r = 2a cos (θ) 의 개형을 그려야 합니다.
개형을 그리다 보면 π /2 ≤ θ ≤ 3 π/2 일때는 cos θ 가 음수라서
원점에 대칭인 점에 그려야 합니다. 즉,
π /2 ≤ θ ≤ π 일때는 -π /2 ≤ θ ≤ 0 에 나타나고
π ≤ θ ≤ 3π/2 일때는 0 ≤ θ ≤ π /2 에 나타납니다.
그래프가 겹치므로 결국 즉, 제 1상한과 4상한에 그래프가 있습니다.
따라서 구하는 적분 구간은
-π /2 ≤ θ ≤ π/2
(주의) 제 1상한과 4상한에 걸친 각을 나타낼 때는 위와같이 나타내는 것이 표현이 간단합니다.
극좌표 r = 2a cos (θ) 의 넓이
∫ _{ - π/2 }^{π/2 } (1/2) r^2 dθ =
∫ _{ - π/2 }^{π/2 } (1/2) {2a cos (θ) ) ^2 dθ =
(2a^2) ∫ _{ - π/2 }^{π/2 } cos^2 (θ) dθ =
(2a^2) ∫ _{ - π/2 }^{π/2 } { 1+ cos (2θ)}/2 dθ =
a^2 ∫ _{ - π/2 }^{π/2 } { 1+ cos (2θ)} dθ =
a^2 [ θ+ (1/2) sin (2θ) ] _{ - π/2 }^{π/2 } =
a^2 π
참고 http://cafe.naver.com/calculus/1716
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