[[해설]]쌍곡적 탄젠트함수의 역함수 tanh^{-1} x = (1/2)ln{(1-x)/(1+x)} ( |x| < 1)

[수학짱]

y = tanh x 는 강증가함수이다. 따라서 1-1 이고 역함수가 모든 구간에서 존재한다. 즉,
y = tanh x : R --> (-1, 1)
x = tanh^{-1} y : (-1,1) --> R

보통 y = f(x) 꼴로 나타내므로
y = tanh^{-1} x : (-1,1) --> R

로 쓴다. 이때
x = tanh y = sinh y / cosh y =
{(e^y - e^{-y})/2 }/{(e^y + e^{-y})/2 }
= (e^{2y} -1)/(e^{2y} +1)
(x+1)e^{2y} = 1-x
에서
e^{2y} = (1-x)/(1+x)
2y = ln{(1-x)/(1+x)}

tanh^{-1} x = (1/2)ln{(1-x)/(1+x)} ( |x| < 1)