[[해설]]쌍곡적 코사인함수의 역함수 cosh^{-1} x = ln(x + sqrt{x^2 -1}) ( x >= 1)

[수학짱]

y = cosh x 는 우함수이므로 역함수를 정의하는 구간을 정해야한다.
x >=0 구간을 택하면 강증가함수이다. 따라서 1-1 이고 역함수가 모든 구간에서 존재한다. 즉,
y = cosh x : [0, infnity) --> [1, infnity)
x = cosh^{-1} y : [1, infnity) --> [0, infnity)
보통 y = f(x) 꼴로 나타내므로
y = cosh^{-1} x : [1, infnity) --> [0, infnity)

로 쓴다. 이때
x = cosh y = (e^y + e^{-y})/2
2x e^y = e^{2y} + 1
(e^y)^2 - 2x e^y +1 = 0
이식은 e^y 에 대한 2차식이다.
근의 공식에 의해
e^ y = x +- sqrt{x^2 - 1}
e^y >=1 이므로 - 부호는 성립안한다.
e^y = x + sqrt{x^2 - 1} 에서
y = ln(x + sqrt{x^2 -1})

cosh^{-1} x = ln(x + sqrt{x^2 -1}) ( x >= 1)