집합이 짝수의 집합보다 두 배 더 크다고 여길 것이다. 그런데 어떤 자연수 n에도 짝 2n을 대응시킬 수 있고, 어떤 짝수 m에도 자연수
이는 자연수와 짝수가 모두 ‘무한’이기 때문에 생기는 의문이다. 이처럼 무한은 보통 사람의 상식으로 이해하기 어려운 점이 있다. 무한에 관련된 논의는 고대 그리스 시대부터 시작되었다. 기원전 5세기경 제논은 “당신은 유한의 시간에 무한개의 점을 지나갈 수 없다. 전체를 다 가기 전에 그것의 반을 가야 하고 나머지 반을 가기 위해서 또 그것의 반을 가야 하는데, 이 과정을 아무리 계속해도 여전히 반이 남기 때문이다.”라는 Ⓐ무한의 패러독스를 제시하였다. 이것은 시간이나 공간이 무한히 분할할 수 있는 연속성을 가지고 있다고 가정했을 때 생기는 패러독스이다. 이 주장은 현실에서 일어날 수 없지만 어디가 틀렸는지 명확하게 찾아내기가 어렵다.
아리스토텔레스는 무한을 ㉠가무한과 ㉡실무한으로 나눌 수 있다고 생각했다. 가무한은 끝없이 계속 나아가지만 지나온 과정은 유한하며, 최종적인 무한의 상태에 도달하지 않는 무한이다. 실무한은 어딘가에 존재하는 완결된 무한이다. 가무한과 실무한의 의미를 원 둘레의 길이를 구하는 문제와 관련시켜 생각해 보자. 원에 내접하는 정삼각형, 정사각형, 정오각형을 계속 그린다면 점점 원에 가까운 다각형을 그릴 수 있다고 생각할 수 있다. 이와 같이 원에 내접하는 다각형을 계속 그릴 수 있다고 생각할 때의 무한이 가무한이다. 그런데 내접하는 다각형들의 극한을 원이라고 생각한다면, 다시 말해 무한히 많은 변을 가진 다각형을 원이라고 생각한다면 이것이 실무한이다. 아리스토텔레스는 가무한만 인정하였고, 19세기까지 실무한은 신의 영역으로 생각되었다. 그래서 사람들은 무한에 대한 논쟁을 피하고자 하였다. 신의 영역으로 여겨지던 실무한을 수학적으로 처음 다룬 사람이 칸토어이다. 사람들은 보통 유한의 세계가 분명하고 무한의 세계가 모호하다고 생각한다. 그런데 칸토어는 오히려 무한의 세계가 논리적으로 더 분명하다고 생각했다. 그는 자연수와 짝수가 일대일 대응이 된다는 것을 패러독스로 받아들이지 않고 유한과 무한을 구분하는 무한 개념의 본질로 생각하였다. 그는 전체 집합의 진부분 집합* 중에서 전체 집합과 일대일 대응인 집합이 있다면 그 집합이 무한 집합이라고 정의하였다. 이렇게 정의하면 자신의 어떠한 진부분 집합과도 일대일 대응이 일어나지 않는 집합을 유한 집합이라고 정의하면 된다. 칸토어는 이 정의를 바탕으로 무한을 수학적으로 탐구하였다. 그래서 무한에 여러 등급이 있다는 것과 무한 집합의 많은 성질을 찾아냈다. 그러나 당시 수학자들은 칸토어의 이러한 접근법을 이해하지 못하였다. 동시대인의 인정을 받지 못한 칸토어는 상심했으나 무한 집합에 대한 그의 이론은 현대 수학의 중요한 업적으로 평가받고 있다.
*진부분 집합: 집합 A의 모든 원소가 전체 집합 U에 속하고 집합 U의 전체가 아닐 때, 전체 집합 U에 대하여 집합 A를 이르는 말.
01 윗글을 통해 알 수 있는 것은?
① 무한의 패러독스는 실제로 일어나고 있으나 설명하기는 어렵다.
② 홀수의 집합은 자연수의 집합과 일대일 대응인 집합에 해당된다.
③ 무한은 사람들의 상식이 틀렸기 때문에 이해하기 어려운 것이다.
④ 1부터 100까지의 범위에서 자연수 집합과 짝수 집합의 크기는 같다.
⑤ 아리스토텔레스는 인간이 탐구를 통해 실무한을 수학적으로 증명할 수 있다고 생각했다.
02 ㉠과 ㉡에 대한 설명으로 적절하지 않은 것은?
① ㉠은 지난 과정에서는 확인할 수 있으나 다가올 시간에서는 확인하기 어려운 무한이다.
② ‘1, 2, 3, ……, n’과 같은 집합에서 n을 무한대로 크게 하더라도 최종적인 무한의 상태에 도달하지 않기 때문에 ㉠에 해당된다.
③ ㉡은 존재한다고 판단되나 완성된 형태의 존재 자체를 증명하기는 어려운 무한을 가리킨다.
④ ‘모든 실수의 집합’과 같은 집합은 어딘가에 존재하는 완결된 무한이기 때문에 ㉡에 해당 된다.
⑤ 학생 30명이 교실 의자 30개에 앉아 있는 집합은 완결된 상태에 해당되므로 ㉡에 해당 된다.
03 <보기>의 ㄱ~ㄹ 중 Ⓐ에 해당하는 것끼리 짝지은 것은?
<보기>
ㄱ. 2m 거리에 있는 과녁을 화살로 쏘는 경우, 화살은 2m의 반을 먼저 날아가 1m 지점에 도달 하고, 남은 1m의 반을 날아가서 0.5m 지점에 도달하고, 다시 반을 날아가서 0.25m 지점 에 도달하는 방식이 반복된다.
ㄴ. 거북보다 10배 빠른 사람이 100m 앞에 있는 거북과 경주하는 경우, 사람이 100m 지점에 이르렀을 때 거북은 110m 지점에, 사람이 110m면 거북은 111m, 사람이 111m면 거북은 111.1m 지점에 있는 방식이 반복된다.
ㄷ. A에 사는 시민 중 B가 “A에 사는 사람은 모두 거짓말쟁이다.”라고 말한 경우, B도 A 시민이므로 거짓말쟁이이고 따라서 B의 말이 거짓말이 되어 A시 사람들은 거짓말쟁이가 아니다. 그렇게 되면 B가 거짓말쟁이가 아니므로 B가 한 말은 참말이 되고, A 시민은 모두 거짓말쟁이라는 말이 맞게 된다는 방식이 반복된다.
ㄹ. ◯◯시에 스스로 이발을 하지 않는 사람만 이발을 해 주는 이발사가 있다. 이 이발사 자신은 이발을 어떻게 해야 할까? 자기 스스로 이발을 하지 않는다면 자신은 자신을 이발해야 하고, 역으로 스스로 이발을 한다면 자신이 자신을 이발해서는 안 된다. 자신이 자신을 이 발하지 않으면 자신은 자신을 이발해야 하는 방식이 반복된다.
① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ ③ ㄱ, ㄹ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄷ, ㄹ
도움자료
[2015 EBS 수능특강 A]
수능 연습 ❸ 과학
01 ② 02 ⑤ 03 ①
‘무한의 세계’
[해제]
이 글은 ‘무한’에 대한 개념이 정리되는 과정에 대해 설명하고 있다. 시간과 공간이 무한히 분할할 수 있는 연속성을 가지고 있다는 가정 아래에서 나온 ‘무한의 패러독스’와 같은 문제는 ‘무한’에 대한 개념 때문에 생기는 문제이다. ‘무한’을 수학적으로 해결하고자 한 칸토어의 견해를 제시하며 ‘무한 집합’의 개념을 설명하고 있다.
주제 무한의 패러독스와 무한 집합의 개념
구성
•1문단: 자연수 집합과 짝수 집합의 크기에 대한 의문
•2문단: 무한의 패러독스가 제기하는 난점
•3문단: 가무한과 실무한의 개념
•4문단: 칸토어의 무한 집합의 개념
•5문단: 칸토어의 연구의 수학사적 의의
01 세부 정보, 핵심 정보 파악
[정답이 정답인 이유]
② 실마리 홀수의 집합, 자연수의 집합, 일대일 대응
1, 4문단을 보면 짝수의 집합과 자연수의 집합은 일대일 대응 관계에 있다. 짝수의 집합과 자연수의 집합이 일대일 대응 관계에 있으면 홀수의 집합도 자연수의 집합과 일대일 대응 관계에 있다.
[오답이 오답인 이유]
① 실마리 실제로 일어나고 있으나
2문단의 마지막 문장을 보면, 무한의 패러독스는 현실에서는, 즉 실제로는 일어날 수 없는 것이다.
③ 실마리 상식이 틀렸기 때문에
2문단의 두 번째 문장을 보면 무한은 보통 사람의 상식으로 이해하기 어렵다고 되어 있다. 즉 상식이 틀렸기 때문이 아니라 상식과 무한이 서로 어긋나기 때문이다.
④ 실마리 1부터 100까지의 범위
1부터 100까지의 범위에서 자연수 집합과 짝수 집합의 크기는 같지 않다. 짝수 집합의 크기는 자연수 집합의 크기 1이다.
⑤ 실마리 인간이, 증명
3문단에 따르면 아리스토텔레스는 가무한만 인정하였고, 19세기 까지 실무한은 신의 영역으로 여겨졌다. 따라서 아리스토텔레스가 실무한을 증명할 수 있다고 생각했다는 진술은 옳지 않다.
02 세부 내용 추론
[정답이 정답인 이유]
⑤ 실마리 완결된 상태
3문단에 따르면 실무한은 ‘어딘가에’ 존재하는 완결된 무한이다. 즉 존재한다고 판단되나 증명하기는 어려운 것이 실무한이다. ⑤의 예는 무한이 아니라 유한에 해당된다.
[오답이 오답인 이유]
① 실마리 지난 과정, 다가올 시간
3문단의 두 번째 문장을 보면 가무한은 ‘끝없이 계속 나아가지만 지나온 과정은 유한하며, 최종적인 무한의 상태에 도달하지 않는 무한’이다.
② 실마리 최종적인 무한의 상태
3문단의 두 번째 문장을 보면 가무한은 ‘최종적인 무한의 상태에 도달하지 않는 무한’이다.
③ 실마리 존재 자체를 증명하기는 어려운 무한
3문단의 세 번째 문장과 마지막 문장을 보면 실무한은 존재한다고 판단되나 증명하기는 어려운 무한이다.
④ 실마리 어딘가에 존재하는 완결된 무한
‘실수의 집합’은 어딘가에 존재하는 완결된 무한이지만 그것을 증명하기는 어렵기 때문에 실무한에 해당된다.
03 구체적 상황에 적용하기
[정답이 정답인 이유]
① 실마리 ㄱ, ㄴ- 공간
‘무한의 패러독스’는 시간이나 공간이 무한히 분할할 수 있는 연속성을 가지고 있다고 가정했을 때 생기는 것이다. 따라서 ㄱ, ㄴ처 럼 공간을 무한히 분할하는 것에 해당하는 예가 이에 해당한다.
[오답이 오답인 이유]
②, ③, ④, ⑤ 실마리 역설
ㄷ, ㄹ은 각각 유명한 역설이지만 시간이나 공간을 무한히 분할할 수 있는 연속성과는 관련이 없다.